中考数学总复习第16讲 分式方程及其应用难点解析与训练

第16讲  分式方程及其应用

考点·方法·破译

1．分式方程(组)的解法

解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.

2．分式方程增根

在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).

3．列分式方程解应用题

列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.

经典·考题·赏析

【例1】解下列方程:

⑴－＝1

⑵－－＝4

⑶＋＝＋

【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如＝＝1＋，按照上述变形，原方程可变为＋＝＋再移项后分组通分求解较简单.

解: ⑴－＝1

(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)

x2－4x＋4－16＝x2－4

x＝－2

当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解.

 ⑵＋－＝4

x－2＋4x2－2(x＋2)＝4(x＋2) (x－2)

∴x＝10

当x＝10时， (x＋2) (x－2) ≠0， ∴原分式方程的解为x＝10.

⑶原方程变形为＋＝＋

1＋＋1＋＝1＋＋1＋

∴＋＝＋

－＝－

两边分别通分得: ＝

∴(x－5) (x－6)＝(x－8) (x－9)

∴x＝7　检验知x＝7是原方程的解.

【变式题组】

⑴＝－2

⑵＋2＝

⑶－＝－

⑷＋＋＝1

【例２】当m为何值时，分式方程－＝会产生增根?

【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x＝1或x＝－1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程，即可求出相应的字母的值.

解:原方程去分母并整理得 (m－2) x＝5＋m

假设产生增根x＝1，则有: m－2＝5＋m，方程无解，所以不存在m的值，使原方程产生增根x＝1;

假设产生增根x＝－1，则有:2－m＝5＋m，解得m＝－.

∴m＝－时，分式方程－＝产生增根.

【变式题组】

01．分式方程－＝的增根是__________.

02．若分式方程－＝1有增根，则它的增根为(　　)

A．0   B．1   C．－1   D．1，－1

03．(绥化)若关于x的方程＝1－无解.则m的值为___________.

04．分式方程－＝无解，则m的值为___________.

【例３】(杭州)已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是_________.

【解法指导】求出方程的解x＞0且x≠2即可

解: ＝3　　2x＋m＝3x－6　　x＝m＋6

∴　∴m＞－6且m≠－4

【变式题组】

01．(孝感)关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是(　　)

A．a＞－1   B． a＞－1，且a≠0   C． a＜－1   D． a＜－1，且a≠－2

02．当m为何值时，关于x的方程＝ － 的解是正数?

【例４】(山东青岛)某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.

⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?

⑵如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元?

【解法指导】 ⑴设商场第一次购进x套运动服，由题意得: －＝10

解这个方程，得x＝200，经检验， x＝200是原方程的解.

2x＋x＝600

∴商场两次共购进这种运动服600套.

⑵设每套运动服的售价为y元.则有≥20%，y≥200

∴每套运动服售价至少200元.

【变式题组】

01．(泰安)某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套?在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为(　　)

A．＋ ＝18  B． ＋ ＝18 

C． ＋ ＝18   D． ＋ ＝18

02．(河池)铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销的2倍.

⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?

⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?

03．(广西梧州)由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程， 甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2，两队合做6天可以完成.

⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?

⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?

演练巩固·反馈提高

01．(牡丹江)关于x的分式方程＝1，下列说法正确的是(　　)

A．方程的解是x＝m＋5   B． m＞－5时，方程的解是正数  

C． m＜－5时，方程的解是负数    D．无法确定

02．(安徽)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是(　　)

A．8   B．7   C．6   D．5

03．(上海)用换元法解分式方程－＋1＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是(　　)

A． y2＋y－3＝0   B． y2－3y＋1＝0    C． 3y2－y＋1＝0    D． 3y2－y－1＝0

04．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜x㎏，根据题意，可得方程(　　)

A． ＝  　　B． ＝ 

C．＝   　　D．＝

05．(牡丹江)若关于x的分式方程－＝1无解，则a＝___________.

06．方程＋3＝的解为___________.

07．若x＝1是方程＋＝0的解，则a＝___________.

08．若A＝，B＝＋1，当x＝___________时，A＝B．

09．若x＝3是方程＋＝0的解，则－÷的值为___________.

10．如果关于x的方程1＋＝的解，也是不等式组的一个解，求m的取值范围.

11．关于x的分式方程＝－有解，求k的取值范围.

12．要使关于x、y的二元一次方程组有正整数解，求整数a的值.

13．某工程准备招标，指挥部接到甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.

⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?

⑵已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问:该工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需要追加预算多少万元?请说明理由.

14．(桂林)在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.

⑴ 乙队单独完成这项工程需要多少天?

⑵甲队施工一天，需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?

培优升级·奥赛检测

01．(江西决赛试题)若实数x、y、z满足方程组:，则有(　　)

A． x＋2y＋3z＝0  B． 7x＋5y＋3z＝0   C． 9x＋6y＋3z＝0  D．10x＋7y＋z＝0

02．(天津初赛试题)某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V1、V2、V3，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为(　　)

A．   B．   C．   D．

03．(第十八届“希望杯”初二)解分式方程＋＝会产生增根，则m＝___________.

04．方程＋＋…＋＝1＋的解是___________.

05．(全国初中数学竞赛试题)小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_________分钟.

06．解下列方程:

⑴ －＝－          ⑵ ＋＝2

07．已知方程组＝，＝－9， ＝恰好有一组解为x＝a，y＝b，z＝C．求a2＋b2＋c2的值.

08．设x、y都是整数，－＝.求y的最大正整数的解.

09．(莆田)国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买入选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元.根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台?

⑴设购买电视机x台，依题意填充下列表格:

⑵列出方程(组)并解答.

10．(齐齐哈尔)某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.

⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元?

⑵为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?

⑶如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使⑵中所有方案获利相同， a值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?