河北省保定市2023届高三一模数学试题（含答案）

河北省保定市2023届高三一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（    ）

A． B．8i C． D．

3．设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，打算改建成矩形花圃，中间划分出直角三角形区域种玫瑰，直角顶点在边上，且距离点，距离点，且、两点分别在边和上，已知，则玫瑰园的最小面积为（    ）

A． B． C． D．

5．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是正三角形，平面平面，且，则与平面所成角的正切值为（    ）

A．2 B． C． D．

7．函数，（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数在上单调递减

C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称

D．若圆C的半径为，则函数的解析式为

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则向量在上的投影向量为

D．若，则向量与的夹角为锐角

10．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（    ）

A．2 B．8 C．10 D．12

11．沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（    ）

A．沙漏的侧面积是

B．沙漏中的细沙体积为

C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm

D．该沙漏的一个沙时大约是837秒

12．如图所示的三角数阵，其中第m行（从上到下），第n列（从左到右）的数表示为，且，当时，有，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

三、填空题

13．二项式展开式中常数项是________．（填数字）

14．写出过抛物线上的点且与圆相切的一条直线的方程________．

15．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．

16．已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为________．

四、解答题

17．已知的最小正周期为．

(1)求的值；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求角B的大小以及的取值范围．

18．已知，，，…，是以1为首项，1为公差的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)求数列前2n项的和．

19．如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．

(1)若为中点，求证：；

(2)若平面，求线段长度的最小值．

20．在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药．初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．

(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以表示选取的人中服药后有效的人数，求的分布列和数学期望；

(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．

21．如图，双曲线的中心在原点，焦距为，左、右顶点分别为A，B，曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；

(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得（其中，为点P，T的横坐标），若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

22．已知函数．

(1)当时，证明：当时，；

(2)当时，恒成立，求a的取值范围．

参考答案：

1．D

2．A

3．B

4．A

5．B

6．B

7．D

8．D

9．BC

10．ACD

11．BD

12．ACD

13．240

14．或或（写出其中一个即可）

15．96

16．1

17．(1)0

(2)，

18．(1)

(2)

19．(1)证明见解析

(2)

20．(1)分布列见解析，

(2)

21．(1)双曲线方程：，椭圆方程为：

(2)存在，

22．(1)证明见解析

(2)