2023年四川省德阳市旌阳区中考一模数学试题（含答案）

2023年春期初中毕业年级总复习阶段第一次模拟考试

数学试卷

考生注意：

1.考生须将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡规定的位置，注意填涂规范.

2.非选择题用黑色墨水或中性签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

3.全卷共25个小题，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共48分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1.若一个数的倒数恰好等于这个数本身，则这个数是（    ）

A.1 B. C.1， D.1，0，

2.我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1800000000亩耕地红线.将数据1800000000用科学记数法可表示为（    ）

A. B. C. D.

3.下列计算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

4.下列说法中，正确的是（    ）

A.为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式

B.旅客上飞机前的安检，宜采用抽样调查方式

C.某同学连续5次抛掷质量分布均匀的硬币，1次正面向上,因此正面向上的概率是20%

D.在连续6次数学测试中，若某两名同学的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定

5.以下计算中，正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6.如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点，若，，则（    ）

A. B. C. D.

7.智能垃圾箱分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体.居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出积分，可以提现或在礼品兑换机兑换实物礼品。我市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25，关于这组数据，其中位数和众数分别是（    ）

A.23，25 B.25，23 C.23，23 D.25，25

8.某几何体的三视图如图所示，由图中数据可知，该几何体的侧面积为（    ）

A. B. C. D.

9.如图，是正方形边上一点，将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线交于点，交于点.若，，则的长为（    ）

A. B. C.4 D.

10.若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程的解为非负整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ）

A.6 B.10 C.11 D.15

11.如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接.则长的最小值为（    ）

A. B.1 C. D.

12.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，请结合图象分析如下结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若一次函数的图象经过点，则点在第四象限；⑤点是抛物线的顶点，若，则.其中正确的有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第Ⅱ卷（非选择题，共102分）

二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上）

13.因式分解：________.

14.若一组数据2，0，1，，3的平均数是2，则这组数据的方差是________.

15.【材料】：从、、三人中选取二人当科代表，有和、和、和三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作.一般地，从个元素中选取个元素组合，记作.

【问题】：从7个人中选取4个人当科代表，不同的选法有________种.

16.如图，有两种正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形纸片、并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造成新的正方形如图3（图2，图3中正方形、纸片均无重叠部分），则图3中阴影部分面积为________.

17.如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于，交于，点在反比例函数的图象上，当和的面积相等时，的值为________.

18.如图，在中，，.和都是等边三角形，为的中点，连接交于点，与交于点.以下结论：①；②四边形为菱形；③；④.其中，正确的结论有________.（填空所有正确结论的序号）

三、解答题：（本大题共7小题，共78分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（8分）计算：.

20.（10分）某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：

（1）的值为________，的值为________，的值为________；

（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“”的圆心角的度数为________；

（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.

21.（12分）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接，

（1）求证：四边形是矩形；

（2）连接，若，，求的长.

22.（12分）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；

（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：.

23.（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶.

（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？

（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠元（为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求的值.

24.（12分）如图，中，，以为直径的与交于点，过点作于点，延长、交于点.

（1）求证：直线为的切线.

（2）若，，求的半径和长.

25.（14分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，试求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）若点是第一象限抛物线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标.

2023年春期初中毕业年级总复习阶段第一次模拟考试

数学试卷参考解答及评分标准

一、选择题：（每小题4分，共48分）.

10.【略解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，

∵不等式组有解且至多有3个整数解，∴，∴，

解分式方程，可得：，

∵方程的解为非负整数解，∴且为整数，∴且为整数，

综上所述：且为整数，∴或5或6，

当时，不符合题意，舍去，∴或6，

∴满足条件的所有整数的和为.故选：B.

11.【略解】解：如图，取的中点，以为直径作，

∵，∴，

∵，∴，

∵正方形的外接圆的半径为，∴，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴的最小值为.故选：A.

12.【略解】解：∵抛物线开口向上，∴，

∵对称轴是直线，∴，∴

∵抛物线交轴的负半轴，∴，∴，故①正确，

∵，，∴，故②正确，

观察图象可知，当时，随的增大而减小，故③错误，

一次函数的图象经过点，

∵，∴，此时在第四象限，故④正确.

∵抛物线经过，，

∴可以假设抛物线的解析式为，

∴，，

过点作轴于点，设对称轴交轴于点.

∵，∴，∴，

∵，∴，

∴，∴，∴，

∵，∴，故⑤正确，故选：D.

二、填空题：（每小题4分，共24分）

13.【答案】.

14.【答案】2.

15.【答案】35.

16.【答案】45.

17.【答案】.

18.【答案】①③④.

【略解】.16.解：设卡片的边长为，卡片的边长为，则卡片的面积为，卡片的面积为，图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，，

图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，，

图3阴影部分的面积可以表示为，

故答案为：45.

17.解：如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点，

∵，，，∴；

∵的坐标为，点的坐标为，∴，

∵，，，

∴，即，

∵轴，轴，∴，∴是的中点，

∵为等边三角形，点的坐标为，

∴点的，∴点的坐标为，

∵点在反比例函数的图象上，∴.故答案为：.

18.解：①如图，连接，

∵，为中点，∴，

∴点在的垂直平分线上，

∵是等边三角形，∴，

∴点在的垂直平分线上，∴，故①正确；

②∵是等边三角形，是中点，∴，∴，

∴四边形不可能是菱形，故②不正确；

③∵是等边三角形，∴，，

∵，，∴，∴，∴，

∵，，∴，

∵是等边三角形，，∴，，

∴，∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，∴，故③正确；

④∵，∴，

∴，故④正确；

正确的结论有①③④，

故答案为：①③④.

三、解答题：（本大题共7小题，共78分）

19.（8分）

【解答】解：

……………………………………5分

.………………………………………………………………8分

20.（10分）

【解答】解：（1），

∴，

∴，

故答案为：60，6，12；……………………………………3分

（2）补全频数分布直方图如下：

……………………………………5分

扇形统计图中表示“”的圆心角的度数为：，故答案为：144；…………6分

（3）画树状图如下：

……………………………………8分

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，

∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为.……………………………………10分

21.（12分）

【解答】（1）证明：∵四边形是菱形，

∴且，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，…………………………………………4分

∵，

∴，

∴四边形是矩形；

（2）解：∵四边形是菱形，，………………………………6分

∴，，，，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，………………………………………………10分

∵菱形的面积，

即，…………………………………………12分

解得：.

22.（12分）

【解答】（1）解：∵直线过点，

∴，

∴将代入中，得，

∴反比例函数的解析式为；……………………………………3分

（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，

∵点在的图象上，

∴，

∴，

由平移得，平移后直线的解析式为，

将代入中，得；…………………………………………6分

（3）证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点.

由（1）知，反比例函数的解析式为，

∵点在的图象上，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，，……………………………………9分

由（2）知，，

∴平移后直线的解析式为，

又∵直线与轴、轴分别交于点，，

∴，，

∴，

在和中，

，

∴.…………………………………………12分

23.（10分）

【解答】解：（1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，

依题意得：，

整理得：，……………………………………………………3分

解得：，，

∵，

∴，

∴.

答：每顶头盔应降价20元；……………………………………………………5分

（2）设每周扣除捐赠可获得利润为元，每顶头盔售价为元，

依题意得：.……7分

∵抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大，

∴，

解得：，

又∵，且为整数，

∴或或.…………………………………………………………10分

24.（12分）

【解答】（1）证明：连接、，则，

∴，

∵是的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵于点，

∴，

∵是的半径，，

∴直线为的切线.…………………………………………5分

（2）解：∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，…………………………………………7分

∴，

∵，，

∴，………………………………9分

∴，

∴，…………………………………………10分

∴，

∵，

∴，

∴，

∴的半径长为3，的长为.…………………………………………12分

25.（14分）

【解答】解：（1）将，代入，

，解得，

∴抛物线的解析式为；……………………………………4分

（2）存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下：

∵，

∴对称轴为直线，

∵，，

∴，………………………………6分

设，

当时，，

解得或（舍去），

∴；…………………………………………7分

当时，，

解得或，

∴或；

综上所述：点坐标为或或；…………………………9分

（3）当点运动到位置时，的面积最大，理由如下：

令，则，

解得或，

∴，

设直线的解析式为，

，解得，

∴直线的解析式为，

如图，在线段上取一点，过点作轴交抛物线于点，……………………11分

设，

则，………………………………………………12分

∴，

∴当时，最大为2，此时的面积最大，

∴，

∴当时，的面积最大，最大值为4，

此时.

答：的最大面积为4，此时点的坐标为.…………………………14分