人教版 八年级下册数学 同步复习 第2讲 二次根式的乘除 讲义

导学一：二次根式的乘除

知识点01 二次根式的乘法法则

（1）计算法则：（）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；

（2）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。

（3）推广

① （a≥0，b≥0，c≥0）；

②；

③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

知识点02二次根式乘法法则的逆用

（1）计算法则：（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；

利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。

注：

（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如≠．。

（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。

推广：=．．．（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）

知识点03二次根式的除法法则

计算公式：（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。

（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。

（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。

知识点04 二次根式除法法则的逆用

（1）（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为，而应写为 。

利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。

常见的二次根式化简：① ；②

③

知识点05最简二次根式的概念

概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

注意，对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：

（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。

化简二次根式的一般方法

拓展：

分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。

分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。

分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。

常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。

二.重难点突破

重点1 二次根式的乘法法则

例1.  计算：

（1）；         （2）；         （3）；         （4）．

变式1 计算

（1）     （2）       （3）       （4）

重点2 二次根式乘法法则的逆用

例2.  化简后的结果为的是（       ）

A． B． C． D．

变式2-1 下列二次根式中，与相乘结果为无理数的是（       ）

A． B． C． D．

变式2-2 下列二次根式化简后，与的被开方数相同的是（　　）

A． B． C． D．

难点1  二次根式乘法法则成立的条件

例3.等式＝（x﹣4）成立的条件是（       ）

A．x≥4 B．4≤x≤6 C．x≥6 D．x≤4或x≥6

例4.等式＝成立的条件是(       )

A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1

例5.下列计算正确的是(      )

A． B．

C． D．

变式1. 等式•=成立的条件是（　　）

A．x≥1 B．﹣1≤x≤1 C．x≤﹣1 D．x≤﹣1或x≥1

变式2. 等式成立的条件是_____．

变式3. 如果代数式，那么m的取值范围是_____________

变式4. 下列结论中，对于实数、，成立的个数有（      ）

①；  ②；   ③；   ④．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

难点2 把根号外的因数（式）移到根号内

例1.将根号外的部分移到根号内，正确的是（ ）.

A． B． C． D．

例2.把根号外的因式移到根号内，得（ ）

A． B． C． D．

难点3 利用二次根式的乘法法则比较大小

例1.（1）比较实数的大小：___2（填“＞”、“＜”或“＝”）．

（2）比较二次根式的大小：__________(填“<”、“=”、“>”).

例2.二次根式的大小比较：________．【即学即练】比较二次根式的大小：__________(填“<”、“=”、“>”).

变式1.比较大小：_______       ___       ______．（填入“＜”或“＞”）．

变式2.比较大小：______3（填“＞”、“＜”或“＝”）．

变式3.若[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]=___．

难点4  二次根式乘法的应用

例1.现将某一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（       ）

A． B． C． D．

变式1. 如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小正方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ）

A．大长方形的长为6           B．大长方形的宽为5

C．大长方形的周长为11       D．大长方形的面积为90

重点3.最简二次根式

例1.列式子中，属于最简二次根式的是（   ）

A． B． C． D．

变式1.下列二次根式中，是最简二次根式的是　　

A． B． C． D．

变式2.下列各式属于最简二次根式的有（    ）

A． B． C． D．

变式3.根式中，最简二次根式有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式4.若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为(    )

A．- B． C．1 D．-1

变式5.若，则的值用、可以表示为                     （　 　）

A． B． C． D．

重点4.二次根式的化简

例1.把下列各式化成最简二次根式：

(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；

(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．

变式1.把下列各式化成最简二次根式：

=_          _；            =_          _；              =_          _．

变式2.化简二次根式的结果为(   )

A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a

变式3.若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________

变式4.已知实数，则a的倒数为________．

例2.已知：是整数，则满足条件的最小正整数为(      )

A．2 B．3 C．4 D．5

变式1.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_______．

变式2.已知是正整数，则正整数的最小值是_______________________．

重点5.二次根式的乘法混合运算

例1.计算

（1）                   （2）            （3）

变式1.计算2×÷3的结果是（　　）

A． B． C． D．

变式2.计算：÷                                                       

例2.计算：(－)2(5＋2)＝____．

变式1.计算：=__________

重点6.利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内

例1.把根号外面的因式移到根号内得(    )

A． B． C． D．-1

例2.计算:                          （）

变式1.计算：                                 

变式2.将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式_____．

变式3.把根号外的因式移入根号内，其结果是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

变式4已知：a=，b=，则a与b的关系是（　　）

A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等

题组A  基础过关练

1．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．下列各式计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．已知是整数，则满足条件的最小正整数为（    ）.

A．2 B．3 C．4 D．5

5．计算，结果为（       ）

A． B． C． D．

6．计算的结果是（　   　）

A． B． C． D．

7．如果，则x（       ）

A． B． C． D．x取任意数

8．·等于(　　)

A．a B．12a2b C．a2 D．2a

题组B  能力提升练

1．在二次根式，，，中，是最简二次根式的是_____．

2．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：

(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________

3．计算：____．

4．计算：__________．

5．计算：3÷×＝___________

6．计算：______．

7．计算的结果是______________．

8．若，则代数式 _______________________．

9．化简：＝___．

题组C  培优拔尖练

1．计算：

．         ．                   ．

2.计算

．                        

．