人教版 八年级下册数学 同步复习 第16讲 数据的分析 讲义

这是一份人教版 八年级下册数学 同步复习 第16讲 数据的分析 讲义，共16页。

学生/课程

年级
8年级
学科
数学
授课教师

日期

时段

核心内容
数据的分析 （第16讲）

课程标准
1. 了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．
2. 了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．
3. 了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．

知识点01 算术平均数和加权平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.
【注意】
平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
【注意】
（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.


算术平均数与加权平均数的区别与联系

区别
联系
算术平均数
算术平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”相同
若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的一种特例
加权平均数
加权平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同
知识点02 中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.
【注意】（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
【注意】
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
知识点03 平均数、中位数与众数的联系与区别
类别
区别
联系
平均数
平均数与每个数据都有关，可用样本的平均数估计总体的平均数
易受极端值的影响
都是描述一组数据的集中趋势的特征数
中位数
中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用它来描述集中趋势
不能代表整体
众数
众数考查的是各数据所出现的频数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题.
当各数据重复出现的次数大致相等的时候，它往往就没有什么特别的意义
注意：（1）平均数、中位数是唯一的，众数不一定是唯一的，在特殊情况下它们可能是同一个数据.
（2）平均数、中位数、众数都可以反映一组数据的集中趋势，但有不同的倾向，在实际应用中，需要根据具体情况选取适当的量来分析数据，应避免仅从一个方面考虑.

知识点04 极差、方差和标准差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值.
【注意】
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：

【注意】
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
知识点05 极差、方差的联系与区别
联系：极差与方差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；
方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
知识点06 用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
【注意】
（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.

知识点1：平均数
重点1 平均数
例1. 一组数据6、4、a、3、2的平均数是5，则a的值为(            )
A．10 B．5 C．8 D．12
变式1-1 ，…,的平均数为4，，…,的平均数为6，则，…,的平均数为（       ）
A．5 B．4 C．3 D．8
变式1-2 某地区某月前两周从周一至周五每天的最低气温是单位：，和，若第一周这五天的平均气温为，则第二周这五天的平均气温为(       )
A． B． C． D．
重点点拨：
求平均数时需要先求这组数据的和，再除以数据的个数，如果已知数据的平均数，可以根据计算公式列方程求这组数据中的未知数据.

重点2 加权平均数
例2. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课外锻炼占20%，期中考试成绩占40%，期末考试成绩占40%．小乐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85，则小彤这学期的体育成绩为是（   ）
A．85 B．89 C．90 D．95
变式2 某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为3：5：2．小王经过考核后所得的分数依次为90、88、83分，那么小王的最后得分是（　　）
A．87 B．87.5 C．87.6 D．88
重点点拨：
在计算加权平均数时，分子是各数据与权的积的和，分母是权的和，权常见的三种表现形式：①数据出现的次数；②百分数；③整数比.

重点3 利用统计图求平均数或加权平均数
例3. 为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10%进行测试，将这些学生的测试成绩（x）分为四个等级：优秀；良好；及格；不及格，并绘制成以下两幅统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是______；
（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；
（3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数．


变式3 某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为，所占比例如下表：
项目
学习
卫生
纪律
活动参与
所占比例




八年级班这四项得分依次为，，，，则该班四项综合得分（满分）为（     ）
A． B． C． D．
重点点拨：
先从统计图中获取数据，再根据定义求平均数.

重点4 算术平均数的计算
例4. 已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数据x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数是____．
变式4 已知数据的平均数是2，则数据，，…，的平均数是（       ）
A．2 B．102 C．104 D．98
重点点拨：
若的平均数为，的平均数为，则有如下结论：
①的平均数为 ②的平均数为
③的平均数为
④的平均数为


重点5 加权平均数的实际应用
例5. 射击比赛中，某队员 10 次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是__________环．

变式5 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为_______分．
重点点拨：
不同的权，可能会影响最后决策的结果，在实际生活中，当对某个方面要求比较高时，往往可以加大这部分的权，以得到预期的结果.

知识点2：用样本平均数估计总体平均数
重点1 组中值
例1. 为了解2路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天2路公共汽车每个运行班次的载客量，得到如表各项数据．
载客量/人
组中值
频数(班次)
1≤x<21
11
2
21≤x<41
a
8
41≤x<61
b
20
（1）求出表格中a=_______，b=______．
（2）计算该2路公共汽车平均每班的载客量是多少?

变式1 为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了一周内5路公共汽车部分运行班次的载客量，得到下表：求5路公共汽车平均每班的载客量是多少？

重点点拨：
计算组中值，即为计算加权平均数.


重点2 用样本平均数估计总体平均数
例2. 学校环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9,利用学过的统计知识，根据上述数据估计该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（   ）
A．200只； B．1400只； C．9800只； D．14000只．
变式2 某校在开展“节约每一滴水”的活动中，从八年级的100名同学中任选20名同学汇总了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如表：请你估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（       ）
节水量




人数/名
6
2
8
4



A． B． C． D．
重点3 用样本估计总体的实际应用
例3. 为宣传节约用水，小强随机调查了某小区部分家庭3月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
（1）小明一共调查了多少户家庭？
（2）求所调查家庭3月份用水量的众数、中位数和平均数；
（3）若该小区有800户居民，请你估计这个小区3月份的总用水量是多少吨？


重点点拨：
用样本平均数估计总体平均数时，要根据样本的情况计算平均数,再利用样本估计总体.

变式3 为了提升学生的交通安全意识，学校计划开展全员“交通法规”知识竞赛，七（3）班班主任赵老师给全班同学定下的目标是：合格率达90%，优秀率达25%（x<60为不合格；x≥60为合格；x≥90为优秀），为了解班上学生对“交通法规”知识的认知情况，赵老师组织了一次模拟测试，将全班同学的测试成绩整理后作出如下频数分布直方图．（图中的70～80表示，其余类推）
(1)七（3）班共有多少名学生？
(2)赵老师对本次模拟测试结果不满意，请通过计算给出一条她不满意的理由；
(3)模拟测试后，通过强化教育，班级在学校“交通法规”竞赛中成绩有了较大提高，结果优秀人数占合格人数的，比不合格人数多10人．本次竞赛结果是否完成了赵老师预设的目标？请说明理由．

重点点拨：
找到总体的平均数，先用加权平均数计算出个数的平均数，再运用样本估计总体的方法得到总体的平均数，最后计算出总数.


重点4 用样本估计总体与统计图的综合
例4.党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分．（以下数据来源于国家统计局）
年份/人数/地区
2017
2018
2019
东部
300
147
47
中部
1112

181
西部
1634
916
323
根据统计图表提供的信息，解决下列问题：
(1)求2018年中部地区农村贫困人口；
(2)2016～2019年，全国人口农村贫困人口数量的中位数为 万人；
(3)小明认为：2017～2019年，西部地区农村贫困人口的减少数量明显高于东部地区，所以西部地区农村贫困人口数量减少的百分率也高于东部地区．你认同小明的观点吗？请说明理由（计算结果精确到1%）．



变式4 根据下列统计图，写出相应分数的平均数、众数和中位数．
（1） （2）


重点点拨：
在总体信息不明确或难以求出总体的平均数时，可考虑用总体的一个样本的平均数估计总体的平均数，设计图表时，关键是读懂图表中呈现的信息.


知识点3：中位数和众数
重点1 中位数
例1. 一组数据1，2，5，6，3，6，则这组数据的中位数是_____．
变式1-1 一组数据分别为：79、81、77、82、75、82，则这组数据的中位数是______．
变式1-2 已知一组数据：0，1，2，x，4，5的平均数是3，那么这组数据的中位数是_______．
重点点拨：
求中位数先排序，再根据数据的个数确定中位数.


重点2 众数
例2. 一组数据：3，4，5，4，6，这组数据的众数是______．
变式2-1 某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，176，134，164，176，162，这组数据的众数是（       ）
A．162 B．176 C．176 D．176
变式2-2 已知一组数据、、、、的众数为，则该组数据的平均数为（     ）
A． B． C． D．
重点点拨：
求众数时，要先看是求哪一组数据的众数，再找出次数最多的那个数据，即为众数.注意不要把次数当成了众数.

重点3 利用统计图表计算中位数、众数
例3. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（       ）
成绩/分
84
88
92
96
100
人数/人
2
4
9
10
5
A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分
变式3-1随着2022年北京冬奥会的举办，冰雪运动在中国持续升温。为了调查学生对冰雪运动知识的了解情况，某校随机抽取部分学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
组别
成绩分组（单位：分）
频数
频率
A

3
0.06
B


0.08
C

16
a
D

b

E

8
0.16
所抽取学生测试成绩在这一组的具体成绩是：80   80   81   81   82   82   82   83   83   84   84   85   85   86   86   86   87   88   89
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 人， ，补全条形统计图；
(2)本次调查中，所抽取学生成绩的中位数是 ；
(3)该校共有学生1200人，若成绩在85分以上（含85分）的为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数．



重点点拨：
当数据较多时，求中位数的方法：
先排序确定数据个数（设为），当为奇数时，处于中间位置的数据是中位数，即第个数据；当为偶数时，处于中间位置的两个数据的平均数是中位数，即第个和第个数据的平均数


重点4 利用分类讨论思想解决有关中位数的问题
例4. 五个正整数，中位数是，众数是，则这五个正整数的平均数是______ ．
变式4-1 一组数据：1，2，4，10，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是____．
变式4-2小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是小时、小时、小时、小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（       ）
A．小时 B．小时 C．或小时 D．或或小时
重点点拨：
求中位数首先要确定排序后处在中间的一个数或两个数；如果不确定，那么就需要分情况讨论.


知识点4：平均数、中位数和众数的应用
重点1 利用平均数、中位数和众数做决策
例1. 车间有20名工人，某天他们生产的零件个数统计如下表．
车间20名工人某一天生产的零件个数统计表
生产零件的个数（个）
9
10
11
12
13
15
16
19
20
工人人数（人）
1
1
6
4
2
2
2
1
1
（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数；
（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？



变式1-1 某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：整理上面数据，得到条形统计图：
20
21
19
16
27
18
31
29
21
22
25
20
19
22
35
33
19
17
18
29
18
35
22
15
18
18
31
31
19
22
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量
平均数
众数
中位数
数值
23
m
21
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中众数m的值为　 　；
（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据　 　来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．


重点点拨：
分析做出决策时要从平均数、中位数和众数的优缺点进行分析，侧重点不同，所做的决策不同.

重点2 平均数、中位数、众数与统计图表的综合
例2. 2021年12月2日是第十个“全国交通安全日”公安部、中央网信办、中央文明办、教育部、司法部、交通运输部、应急管理部、共青团中央联合发出通知，决定自2021年11月18日起至年底，以“守法规知礼让、安全文明出行”为主题，共同组织开展第十个“全国交通安全日”群众性主题活动．某中学团委组织开展交通安全知识竞赛现从七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩均为整数，成绩得分用x表示），共分成五个等级：A．，B．，C．，D．，E．（其中成绩大于等于90的为优秀），下面给出了部分信息．
七年级抽取的20名学生的竞赛成绩在D等级中的数据分别是：83，85，85，85，85，89．
八年级抽取的20名学生的竞赛成绩在D等级中的数据分别是：83，85，85，85，85，85，89．

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

平均数
中位数
众数
满分率
七年级
81.4
a
85

八年级
83.3
85
b

根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出a、b的值；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知该校七、八年级共有1200名学生参与了知识竞赛，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生人数是多少？



变式2-1 寒假将至，为增强学生防疫意识，某中学七、八年级举办了防疫知识问答竞赛．现从七、八年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛分数（单位：分）进行整理和分析，当分数不低于95分为优秀，下面给出部分信息．
七年级被抽取学生防疫知识竞赛分数条形统计图       八年级被抽取学生防疫知识竞赛分数扇形统计图

七、八年级被抽取的学生防疫知识竞赛分数的中位数、众数、优秀率如下表：
年级
中位数
众数
优秀率
七年级

95

八年级
95

60%
(1)填空：________；________；________；________；并补全条形统计图；
(2)若该校七、八年级各有500名学生，估计这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数．
(3)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级防疫知识掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

重点点拨：
有表格数据时，可从三个方面进行，（1）由平均数、中位数、众数的概念求值；
（2）从平均数、中位数、众数的大小上进行比较；（3）利用样本估计总体求值




课后作业

1．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．某排球队名场上队员的身高（单位：）是：，，，，，.现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高（       ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
3．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
班级
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
55
135
149
191
乙
55
135
151
110
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论中，正确的是（　　）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．，…,的平均数为4，，…,的平均数为6，则，…,的平均数为（       ）
A．5 B．4 C．3 D．8
5．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的(       )
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
6．若一组数据2，3，4，5，的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则的值为（       ）．
A．1 B．6 C．1或6 D．5或6
7．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，，的平均数和方差分别是　　．
A． B． C． D．
8．已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是_____．
9．某水果店销售11元，18元，24元三种价格的水果，根据水果店一个月这三种水果销售量的统计图如图，可计算出该店当月销售出水果的平均价格是______元

10．已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是_____．
11．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是______．
12．已知个互不相同的正整数的平均数是，中位数，那么这个正整数中最大数的最大值是________．
13．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为__________．
14．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）图1中a的值为　 　；
（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．






15．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______，______．
该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．