第17章 勾股定理——2022-2023学年初中数学人教版八年级下册期中复习讲与练学案（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24251" 17.1 勾股定理-知识与方法 PAGEREF _Tc24251 \h 2
\l "_Tc22903" 知识点① 勾股定理 PAGEREF _Tc22903 \h 3
\l "_Tc16122" 知识点② 勾股定理的验证 PAGEREF _Tc16122 \h 3
\l "_Tc569" 知识点③ 勾股定理的实际应用 PAGEREF _Tc569 \h 3
\l "_Tc15959" 方法① 利用直角三角形的性质进行解题的方法 PAGEREF _Tc15959 \h 4
\l "_Tc5338" 方法② 直接利用勾股定理列方程解决实际问题的方法 PAGEREF _Tc5338 \h 4
\l "_Tc23408" 方法③ “构造直角三角形”的方法 PAGEREF _Tc23408 \h 4
\l "_Tc10561" 方法④ 利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题的方法 PAGEREF _Tc10561 \h 4
\l "_Tc6983" 方法⑤ 运用勾股定理作长为n(n为大于1的整数)的线段的方法 PAGEREF _Tc6983 \h 4
\l "_Tc12857" 方法⑥ 运用勾股定理求正方形网格中线段长的方法 PAGEREF _Tc12857 \h 4
\l "_Tc26629" 17.1 勾股定理-考点分类汇编 PAGEREF _Tc26629 \h 5
\l "_Tc20906" 【考点1】 勾股定理 PAGEREF _Tc20906 \h 5
\l "_Tc17100" 【命题点（一）】 用勾股定理解直角三角形 PAGEREF _Tc17100 \h 5
\l "_Tc14241" 【命题点（二）】 勾股数问题 PAGEREF _Tc14241 \h 5
\l "_Tc18725" 【命题点（三）】 以直角三角形三边为边长的图形面积 PAGEREF _Tc18725 \h 5
\l "_Tc10886" 【命题点（四）】 勾股定理与网格问题 PAGEREF _Tc10886 \h 5
\l "_Tc21193" 【命题点（五）】 勾股定理与折叠问题 PAGEREF _Tc21193 \h 5
\l "_Tc2621" 【命题点（六）】 利用勾股定理求线段的和差问题 PAGEREF _Tc2621 \h 5
\l "_Tc21212" 【命题点（七）】 勾股定理与无理数 PAGEREF _Tc21212 \h 5
\l "_Tc27901" 【命题点（八）】 勾股定理的实际应用 PAGEREF _Tc27901 \h 5
\l "_Tc16338" 17.2 勾股逆定理-知识与方法 PAGEREF _Tc16338 \h 6
\l "_Tc11293" 知识点① 勾股数 PAGEREF _Tc11293 \h 6
\l "_Tc8078" 知识点② 勾股定理的逆定理 PAGEREF _Tc8078 \h 6
\l "_Tc10292" 知识点③ 勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 PAGEREF _Tc10292 \h 6
\l "_Tc389" 方法① 运用勾股定理的逆定理判断三角形形状的方法 PAGEREF _Tc389 \h 7
\l "_Tc1846" 方法② 勾股定理的逆定理的应用 PAGEREF _Tc1846 \h 7
\l "_Tc16104" 方法③ 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 PAGEREF _Tc16104 \h 7
\l "_Tc1140" 17.2 勾股逆定理-考点分类汇编 PAGEREF _Tc1140 \h 8
\l "_Tc22813" 【考点1】 勾股定理的逆定理 PAGEREF _Tc22813 \h 8
\l "_Tc27050" 【命题点（一）】 判断三边是否构成直角三角形 PAGEREF _Tc27050 \h 8
\l "_Tc20758" 【命题点（二）】 利用勾股定理的逆定理求解 PAGEREF _Tc20758 \h 8
\l "_Tc16776" 【命题点（三）】 勾股定理逆定理的实际应用 PAGEREF _Tc16776 \h 8
\l "_Tc26180" 【命题点（四）】 勾股定理逆定理的拓展问题 PAGEREF _Tc26180 \h 8
17.1 勾股定理-知识与方法
勾股定理★★★
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
勾股定理的验证★★☆
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
勾股定理的实际应用★★☆
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
利用直角三角形的性质进行解题的方法★★☆
几何体表面最短距离的问题，通常都是将几何体表面展开，变为平面展开图中两点之间的最短距离问题，从中抽象出直角三角形，正确运用勾股定理进行解题。
直接利用勾股定理列方程解决实际问题的方法★★☆
利用勾股定理求线段长时，主要思路是找出直角三角形，设出合适的未知数，运用勾股定理找相等关系建立方程，通过解方程求解。
“构造直角三角形”的方法★★★
勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一，若图中没有含特征线段的直角三角形，则需要添加辅助线，构造满足条件的直角三角形。
利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题的方法★★★
解决“翻折”问题时，首先要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长或通过勾股定理列方程使问题得以解决。
运用勾股定理作长为n(n为大于1的整数)的线段的方法★☆☆
实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上直接标出无理数对应的点较难。我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段。
运用勾股定理求正方形网格中线段长的方法★★☆
正方形网格中的每一个角都是直角，在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的距离问题，一般情况下都是应用勾股定理来进行计算，关键是确定每一条边所在的直角三角形。
17.1 勾股定理-考点分类汇编
勾股定理
用勾股定理解直角三角形
如图，在中，，点、分别是、的中点，连接、．若，，则的长为（ ）
A．10B．C．D．
【解答】解：∵点、分别是、的中点，
∴，，
∵，，，
∴由勾股定理可得：
在中，，即：，
在中，，即：，
∴，
即：，
∴，
在中，，
故选：C．
如图，在中，，，点在边上，且，，则的长度是（ ）
A．3B．4C．6D．7
【解答】∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于M和N点，作直线交于点D，交于点E，若，则等于__________．
【解答】解：连接，
设，则，
根据勾股定理得：
即：
解得：（负值舍去），即，
由作图可知垂直平分，
∴
在
，
即：(
解得：，
故答案为：
在中，，，，则______．
【解答】解：如图所示，
∵中，，，，
则，
故答案为：．
勾股数问题
下面各组数中，勾股数是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，1，C．5，12，13D．1，，2
【解答】解：A、都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
B、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：C．
下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．4，6，8B．1.5，2，2.5C．1，1，2D．3，4，5
【解答】解：A．，故不是勾股数；B．存在小数，故不是勾股数；
C．，故不是勾股数；D．，故是勾股数；故选D．
有下列各组数：①6，8，；②，，；③，，1；④，，；⑤，，．其中勾股数有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【解答】解：，故①是勾股数；，故②不是勾股数；
、不是正整数，故③不是勾股数；，故④是勾股数；
，，不是正整数，故⑤不是勾股数；所以勾股数有①、④，共2组，故选：B．
以直角三角形三边为边长的图形面积
我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形面积和为，即，
∴， ，
∴．
故选：C．
如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】
由题意得，正方形E的面积为，则正方形D的面积．故选：C．
如图，以Rt的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【解答】解：由勾股定理得：，，，
，，故选：D．
如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：如图，连接，
在和中，由勾股定理得，，
∴，即，∴，故选B．
如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则___________．
【解答】解：∵，
∴，∴或（舍去），故答案为：6．
张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为______．
【解答】解：∵在中，，，，
∴，∴图中两个“月牙”即阴影部分面积为
，故答案为：6．
勾股定理与网格问题
如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，又∵，
∴边长的高为：，故B正确．故选：B．
如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，则的长为（ ）．
A．B．C．D．
【解答】解：由勾股定理，得：，
∴，
∴；故选A．
如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A、B、C均在格点上，于点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，，∴，
解得：．故选：B．
如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，∴,∴点E所表示的数是，
故选：C．
勾股定理与折叠问题
如图，已知长方形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，则的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【解答】∵四边形为长方形，
∴，
∴．
由折叠的性质可知，，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
故选B．
如图，点是长方形的一边上一点，沿折叠使点落在边上的点处，若，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：∵四边形是长方形，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵
∴，
在中，，
∴设，则
在中，
，
解得：，
即，
故选：B．
如图，四边形中，，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为______．
【解答】解：设，则，
根据勾股定理可得，，
解得：，
由翻折性质可得，，
，
，
，
，
．
故答案为：30．
如图，在中，，，E、F分别为边、上的点，沿将折叠，使点A落在边的中点处，若，则线段的长度为______．
【解答】解：由折叠的性质可得，
为等腰直角三角形，，
，
为的中点，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
解得，
，
故答案为：5．
如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，，，则的值是_________ ．
【解答】解：∵将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
如图，有一张直角三角形的纸片，．现将三角形折叠，使得边与重合，折痕为．则长为_____________．
【解答】解：在中，
∴，
设，
依题意，，，，,
∴，
在中，
即，
解得：，即，
故答案为：．
已知：如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点E处，已知，则______cm．
【解答】解：由长方形的性质可知，，
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
故答案为：．
利用勾股定理求线段的和差问题
一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10B．13C．7D．14
【解答】解：由题意得，直角三角形的斜边为：，故选：A．
在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c，
，∵，，∴，
，故A正确．故选：A．
如图，在四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为______．
【解答】解：∵，，，
∴Rt△ACD中由勾股定理可知：，
∵四边形ABCD的面积为49，且
∴，代入数据：，，，
∴，在Rt△ABC中由勾股定理可知：，故答案为：．
勾股定理与无理数
如图，数轴上的点表示的数为，以为边长的正方形的一个顶点在点处，以点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，，
∵数轴上的点表示的数为，
∴点P表示的数为，
故选C．
如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵在长方形中，，，
∴，则点A到该交点的距离为，
∵点A表示的数为，∴该点表示的数为：，故选：D．
如图，数轴上点C所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，，， ∴，
∴，故D正确． 故选：D．
如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形是矩形，∴，∵，
∴，∵，
∴，∴点M表示点数为．故选A．
如图，已知，点C对应的数是，，那么数轴上点A所表示的数是_____．
【解答】解：由题图可知，，∵，，
∴．∵点A在数轴的负半轴上，
∴点A所表示的数是．故答案为：．
勾股定理的实际应用
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）．
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，∴，∴小巷的宽为，故选：．
如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．3尺B．尺C．尺D．4尺
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，
根据勾股定理得：，解得：，∴折断处离地面的高度为尺，
故选：B．
将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为8厘米，高为15厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，＝，
故h．故h的取值范围是．故选：C．
如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，
∴，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，∴，
此时，所以取值范围是，故选：D．
如图，在一笔直的沿湖道路l上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则（ ）
A．B．C．4D．6
【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵设开往码头、的游船速度分别为、，回到、所用时间相等，
∴，
故选：A．
如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2kmB．4kmC．10 kmD．14 km
【解答】解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．故选：B．
如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（ ）
A．天B．天C．天D．天
【解答】解：∵，
∴.
在中，，，
∴，
∴隧道凿通需要（天），
∴天才能把隧道凿通．
故选：．
荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为_________m．
【解答】解：由题意可知：，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：10．
如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．
【解答】解：如图所示，过D点作，垂足为E，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴
∴（负值舍去），
∴小鸟飞行的最短路程为，
故答案为：．
如图，船位于船正东方向5 km处．现在船以2 km/h的速度朝正北方向行驶，同时船以1 km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了_______h．
【解答】设时两船相距为，则，，
由题意可知：，
故当时，即时两船相距最近，
故答案为：1
某会展期间，准备在高米、长米，宽2米的楼梯上铺地毯，则所铺地毯的面积为 __________平方米．
【解答】解：∵米、长米，
∴米，
∵楼梯宽2米，
∴地毯的面积为：．
故答案为：34
17.2 勾股逆定理-知识与方法
勾股数★★☆
勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
勾股定理的逆定理★★☆
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别★★☆
1.联系：①二者都与三角形的三边有关且都包含等式②二者都与直角三角形有关；③二者是互逆定理。
2.区别
运用勾股定理的逆定理判断三角形形状的方法★★☆
1.先确定最长边，算出最长边的平方；
2计算另两边的平方和；
3.比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形。
勾股定理的逆定理的应用★★☆
有时图形中并没有明确地给出直角三角形，但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，故可考虑利用勾股定理的逆定理解决。
利用勾股定理及其逆定理解决实际问题★★☆
勾股定理是已知三角形是直角三角形，得到三角形三边的数量关系；勾股定理的逆定理是由三角形的三边的数量关系，得到这个三角形是直角三角形，二者相互结合，可以有效地分析和解决实际问题。
17.2 勾股逆定理-考点分类汇编
勾股定理的逆定理
判断三边是否构成直角三角形
下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】A.，且，，故是直角三角形；B.，且，，，，故不是直角三角形；C.，，故是直角三角形；D.，可设，，，，，故是直角三角形．故选B．
由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解答】解：A、，，，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故A不符合题意；
B、，，，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故B不符合题意；
C、，，，
由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故C符合题意；
D、，，，
由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故D不符合题意．故选：C．
以下选项不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，，
【解答】A．∵，∴，∴是直角三角形；
B．∵，∴，∴不是直角三角形；
C．∵，设，∵，∴为直角三角形；D．∵，，，，∴为直角三角形；故选B．
已知，的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．不能判断是直角三角形，故选项符合题意；
B．∵，，∴，
∴是直角三角形，故选项不符合题意；C．，则是直角三角形，故选项不符合题意；D．，则是直角三角形，故选项不符合题意．
故选：A．
利用勾股定理的逆定理求解
如图，已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12B．24C．36D．48
【解答】解：∵，
∴在中，由勾股定理可知：
，
又∵，
∴是直角三角形，
∴
，故B正确．
故选：B．
如图，在中，，，是边上的中线，，则的面积为___________．
【解答】解：延长到点，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
故答案为：6．
已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为______．
【解答】，，
，
为直角三角形，，
设，
是等腰三角形，
，
，
解得，，
故答案为：
如图，，，边上的中线，则的面积为__________．
【解答】延长至，使，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴是直角三角形，，
∴，
∴
，
故答案为：6
勾股定理逆定理的实际应用
如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【解答】解：连接 ，如图所示：
∵，，，
∴；
∵，，，即，
∴是直角三角形，
∴四边形的面积
．
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知，，，，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
，
∴这块空地铺满草坪的面积为：．
如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点． 其中，由于某种原因由C到A的路现在已经不通．为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得，．
(1)是否为从旅游地C到河流的最短路 线？请通过计算加以说明；
(2)求原来路线的长．
【解答】（1）解：是从旅游地C到河流的最短路线．理由如下：
在中，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是从旅游地C到河流的最短路线．
（2）解：设，则，
在中，，
即，
解得：，
答：原来路线的长为．
勾股定理逆定理的拓展问题
已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵42+92=97＜122，∴三角形为钝角三角形，∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．故选：C．
阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形．
【解答】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，∴52+122=x2，∴x=13，
当12是斜边，则52+x2=122，解得：x=，综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
【解答】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，∴52+122=x2，
∴x2=169，当12是斜边，则52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是锐角三角形，
则或，则或，∴或；
若△ABC是直角三角形，则或，则或；
若△ABC是钝角三角形，则或，则或，
∴．
阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．
解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．
认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：
（1）填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．
（2）已知△ABC三边分为、、，求证：△ABC是直角三角形．
（3）已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．
【解答】
勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．
【探究1】
（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
【探究2】
观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _；
（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _；
（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．
_；
请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
【解答】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·
（2）证明：
，，
满足以上公式的是一组勾股数；
（3）∵＝∴满足以上公式的是一组勾股数；
当时，，
∴构成一组勾股数．(答案不唯一）
探究2：（1）依据规律可得，如果勾为，
则股，
弦，
（2）如果勾用，且为奇数）表示时，
则股，
弦
（3）①b＝80．
②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，
则另一条直角边
弦