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备战中考初中数学导练学案50讲—第21讲直角三角形与勾股定理（讲练版）
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这是一份备战中考初中数学导练学案50讲—第21讲直角三角形与勾股定理（讲练版），共23页。学案主要包含了疑难点拨等内容，欢迎下载使用。
备战中考初中数学导练学案50讲
第21讲 直角三角形与勾股定理
【疑难点拨】
1. 直角三角形斜边上中线性质的应用：
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
2. 勾股定理“小诊所”
（1）受勾3股4的影响，忽视分情况讨论：题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边，造成错误的原因应该是思维定势，受勾3股4的影响而忽视分情况讨论。
（2）忽视勾股定理的存在条件是直角三角形中运用。
（3）忽视勾股定理表达式中的结构特点错误在于忽视勾股定理的本质特点，只注意了表面形式。
（4）忽视对图形的讨论：错解中只考虑三角形的高在三角形的内部的情况，忽视了高还有可能在三角形外的情况。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•山西•3分）“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 （）
A.《九章算术》 B. 《几何原本》 C. 《 海 岛 算 经 》 D. 《 周 髀 算 经 》
2. （2018•山东滨州•3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3. （2018·广西贺州·3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
4. （2018•湖北黄冈•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=
A.2 B.3 C.4 D.2
（第5题图）
5. （2018四川省泸州市3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
二、填空题：
6. （2018·湖北荆州·3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”）
7. （2018·云南省曲靖·3分）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
8. (2017·武汉中考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为________.
三、解答与计算题：
9. 如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．
10. 个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理.
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
12. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是（ ）．
A.3 B．4 C．5 D．6
13. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
二、填空题：
14. 如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2= ．
【考点】勾股定理．
15. （2018·云南省·3分）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 ．
三、解答与计算题：
16. （2018•广安•8分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．
17. 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
18. 如果△ABC的三边长分别为a、b、c，并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．
【探究篇】
19. 如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，CE，点F是线段AE上一点，∠ABF=∠CBE，BE=BF，连接CE，CF．
（1）试求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
20. 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段 ， ；S矩形AEFG：S▱ABCD= ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
第21讲 直角三角形与勾股定理
【疑难点拨】
1. 直角三角形斜边上中线性质的应用：
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
2. 勾股定理“小诊所”
（1）受勾3股4的影响，忽视分情况讨论：题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边，造成错误的原因应该是思维定势，受勾3股4的影响而忽视分情况讨论。
（2）忽视勾股定理的存在条件是直角三角形中运用。
（3）忽视勾股定理表达式中的结构特点错误在于忽视勾股定理的本质特点，只注意了表面形式。
（4）忽视对图形的讨论：错解中只考虑三角形的高在三角形的内部的情况，忽视了高还有可能在三角形外的情况。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•山西•3分）“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 （）
A.《九章算术》 B. 《几何原本》 C. 《 海 岛 算 经 》 D. 《 周 髀 算 经 》
【答案】 B
【考点】 数学文化
【解析 】 《 几 何 原 本 》 的 作 者 是 欧 几 里 得
2. （2018•山东滨州•3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为=5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3. （2018·广西贺州·3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【解答】解：∵AD=ED=3，AD⊥BC，
∴△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE==3，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE=BC，
则BC=2AE=6，
故选：D．
4. （2018•湖北黄冈•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=
A.2 B.3 C.4 D.2
（第5题图）
【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AE=5，又知AD=2，可得DE=AE-AD=5-2=3，在Rt△CDE中，运用勾股定理可得直角边CD的长。
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，
∴CE=AE=5，
又∵AD=2，
∴DE=AE-AD=5-2=3，
∵CD为AB边上的高
∴∠CDE=90°，
∴△CDE 为Rt△
∴CD===4
故选C.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。得出DE的长是解题的关键。
5. （2018四川省泸州市3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4，
∴4×ab+（a﹣b）2=25，
∴（a﹣b）2=25﹣16=9，
∴a﹣b=3，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
二、填空题：
6. （2018·湖北荆州·3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”）
【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD==，AB==，
∴BD+AD=+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为：＞．
7. （2018·云南省曲靖·3分）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
8. (2017·武汉中考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为________.
【解析】如图,将△ABD沿AD翻折得△AFD,可证△ACE≌△AFE,∴BD=DF,CE=EF,
∠AFD=∠B=30°,∠AFE=∠C=30°,
∴∠DFE=60°,
作EH⊥DF于H,设BD=2CE=4x,
则EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,
DE2=DH2+EH2,∵在△ABC中,AB=AC=2∠BAC=120°,易得BC=6,∴(6-6x)2=(3x)2+(x)2,
解得:x1=,x2= (舍去),
∴DE=6-6x=3-3.
答案:3-3
三、解答与计算题：
9. 如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD和△DBC是直角三角形，然后根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，将其相加即可得到四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接BD，
在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，
∴BD===5，
△BCD中，BC=12，DC=13，DB=5，
52+122=132，即BC2+BD2=DC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=AD•AB+BD•BC
=×4×3+×5×12
=6+30
=36．
【点评】此题要将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．
10. 个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理.
【解析】∵四边形BCC′D′为直角梯形,
∴S梯形BCC′D′= (BC+C′D′)·BD′= .
∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′,∴∠BAC=∠B′AC′,
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′
=∠CAB′+∠BAC=90°.
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′= ab+ c2+ ab=,
即=,整理,得a2+b2=c2.
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
【解答】解：
∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，
∴∠B=∠EAF=45°，
∴∠AFB=90°，
∵点E为AB中点，
∴EF=AB，EF=，
∴AB=AC=3，
∵∠BAC=90°，
∴BC==3，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
12. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是（ ）．
A.3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】规律型．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．故选B。
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
13. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．在Rt△ABH中，解直角三角形即可解决问题；
【解答】解：作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．
在Rt△AHB中，∠ABH=30°，
∴BH=AB•cos30°=9，
∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4，
∴AF=CH=4，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：
14. 如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2= 7 ．
【考点】勾股定理．
【分析】连续运用勾股定理即可解答．
【解答】解：由勾股定理可知OB=，OC=，OD=
∴OD2=7．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15. （2018·云南省·3分）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 9或1 ．
【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
【解答】解：有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD===5，
CD===4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
三、解答与计算题：
16. （2018•广安•8分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．
【分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；
（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；
（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
【解答】解：（1）如图（1）所示：
（2）如图（2）所示：
（3）如图（3）所示；
（4）如图（4）所示．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．
17. 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD=240km，
所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，
答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；
（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴BE=BD﹣DE=240﹣30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，
∵台风速度为15km/h，
∴210÷15=14时，270÷15=18，
∵早上6：00接到台风警报，
∴6+14=20时，6+18=24时，
∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．
18. 如果△ABC的三边长分别为a、b、c，并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．
【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化简后判断则可．
【解答】解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c
a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0
即（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0
∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0
∴a=5，b=12，c=13
∵52+122=169=132
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了式子的变形和因式分解，然后再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【探究篇】
19. 如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，CE，点F是线段AE上一点，∠ABF=∠CBE，BE=BF，连接CE，CF．
（1）试求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）结论：AE﹣EC=BE．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=BE，
∵∠ABF=∠CBE，
∴∠FBE=∠ABC=90°，∵BF=BE，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴EF=BE，
∴AE﹣EC=AE﹣AF=EF=BE．
（2）结论：△FEC是直角三角形．
理由：设BC交AE于O．
∵△ABF≌△CBE，
∴∠OCE=∠OAB，
∵∠COE=∠AOB，
∴∠CEO=∠ABO=90°，
∴△FEC是直角三角形．
20. 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段 AE ， GF ；S矩形AEFG：S▱ABCD= 1：2 ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；
由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，
∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，
∴S矩形AEFG=S▱ABCD，
∴S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2；
故答案为：AE，GF，1：2；
（2）∵四边形EFGH是矩形，EF=5，EH=12，∠FEH=90°，
∴FH===13，
由折叠的性质得：DH=NH，AH=HM，CF=FN，
∴CF=AH，
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13；
（3）有以下两种基本折法：
①折法1中，如图4所示：
由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四边形EFMB是叠合正方形，
∴BM=FM=4，
∴GM=CM===3，
∴AD=BG=BM﹣GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如图5所示：
由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH=CD=5，
∵四边形EMHG是叠合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，
∵∠B=90°，
∴FM=BM==3，
设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，
∴AD+BC=，
∴BC=﹣x，
∴MC=BC﹣BM=﹣x﹣3，
∵MN=MC，
∴3+x=﹣x﹣3，
解得：x=，
∴AD=，BC=﹣=．
备战中考初中数学导练学案50讲
第21讲 直角三角形与勾股定理
【疑难点拨】
1. 直角三角形斜边上中线性质的应用：
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
2. 勾股定理“小诊所”
（1）受勾3股4的影响，忽视分情况讨论：题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边，造成错误的原因应该是思维定势，受勾3股4的影响而忽视分情况讨论。
（2）忽视勾股定理的存在条件是直角三角形中运用。
（3）忽视勾股定理表达式中的结构特点错误在于忽视勾股定理的本质特点，只注意了表面形式。
（4）忽视对图形的讨论：错解中只考虑三角形的高在三角形的内部的情况，忽视了高还有可能在三角形外的情况。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•山西•3分）“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 （）
A.《九章算术》 B. 《几何原本》 C. 《 海 岛 算 经 》 D. 《 周 髀 算 经 》
2. （2018•山东滨州•3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3. （2018·广西贺州·3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
4. （2018•湖北黄冈•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=
A.2 B.3 C.4 D.2
（第5题图）
5. （2018四川省泸州市3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
二、填空题：
6. （2018·湖北荆州·3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”）
7. （2018·云南省曲靖·3分）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
8. (2017·武汉中考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为________.
三、解答与计算题：
9. 如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．
10. 个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理.
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
12. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是（ ）．
A.3 B．4 C．5 D．6
13. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
二、填空题：
14. 如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2= ．
【考点】勾股定理．
15. （2018·云南省·3分）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 ．
三、解答与计算题：
16. （2018•广安•8分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．
17. 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
18. 如果△ABC的三边长分别为a、b、c，并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．
【探究篇】
19. 如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，CE，点F是线段AE上一点，∠ABF=∠CBE，BE=BF，连接CE，CF．
（1）试求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
20. 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段 ， ；S矩形AEFG：S▱ABCD= ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
第21讲 直角三角形与勾股定理
【疑难点拨】
1. 直角三角形斜边上中线性质的应用：
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
2. 勾股定理“小诊所”
（1）受勾3股4的影响，忽视分情况讨论：题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边，造成错误的原因应该是思维定势，受勾3股4的影响而忽视分情况讨论。
（2）忽视勾股定理的存在条件是直角三角形中运用。
（3）忽视勾股定理表达式中的结构特点错误在于忽视勾股定理的本质特点，只注意了表面形式。
（4）忽视对图形的讨论：错解中只考虑三角形的高在三角形的内部的情况，忽视了高还有可能在三角形外的情况。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•山西•3分）“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 （）
A.《九章算术》 B. 《几何原本》 C. 《 海 岛 算 经 》 D. 《 周 髀 算 经 》
【答案】 B
【考点】 数学文化
【解析 】 《 几 何 原 本 》 的 作 者 是 欧 几 里 得
2. （2018•山东滨州•3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为=5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3. （2018·广西贺州·3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【解答】解：∵AD=ED=3，AD⊥BC，
∴△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE==3，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE=BC，
则BC=2AE=6，
故选：D．
4. （2018•湖北黄冈•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=
A.2 B.3 C.4 D.2
（第5题图）
【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AE=5，又知AD=2，可得DE=AE-AD=5-2=3，在Rt△CDE中，运用勾股定理可得直角边CD的长。
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，
∴CE=AE=5，
又∵AD=2，
∴DE=AE-AD=5-2=3，
∵CD为AB边上的高
∴∠CDE=90°，
∴△CDE 为Rt△
∴CD===4
故选C.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。得出DE的长是解题的关键。
5. （2018四川省泸州市3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4，
∴4×ab+（a﹣b）2=25，
∴（a﹣b）2=25﹣16=9，
∴a﹣b=3，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
二、填空题：
6. （2018·湖北荆州·3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”）
【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD==，AB==，
∴BD+AD=+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为：＞．
7. （2018·云南省曲靖·3分）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
8. (2017·武汉中考)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为________.
【解析】如图,将△ABD沿AD翻折得△AFD,可证△ACE≌△AFE,∴BD=DF,CE=EF,
∠AFD=∠B=30°,∠AFE=∠C=30°,
∴∠DFE=60°,
作EH⊥DF于H,设BD=2CE=4x,
则EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,
DE2=DH2+EH2,∵在△ABC中,AB=AC=2∠BAC=120°,易得BC=6,∴(6-6x)2=(3x)2+(x)2,
解得:x1=,x2= (舍去),
∴DE=6-6x=3-3.
答案:3-3
三、解答与计算题：
9. 如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD和△DBC是直角三角形，然后根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，将其相加即可得到四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接BD，
在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，
∴BD===5，
△BCD中，BC=12，DC=13，DB=5，
52+122=132，即BC2+BD2=DC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=AD•AB+BD•BC
=×4×3+×5×12
=6+30
=36．
【点评】此题要将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．
10. 个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理.
【解析】∵四边形BCC′D′为直角梯形,
∴S梯形BCC′D′= (BC+C′D′)·BD′= .
∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′,∴∠BAC=∠B′AC′,
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′
=∠CAB′+∠BAC=90°.
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′= ab+ c2+ ab=,
即=,整理,得a2+b2=c2.
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
【解答】解：
∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，
∴∠B=∠EAF=45°，
∴∠AFB=90°，
∵点E为AB中点，
∴EF=AB，EF=，
∴AB=AC=3，
∵∠BAC=90°，
∴BC==3，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
12. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是（ ）．
A.3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】规律型．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．故选B。
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
13. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．在Rt△ABH中，解直角三角形即可解决问题；
【解答】解：作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．
在Rt△AHB中，∠ABH=30°，
∴BH=AB•cos30°=9，
∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4，
∴AF=CH=4，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：
14. 如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2= 7 ．
【考点】勾股定理．
【分析】连续运用勾股定理即可解答．
【解答】解：由勾股定理可知OB=，OC=，OD=
∴OD2=7．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15. （2018·云南省·3分）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 9或1 ．
【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
【解答】解：有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD===5，
CD===4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
三、解答与计算题：
16. （2018•广安•8分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．
【分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；
（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；
（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
【解答】解：（1）如图（1）所示：
（2）如图（2）所示：
（3）如图（3）所示；
（4）如图（4）所示．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．
17. 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD=240km，
所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，
答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；
（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴BE=BD﹣DE=240﹣30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，
∵台风速度为15km/h，
∴210÷15=14时，270÷15=18，
∵早上6：00接到台风警报，
∴6+14=20时，6+18=24时，
∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．
18. 如果△ABC的三边长分别为a、b、c，并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．
【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化简后判断则可．
【解答】解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c
a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0
即（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0
∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0
∴a=5，b=12，c=13
∵52+122=169=132
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了式子的变形和因式分解，然后再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【探究篇】
19. 如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，CE，点F是线段AE上一点，∠ABF=∠CBE，BE=BF，连接CE，CF．
（1）试求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）结论：AE﹣EC=BE．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=BE，
∵∠ABF=∠CBE，
∴∠FBE=∠ABC=90°，∵BF=BE，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴EF=BE，
∴AE﹣EC=AE﹣AF=EF=BE．
（2）结论：△FEC是直角三角形．
理由：设BC交AE于O．
∵△ABF≌△CBE，
∴∠OCE=∠OAB，
∵∠COE=∠AOB，
∴∠CEO=∠ABO=90°，
∴△FEC是直角三角形．
20. 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段 AE ， GF ；S矩形AEFG：S▱ABCD= 1：2 ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；
由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，
∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，
∴S矩形AEFG=S▱ABCD，
∴S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2；
故答案为：AE，GF，1：2；
（2）∵四边形EFGH是矩形，EF=5，EH=12，∠FEH=90°，
∴FH===13，
由折叠的性质得：DH=NH，AH=HM，CF=FN，
∴CF=AH，
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13；
（3）有以下两种基本折法：
①折法1中，如图4所示：
由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四边形EFMB是叠合正方形，
∴BM=FM=4，
∴GM=CM===3，
∴AD=BG=BM﹣GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如图5所示：
由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH=CD=5，
∵四边形EMHG是叠合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，
∵∠B=90°，
∴FM=BM==3，
设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，
∴AD+BC=，
∴BC=﹣x，
∴MC=BC﹣BM=﹣x﹣3，
∵MN=MC，
∴3+x=﹣x﹣3，
解得：x=，
∴AD=，BC=﹣=．
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