四川省达州市达川四中联盟八年级（下）期中数学试卷

这是一份四川省达州市达川四中联盟八年级（下）期中数学试卷，共30页。
一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）扬州市文明城市建设中，大力开展“垃圾分类”知识宣传活动，活动中推出下列图标（不包含文字），则其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣4x+1＝2x（x﹣2）+1 B．x2﹣2x＝x（x﹣2）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2+2x+4＝（x+2）2
3．（3分）若m＞n，则下列变形正确的是（　　）
A．2m＜2n B．m﹣2＜n﹣2 C． D．﹣2m＜﹣2n
4．（3分）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．等腰三角形三个内角的和等于180°
B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方
C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
5．（3分）平面直角坐标系中的点P（2﹣m，m）在第四象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（　　）

A．120° B．90° C．60° D．30°
7．（3分）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣2）（x+1），求2b﹣c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（3分）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（　　）
A．8 B．6 C．7 D．9
9．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）

A．48 B．96 C．84 D．42
10．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）（1）分解因式4m4n+8m3n﹣4m2n＝　 　；
（2）计算22022+（﹣2）2021＝　 　．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若DC＝6，则点D到直线AB的距离＝　 　．



13．（4分）一次函数y＝﹣x+3的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 　 　．
14．（4分）已知x+y＝5，xy＝﹣36，则（x﹣2）（y﹣2）的值为 　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（10分）分解因式：
①2a3﹣8a；


②4a2﹣16a+16．




16．（10分）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2（x﹣1）+5≤3x；



（2）．



17．（6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．

18．（10分）如图，已知在平面直角坐标系内有A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1）．
（1）画出△ABC向右平移三个单位的△A1B1C1，并写出B1的坐标：　 　；
（2）将△ABC绕C点逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出旋转后的图形，并写出B2坐标：　 　；
（3）求（1）中△ABC所扫过的面积．

19．（8分）请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题．
解：令x2﹣4x+2＝y，则：
原式＝y（y+4）+4………………………第一步
＝y2+4y+4…………………………………第二步
＝（y+2）2………………………………第三步
＝（x2﹣4x+4）2…………………………第四步
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　；
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
20．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

四.填空题（每题4分，共20分）
21．（4分）若关于x不等式组无公共解集，则m的取值范围是 　 　．
22．（4分）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝　 　．
23．（4分）如图，在△ACB中，∠C＝90°，∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D，AC＝3，BC＝4，则点D到AB的距离为　 　．

24．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC边的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　．

25．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…如此作下去，则△B2020A2021B2022的顶点A2021的坐标是 　 　．

五.解答题（共30分）
26．（8分）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元．
（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？


（2）该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？


（3）哪种方案获利最大？最大利润是多少？


27．（12分）【情景呈现】画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．

（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与∠AOB的两边OA，OB垂直，垂足为E，F，（如图1）．则PE　 　PF．（选填：“＜”、“＞”或“＝”）
（2）把三角尺绕点P旋转（如图2），猜想PE，PF的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
（3）在（2）的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA，OB于点G，H，如图3猜想GE，FH，EF之间的关系为 　 　．
【拓展延伸】
（4）如图4，画∠AOB＝60°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝120°，∠EPF的两边分别与OA，OB相交于E，F两点，PE与PF相等吗？请说明理由．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO＝30°，OA＝4．
（1）求点C的坐标；


（2）如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A′C交直线OA于点E，A′B′分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）


（3）在（2）的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式．


参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）扬州市文明城市建设中，大力开展“垃圾分类”知识宣传活动，活动中推出下列图标（不包含文字），则其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣4x+1＝2x（x﹣2）+1 B．x2﹣2x＝x（x﹣2）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2+2x+4＝（x+2）2
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、2x2﹣4x+1＝2x（x﹣2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B、x2﹣2x＝x（x﹣2），是因式分解，故此选项正确；
C、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法运算，故此选项错误；
D、x2+2x+4≠（x+2）2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解，正确运用公式是解题关键．
3．（3分）若m＞n，则下列变形正确的是（　　）
A．2m＜2n B．m﹣2＜n﹣2 C． D．﹣2m＜﹣2n
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A．∵m＞n，
∴2m＞2n，故本选项不合题意；
B．∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，故本选项不合题意；
C．∵m＞n，
∴，故本选项不合题意；
D．∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质，即：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．等腰三角形三个内角的和等于180°
B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方
C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质及线段的垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；
B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质及线段的垂直平分线的性质，难度不大．
5．（3分）平面直角坐标系中的点P（2﹣m，m）在第四象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据第一象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出m的取值范围，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵平面直角坐标系中的点P（2﹣m，m）在第四象限，
∴，解得m＜0，
在数轴上表示为：．
故选：C．

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知第一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．
6．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（　　）

A．120° B．90° C．60° D．30°
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】利用旋转的性质计算．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，
∴旋转角∠CBC1＝180°﹣60°＝120°．
∴这个旋转角度等于120°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的定义，明确三角尺的度数的常识并熟记旋转角的定义是解题的关键．
7．（3分）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣2）（x+1），求2b﹣c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x+1）（x﹣2），得
2x2+bx+c＝2（x+1）（x﹣2）＝2x2﹣2x﹣4，
∴b＝﹣2，c＝﹣4，
∴2b﹣c＝﹣4+4＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．
8．（3分）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（　　）
A．8 B．6 C．7 D．9
【考点】一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】设可以打x折出售此商品，根据售价﹣进价＝利润，利润＝进价×利润率可得不等式，解之即可．
【解答】解：设可以打x折出售此商品，
由题意得：240×，
解得x≥6，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键
9．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）

A．48 B．96 C．84 D．42
【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．
10．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【考点】直角三角形的性质；角平分线的定义；垂线；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP＝∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB＝BF，AP＝PF；
③根据直角的关系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AH；
④求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误．
【解答】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴∠ABP＝∠ABC，
∠CAP＝（90°+∠ABC）＝45°+∠ABC，
在△ABP中，∠APB＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP，
＝180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC，
＝180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC，
＝45°，故本小题正确；
②∵PF⊥AD，∠APB＝45°（已证），
∴∠APB＝∠FPB＝45°，
∵PB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠FBP，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴AB＝BF，AP＝PF；故②正确；
③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°，
∴∠AHP＝∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH＝∠FPD＝90°，
在△AHP与△FDP中，
，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF＝AH，
∵BD＝DF+BF，
∴BD＝AH+AB，
∴BD﹣AH＝AB，故③小题正确；
④∵AP＝PF，PF⊥AD，
∴∠PAF＝45°，
∴∠ADG＝∠DAG＝45°，
∴DG＝AG，
∵∠PAF＝45°，AG⊥DH，
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG＝AG，GH＝GF，
∴DG＝GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG＝AP+GH不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）（1）分解因式4m4n+8m3n﹣4m2n＝　4m2n（m2+2m﹣1）　；
（2）计算22022+（﹣2）2021＝　22021　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】4m2n（m2+2m﹣1），22021．
【分析】（1）用提取公因式法进行因式分解即可；
（2）根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可．
【解答】解：（1）4m4n+8m3n﹣4m2n＝4m2n（m2+2m﹣1）；
（2）22022+（﹣2）2021
＝2×22021+（﹣2）2021
＝2×22021﹣22021
＝22021．
故答案为：4m2n（m2+2m﹣1），22021．
【点评】本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解以及同底数幂的乘法的逆运算；准确地找出公因式、根据积的乘方的逆运算法则进行正确的计算是解题的关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若DC＝6，则点D到直线AB的距离＝　6　．

【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】6．
【分析】过D作DE⊥AB，交AB于点E，利用角平分线定理得到DE＝DC＝6，即可得出结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥CB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，
∴DE＝DC＝6，
即点D到直线AB的距离是6，
故答案为：6．

【点评】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．
13．（4分）一次函数y＝﹣x+3的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 　0＜x＜4　．

【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．菁优网版权所有
【答案】0＜x＜4．
【分析】根据一次函数的图象即可确定x的取值范围．
【解答】解：根据图象，可知当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
【点评】本题考查了一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键．
14．（4分）已知x+y＝5，xy＝﹣36，则（x﹣2）（y﹣2）的值为 　﹣42　．
【考点】多项式乘多项式．菁优网版权所有
【答案】﹣42．
【分析】将（x﹣2）（y﹣2）化简为xy﹣2（x+y）+4，再将已知式子代入即可．
【解答】解：∵（x﹣2）（y﹣2）＝xy﹣2（x+y）+4，
∴把x+y＝5，xy＝−36，代入得﹣36﹣2×5+4＝﹣42．
故答案为：﹣42．
【点评】本题考查了代数式求值，熟练的掌握化简原式是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（10分）分解因式：
①2a3﹣8a；
②4a2﹣16a+16．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】①2a（a+2）（a﹣2）；
②4（a﹣2）2．
【分析】①先提取公因式2a，然后利用平方差公式继续进行因式分解；
②先提取公因式4，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：①2a3﹣8a
＝2a（a2﹣4）
＝2a（a+2）（a﹣2）；
②4a2﹣16a+16
＝4（a2﹣4a+4）
＝4（a﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
16．（10分）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2（x﹣1）+5≤3x；
（2）．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】（1）x≥3，见解析；
（2）1＜x≤4，见解析．
【分析】（1）先去括号，后合并同类项求解，将解集表示在数轴上即可；
（2）根据去括号，将分式不等式化为整式不等式求解，将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）2（x﹣1）+5≤3x＝2x﹣2+5≤3x，
∴x≥3，
表示在数轴上为：

（2），
∴，
解得：1＜x≤4，
表示在数轴上为：



【点评】本题考查一元一次不等式与一元一次不等式组得解法、解集在数轴上的表示，将分式不等式化为整式不等式，准确作图式关键．
17．（6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“到A，B两点的距离相等”可知点D在线段AB的中垂线上，据此作AB中垂线与BC交点可得；
（2）先根据直角三角形的性质得∠CAB＝53°，再由DA＝DB知∠B＝∠DAB＝37°，从而根据∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，点D即为所求；


（2）在△ABC中，∵∠C＝90°、∠B＝37°，
∴∠CAB＝53°，
由（1）知DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝37°，
则∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝16°．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质．
18．（10分）如图，已知在平面直角坐标系内有A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1）．
（1）画出△ABC向右平移三个单位的△A1B1C1，并写出B1的坐标：　（0，1）　；
（2）将△ABC绕C点逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出旋转后的图形，并写出B2坐标：　（﹣2，﹣4）　；
（3）求（1）中△ABC所扫过的面积．

【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．菁优网版权所有
【答案】（1）图见解析，（0，1）；
（2）图见解析，（﹣2，﹣4）；
（3）12.5．
【分析】（1）直接将三角形向右平移三格，再根据图中可直接得到答案；
（2）将三角形绕C点逆时针转90°，再根据图中可直接得到答案；
（3）由题意可得扫过的面积可表示为平行四边形AA1C1C的面积加三角形本身的面积，而三角形面机可用包围住本身的一个正方形减去三个小三角形的面积，最后计算可直接得到答案．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为△ABC向右平移三个单位所得，如图

故答案为：（0，1）；
（2）△A2B2C2即为△ABC绕C点逆时针方向旋转90°所得，如图

故答案为：（﹣2，﹣4）；
（3）由题意可得扫过的面积可表示为平行四边形AA1C1C的面积加三角形本身的面积，
而三角形面积可用包围住本身的一个正方形减去三个小三角形的面积，
则面积为：，
∴△ABC扫过的面积：12.5．
【点评】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
19．（8分）请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题．
解：令x2﹣4x+2＝y，则：
原式＝y（y+4）+4………………………第一步
＝y2+4y+4…………………………………第二步
＝（y+2）2………………………………第三步
＝（x2﹣4x+4）2…………………………第四步
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　C　；
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：　（x﹣2）4　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）C；
（2）（x﹣2）4；
（3）（x﹣1）4．
【分析】（1）根据分解时所用公式判断．
（2）用完全平方公式继续分解；
（3）先换元，再用公式分解．
【解答】解：（1）∵y2+8y+16＝（y+4）2，用的完全平方公式，
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底；原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：（x﹣2）4；
（3）设x2﹣2x＝y，
原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．
【点评】本题考查因式分解，整体代换后用公式是求解本题的关键．
20．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

【考点】等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；
（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F＝∠FDA，即可推出结论．
四.填空题（每题4分，共20分）
21．（4分）若关于x不等式组无公共解集，则m的取值范围是 　m≤　．
【考点】不等式的解集．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式组无解，可得答案．
【解答】解：由3x﹣2＞0，解得x＞，
由﹣x+m≥7解得x≤m﹣7．
由不等式组无解，得
m﹣7≤，
解得m≤，
故答案为：m≤．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式组无解得出关于m的不等式是解题关键．
22．（4分）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝　（a+1）100　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]
＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]
＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]
＝…
＝（a+1）100．
故答案为：（a+1）100．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
23．（4分）如图，在△ACB中，∠C＝90°，∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D，AC＝3，BC＝4，则点D到AB的距离为　1　．

【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】连接CD，过点D作DG⊥BC，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为G，F，E，由角平分线的性质可知DG＝DE＝DF，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：连接CD，过点D作DG⊥BC，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为G，F，E，
∵在△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
∵∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D，
∴DG＝DE＝DF．
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD+S△ACD，即AC•BC＝AB•DE+BC•DG+AC•DF，即3×4＝5DE+4DE+3DE，解得DE＝1．
故答案为：1．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
24．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC边的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　10　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
25．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…如此作下去，则△B2020A2021B2022的顶点A2021的坐标是 　（4041，）　．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【答案】（4041，）．
【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是：（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是：（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是：（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是：，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），
∴△B2020A2021B2021的顶点A2021的横坐标是：4×1010+1＝4041，纵坐标是：，
故答案为：（4041，）．
【点评】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键．
五.解答题（共30分）
26．（8分）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元．
（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？
（3）哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）空调的每台采购价为2000元，电风扇每台采购价为100元；
（2）11种；
（3）当购进空调20台，电风扇30台时，最大利润4900元．
【分析】（1）设空调采购了a台，电风扇采购了b台，根据等量关系式：8台空调价格+20台电风扇价格＝18000元，4台空调价格+30台电风扇价格＝11000元列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进了x台空调，电风扇购进了（50﹣x）台，根据不等关系式：这两种电器的资金不超过43000元，这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元，列出不等式组，解不等式组即可；
（3）设利润为w，写出w与x的函数关系式w＝200x+30（50﹣x），根据一次函数的增减性，得出当购进空调20台，电风扇30台时，获得的利润最大．
【解答】解：（1）设空调采购了a台，电风扇采购了b台，
根据题意得：，
解得：，
答：空调的每台采购价为2000元，电风扇每台采购价为100元．
（2）解：设购进了x台空调，电风扇购进了（50﹣x）台，由题意得：
，
解得：10≤x≤20，
因为x取整数解10，11，12…20，共11个，所以进货方案有11种．
（3）设利润为w，则w＝200x+30（50﹣x），即w＝170x+1500，
∵k＝170＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x取最大值时，有最大利润，
即当购进空调20台，电风扇30台时，最大利润为：w＝170×20+1500＝4900元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意找出题目中的等量关系和不等关系是解题的关键．
27．（12分）【情景呈现】画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．

（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与∠AOB的两边OA，OB垂直，垂足为E，F，（如图1）．则PE　＝　PF．（选填：“＜”、“＞”或“＝”）
（2）把三角尺绕点P旋转（如图2），猜想PE，PF的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
（3）在（2）的条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA，OB于点G，H，如图3猜想GE，FH，EF之间的关系为 　GE2+FH2＝EF2　．
【拓展延伸】
（4）如图4，画∠AOB＝60°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝120°，∠EPF的两边分别与OA，OB相交于E，F两点，PE与PF相等吗？请说明理由．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）＝；
（2）PE＝PF，理由见解析
（3）GE2+FH2＝EF2；
（4）PE＝PF，理由见解析．
【分析】（1）由全等三角形的判定和性质证明PE＝PF；
（2）过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到OP＝PG＝PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，得到答案；
②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
（4）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵PE⊥OA，
∴∠OEP＝90°，
∵∠AOB＝90°，∠EPF＝90°，
∴∠OFP＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠EPF＝90°，
∴∠OEP＝∠OFP，
又∵∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴△OEP≌△OFP（AAS），
∴PE＝PF，
故答案为：＝；
（2）结论：PE＝PF，
理由：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，

∵PM⊥OA，PN⊥OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，
∴∠MPN＝90°，
与（1）同理可证PM＝PN，
∵∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE＝PF；
（3）结论：GE2+FH2＝EF2，
理由：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH＝∠OHG＝45°，
∴OP＝PG＝PH，
∵∠GPO＝90°，∠EPF＝90°，
∴∠GPE＝∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
，
∴△GPE≌△OPF（ASA），
∴GE＝OF，
同理可证明△EPO≌△FPH，
∴FH＝OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2＝EF2，
∴GE2+FH2＝EF2，
故答案为：GE2+FH2＝EF2；
（4）结论：PE＝PF；
理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．

在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH（AAS），
∴PG＝PH，
∵∠AOB＝60°，∠PGO＝∠PHO＝90°，
∴∠GPH＝120°，
∵∠EPF＝120°，
∴∠GPH＝∠EPF，
∴∠GPE＝∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
，
∴△PGE≌△PHF（AAS），
∴PE＝PF．


【点评】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO＝30°，OA＝4．
（1）求点C的坐标；
（2）如图，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A′C交直线OA于点E，A′B′分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）
（3）在（2）的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定；解直角三角形．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先在Rt△ACO中，根据∠CAO＝30°解直角三角形可以得到OA，OC的长，然后就可以得到点C的坐标；
（2）根据已知条件容易得到△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC；
（3）过点E1作E1M⊥OC于点M，利用S△COE1＝4和∠E1OM＝60°可以求出点E1的坐标，然后利用待定系数法确定直线CE的解析式．此题有两种情况，分别是E在第二或四象限里．
【解答】解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO＝30°，OA＝4，
∴OC＝2，
∴C点的坐标为（﹣2，0）．

（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．

（3）如图1，过点E1作E1M⊥OC于点M．
∵S△COE1＝CO•E1M＝，
∴E1M＝．
∵在Rt△E1MO中，∠E1OM＝60°，则，
∴∴，
∴点E1的坐标为（）．
设直线CE1的函数表达式为y＝k1x+b1，则
，
解得．
∴．
同理，如图2所示，点E2的坐标为（）．
设直线CE2的函数表达式为y＝k2x+b2，则，
解得．
∴．


【点评】此题是开放性试题，把直角三角形、全等三角形，一次函数等知识综合在一起，要求学生对这些知识比较熟练，利用几何方法解决代数问题．
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