2021-2022学年江苏省镇江市实验高二年级下册学期期中数学试题 解析版

2022年镇江实验高中高二下学期期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知双曲线：是一条渐近线与轴正半轴所成夹角为，则的离心率为（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先表示出双曲线的渐近线，依题意可得，再根据离心率公式计算可得；

【详解】解：双曲线：的渐近线为，

依题意，

所以双曲线的离心率；

故选：A

2. 已知，那么函数在处的瞬时变化率为（    ）

A. 1 B. 0 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据简单复合函数的导函数计算规则求出函数的导函数，再代入计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以，

所以函数在处的瞬时变化率为，

故选：C

3. 用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（    ）

A. 125种 B. 100种 C. 64种 D. 60种

【答案】B

【解析】

【分析】首先确定百位数字，再根据允许有重复数字，即可确定十位与个位的数字，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法，

因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有种；

故选：B

4. 函数的大致图像为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数求出的单调性即可选出答案.

【详解】由可得，

所以由可得，由可得且，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故选：D

5. 满足条件的自然数有（    ）

A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据排列数和组合数公式化简可得，再根据，且可得答案.

【详解】由得，即，

又，且，所以.

故选：C.

【点睛】本题考查了排列数与组合数公式，属于基础题.

6. 过点作圆的切线，则切线的方程为（    ）

A. x=3或3x+4y－29=0 B. y=3或3x+4y－29=0

C. x=3或3x－4y+11=0 D. y=3或3x－4y+11=0

【答案】C

【解析】

【分析】设切线的斜率为k，则切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径求得值得切线方程，同时检验斜率不存在的直线是否为切线即可得．

【详解】由圆的方程可得圆心坐标为，半径为1，

当过点的切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为，

由点到直线的距离公式可得，解得，

所以切线方程为，

当过点切线斜率不存在时，切线方程为，

所以过点的圆的切线方程为或，

故选：C．

7. 若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 17

【答案】A

【解析】

【分析】设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则的最小值为点到直线的距离

【详解】设，，

令且当时，，；

当时，，

设与平行且与相切的直线与切于

．

则到直线的距离为，即，

故选：A．

8. 已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，则，，，然后利用的单调性可比较出答案.

【详解】构造函数，则，，，

因为，所以当时，，单调递减，

因为，所以，

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数在区间上单调递增，则符合条件的实数的取值可以是（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由条件可得在区间上恒成立，然后可得，然后利用导数求出右边的最小值即可.

【详解】因函数在区间上单调递增，

所以在区间上恒成立，

由可得，

令，则，

由可得，由可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以

所以

故选：CD

10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（    ）

A. 共有60种不同的坐法

B. 空位不相邻的坐法有72种

C. 空位相邻的坐法有24种

D. 两端不是空位的坐法有18种

【答案】ACD

【解析】

【分析】按照题目给定的条件排列即可.

【详解】对于A， ，故A正确；

对于B，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，

故有 种插法， ，故B错误；

对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，

故C正确；

对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，

第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种，

故D正确；

故选：ACD.

11. 弦经过抛物线：的焦点，设，，下列说法正确的是（    ）

A.  B. 的最小值为

C.  D. 以弦为直径的圆与准线相切

【答案】BCD

【解析】

【分析】首先得出焦点坐标和准线方程，然后由抛物线的定义可判断A，设弦所在的直线方程为，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可判断BCD.

【详解】焦点为，准线为，，故A错误，

设弦所在的直线方程为，由可得，

所以，，故C正确，

所以，所以当时最小，最小值为，故B正确，

的中点的横坐标为，

所以以弦为直径的圆的圆心到准线的距离为，

所以以弦为直径的圆与准线相切，故D正确，

故选：BCD

12. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（    ）

A. 函数的极大值点的个数为2

B. 函数的单调递增区间为

C. 当时，若的最小值为1，则t的最大值为2

D. 若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是

【答案】AD

【解析】

【分析】由导函数图象得原函数的单调性可判断AB；由单调性结合函数值表可判断CD.

【详解】由图知函数在区间[-1,0]上单调递增，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2,4]上单调递增，在区间[4,5]上单调递减，所以在处有极大值，故A正确；单调区间不能写成并集，故B错误；因为函数，且在区间[2,4]上单调递增，所以存在使得，易知，当时，在区间的最小值为1，故C不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D正确.

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 2022年北京冬奥会期间，小明收藏了4个冰墩墩和5个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物赠送友人，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有__________种．

【答案】

【解析】

【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有种；

若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有种；

综上可得一共有种；

故答案为：

14. 做一个无盖的圆柱形水桶，其体积是，则当圆柱底面圆半径__________时，用料最省．

【答案】

【解析】

【分析】设圆柱的高为，半径为则由圆柱的体积公式可得，要使用料最省即求全面积的最小值，而，令，结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径

【详解】解：设圆柱的高为，半径为，则由圆柱的体积公式可得

所以

所以

令，，则，

令解得，令可得，

在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值即最小值，

即当时，圆柱的表面积（不包含上底面）最小，即用料最省；

故答案为：

15. 若函数f（x）=lnx-ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】函数有两个不同的零点，转化为函数与函数有两个不同的交点，根据图像求解临界情况，得出结果．

【详解】解：函数有两个不同的零点，

即有两个不同的解，

等价于函数与函数的图像有两个不同的交点，

当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时为临界情况，

设切点为，则可得，解得 ，

根据图像可以得到，当时，直线与曲线有两个交点，

故答案是．

【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数的零点问题可以转化为两个函数的交点问题，然后通过对临界情况的分析，得出参数的取值范围．

16. 如图，过原点的直线与圆有一个交点，已知，为圆上相异两点且满足，则直线的方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由条件可得，圆的半径为5，然后求出圆心到直线的距离，然后可求出答案.

【详解】因为，所以，即圆的半径为5，

因为，所以，

设直线的方程为，即，

因为，圆的半径为5，所以圆心到直线的距离为，

所以，解得，即直线的方程为，

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知，且在处取得极值.

（1）求的解析式；

（2）求在上的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用求得，由此求得的解析式.

（2）利用导数求得在区间上的最小值.

【小问1详解】

，，

此时，

所以在区间递减；

在区间递增，

所以在处取得极值符合题意.

所以.

【小问2详解】

由（1）知在区间递减；在区间递增，

，

所以在区间上的最小值为.

18. 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

【答案】x-y-4=0或x-y+1="0. "

【解析】

【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可．

试题解析：

设直线l的方程为y＝x＋b①

圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②

联立①②消去y，得

2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有③

因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，

而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，

把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，

即b2＋3b－4＝0， 解得b＝1或b＝－4，

故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0．

考点：存在性问题．

【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b的方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解．

19. 在①第5项的系数与第3项的系数之比是，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．

问题：已知在的展开式中，__________．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中含的项．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）不管选哪个条件，都可以求出，然后可求出答案；

（2）写出展开式的通项，然后可得答案.

【小问1详解】

若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是，

则，求得，

当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，

此项为．

若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，

则，

，当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，

此项为．

若选③，，，

当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，

此项为．

小问2详解】

该二项式的通项公式为，

令，求得，故展开式中含的项为．

20. 如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．

（1）求 与平面所成角的正弦值；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】试题分析：

（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式即可；

（2）利用坐标，求两个半平面所在平面的法向量，根据公式求解即可.

试题解析：

(1)如图，过点 作的垂线交于，以为原点，

分别以为轴建立空间直角坐标系.

∵，

∴，

又，则点到轴的距离为1，到轴的距离为

则有，，，，.

（1）设平面的法向量为，

∵，

则有，取，

得，又，

设与平面所成角为，

则，

故 与平面所成角正弦值为.

（2）设平面的法向量为，

∵，，

则有，取，得，

∴，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

点睛：本题考查线面角的求法，以及二面角的余弦的求法，属于中档题.对于能够建立空间直角坐标系的问题，要优先考虑坐标法来处理，对于第一问，要先求面的一个法向量，然后利用两个向量的夹角公式处理，利用求得的法向量来求二面角的余弦值后，要注意角是锐角还是钝角.

21 已知，函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程．

（Ⅱ）求在区间上的最小值．

【答案】（）．（）见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）求出f'（x），得切线的斜率，又曲线的切点为（2，f（2）），由点斜式可写出切线方程；

（2）借助于导数，将函数的最值问题转化为导函数进行研究．分，，三种情况讨论函数的最值情况.

试题解析：（）当时，，，

∴，，

∴，即曲线在点处的切线斜率为．

又∵，

∴曲线在点处的切线方程为，

即．

（）∵，∴．

令，得．

①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

所以当时，函数取得最小值．

③当，则当时，，函数在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值．

综上所述，当时，函数在区间上无最小值．

当时，函数在区间上的最小值为．

当时，函数在区间上的最小值为．

22. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A为椭圆C的左顶点，过点作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）是定值，定值为

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆方程.

（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得两点的坐标，由此计算出为定值.

【小问1详解】

由题意知，

∴椭圆C的方程为：.

【小问2详解】

设直线l的方程为，，，，

，

∴，，

直线AP方程为：，

令得，

∴，同理，

∴