江苏省连云港市高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题 Word版含答案

连云港高级中学2022-2023学年第二学期第一次学情检测

高二数学试题

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．)

1．正方体中，化简（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

2．展开后的不同项数为（    ）

A．9 B．12 C．18 D．24

【答案】D

3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

4．下列说法正确的是（     ）

A.若向量、共线，则向量、所在的直线平行.

B. 若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．

C.若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线.

D.若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面.

【答案】C

5．某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人．现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（    ）

A．45种 B．56种 C．90种 D．120种

【答案】A

6．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

7．为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年月日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

8．正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

9．下列各式的运算结果中，等于的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ）

A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；

B．若非零向量，，满足，，则有∥；

C．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则l∥；

D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；

【答案】AD

11．我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新(S)、生涯找划(C)、国际视野(I)、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（   ）

A．某学生从中选3类，共有56种选法

B．课程“X”、“T”排在不相邻两天，共有种排法

C．课程中“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排法

D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法

【答案】ABD

12．已知正方体棱长为2，为棱的中点，为底面上的动点，则下列判断正确的是　　

A．存在点，使得 

B．存在唯一点，使得 

C．当，此时点的轨迹长度为 

D．当为底面的中心时，三棱锥的外接球体积为

【答案】BCD

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13． 的二项展开式中的常数项为________．

【答案】．

14．若，则x的值为________．

【答案】 4或6

15．已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是________．

【答案】且

16．如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A-BD-C的正切值等于________．

【答案】 －2

四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17．(本题10分)已知，．

(1)求；    (2)当时，求实数k的值．

【解析】（1）因为，，

所以，，

所以

（2）因为，，

所以，

因为，所以，

所以，解得

18.(本题12分)在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．

（1）确定角的大小；（2）若，且，求的面积．

【解析】（1）由及正弦定理得，

，①

，，又是锐角三角形，；

（2）由余弦定理得：，即，②

由②变形得，

，，

．

19．(本题12分)三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，.

(1) 用，，表示向量；

(2)若，，，求的长.

【解析】1）由题图知，，

因为，，

所以，，

故.

（2）根据题意，由，，，

得，即，

由（1）知.

20．(本题12分)设数列的前项和满足．

(1)求数列的通项公式；  (2)求数列的前项和．

【解析】（1）当时，，得，

当时，由，得，两式相减得，

即，

所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以；

（2），

，，

两式相减得，

所以.

21．(本题12分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2AD=2．建立适当的空间直角坐标系.

(1)求平面SAB与平面SCD夹角的正弦值；(2)求S到直线CD的距离．

【解析】（1）由平面，，平面，

，，

又，，则，

，，两两垂直，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，则

设平面的一个法向量为，

则，则可取，

平面的一个法向量，

设平面与平面的夹角为，则，

，则平面与平面的夹角的正弦值为．

(2)，，，，

距离.

22．(本题12分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：．

(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．

(3)若平面与平面夹角的大小为，求的长．

【解析】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设，则，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，

，1，，，1，，，0，，，

，．

（2）设在棱上存在一点，0，，使得平面，

此时，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

平面，，解得，

又平面，

存在点，满足平面，．

（3）设，由（Ⅱ）得平面的法向量，，，

，0，，，0，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

平面与平面夹角的大小为，

，

由，解得．