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2023年辽宁省铁岭市开原市中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年辽宁省铁岭市开原市中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省铁岭市开原市中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣（﹣2）
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x6＝x12 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝9a2
4．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）一组数据﹣1，2，5，0，3的中位数是（ ）
A．5 B．2 C．0 D．﹣1
6．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对华为某型号手机电池待机时间的调查
B．调查一架“歼 20”战斗机各零部件的质量
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查
D．全国中学生每天完成作业时间的调查
7．（3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
8．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB⊥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，将15800000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）已知相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，若△ABC的面积为2米2，则△DEF的面积为 ．
15．（3分）一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 ．
16．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 ．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D和点E分别是边BC和AB上的两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B′恰好落在AC的中点处，DE与BB′交于点F，则下列四个结论：
①∠CB′B＝∠BDE；
②BB′⊥ED；
③CD＝DE；
④tan∠CDB′＝．
其中正确的是 （写出正确的结论的序号）．
三、解答题.（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求代数式的值，其中．
20．（12分）某省于2021年全面启动高考综合改革，从2021级高一新生开始，实行“3+1+2”的高考选考方案，“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考．2022年，某校抽取高二部分同学做了“你的高考优势科目”的调查问卷，其中一个问题是要求同学从物理，历史，政治，化学，地理，生物这六科中必选出一科，作为自己的优势科目填上．根据调查问卷中这一问题的反馈结果绘制了如图统计图：
频数分布表
学科
频数
频率
物理
50
0.10
历史
a
0.25
地理
100
0.20
政治
75
0.15
化学
90
d
生物
b
e
合计
c
1.00
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，优势科目是物理的扇形圆心角的度数为 ；
（2）请求出d值和n值；
（3）该校共有高二学生3000人，估计以物理科为优势学科的学生大约有多少人？
（4）高二学生小明和小军将参加新高考，他们酷爱物理和地理，两人约定必选物理和地理．他们还需要从政治、化学、生物三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中生物的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
22．（12分）如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
五、解答题（12分）
23．（12分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
六、解答题（12分）
24．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额＝单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
七、解答题（本题12分）
25．（12分）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T（A），即T（A）＝＝，当∠A＝60°时，如T（60°）＝1．
（1）T（90°）＝ ，T（120°）＝ ，T（A）的取值范围是 ；
（2）如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ＝14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T（140°）≈0.53，T（70°）≈0.87，T（35°）≈1.66）
八、解答题（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），并经过点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线PD将△ABD的面积分成3：1两部分，求点P的坐标；
（3）点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当∠OQA＝∠ABC﹣∠OCA时，求t的值．
2023年辽宁省铁岭市开原市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣（﹣2）
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中线对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x6＝x12 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝9a2
【解答】解：A、x2•x6＝x8，故A不符合题意；
B、a8÷a4＝a4，故B不符合题意；
C、2a2+3a2＝5a2，故C不符合题意；
D、（﹣3a）2＝9a2，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，中层靠右侧是两个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选：B．
5．（3分）一组数据﹣1，2，5，0，3的中位数是（ ）
A．5 B．2 C．0 D．﹣1
【解答】解：把数据由小到大排列：﹣1，0，2，3，5，在最中间的是2，
则数据﹣1，2，5，0，3的中位数是2，
故选：B．
6．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对华为某型号手机电池待机时间的调查
B．调查一架“歼 20”战斗机各零部件的质量
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查
D．全国中学生每天完成作业时间的调查
【解答】解：A．对华为某型号手机电池待机时间的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．调查一架“歼 20”战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项符合题意；
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D．全国中学生每天完成作业时间的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
7．（3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【解答】解：等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，
（1）当4是腰时，4+4＝8，不能构成三角形；
（2）当8是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
8．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：∵BC∥DE，∠E＝30°，
∴∠BCE＝∠E＝30°，
∵∠B＝45°，∠AFC＝∠B+∠BCE，
∴∠AFC＝∠B+∠BCE＝45°+30°＝75°，
故选：D．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB⊥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
【解答】解：延长BA，CD交于点M，
∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴EF∥AB，EH∥CD，
∴∠AEF+∠BAD＝180°，∠HED+∠ADC＝180°，
∴∠AEF+∠BAD+∠HED+∠ADC＝360°，
又∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
∴∠AEF+∠DEH＝90°．
∴∠BAD+∠ADC＝270°．
∴∠MAD+∠MDA＝90°，即∠AMD＝90°，
∴AB⊥DC，
故选：A．
10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，
故D选项符合题意；
方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，
∵∠DPE＝90°，
∴∠DPC+∠EPH＝90°，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠EPH＝∠PDC，
在△EPH和△PDC中，
，
∴△EPH≌△PDC（AAS），
∵BP＝x，AB＝BC＝2，
∴PC＝EH＝2﹣x，
∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，
同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，
∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，将15800000用科学记数法表示为 1.58×107 ．
【解答】解：15800000＝1.58×107．
故答案为：1.58×107．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞﹣4且a≠0 ．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0，
故答案为：a＞﹣4且a≠0．
13．（3分）不等式组的解集是 ＜x＜4 ．
【解答】解：，
由①得：x＞，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为＜x＜4．
14．（3分）已知相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，若△ABC的面积为2米2，则△DEF的面积为 18米2 ．
【解答】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴相似△ABC与△DEF的面积比为1：9，
∴＝，即＝，解得S△DEF＝18（米2）．
故答案为：18米2．
15．（3分）一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 ．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
16．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 （，3） ．
【解答】解：∵D（3，2）在反比例函数上，
∴，
解得：k＝6，
反比例函数解析式为：，
设直线OD表达式为：y＝mx，
将D点坐标代入得：2＝3m，
解得：，
故直线OD：，
设C（，yc），
∵S平行四边形OABC＝OA•yC＝，
∴，
∴，
∵yB＝yC，B点在直线OD上，
∴yC＝•，
解得：yc＝3，
则xB＝＝，
故B（，3），
故答案为：（，3）．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 36或32或28 ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
如图1，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，
∵CD＝AB＝10，AD＝BC＝8，
∴10×2+8×2＝36，
∴平行四边形ABCD的周长为36；
如图2，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，
∵CD＝AB＝10，DB＝AC＝6，
∴10×2+6×2＝32，
∴平行四边形ABDC的周长为32；
如图3，平行四边形ACBD以AC、BC为邻边，
∵AD＝BC＝8，DB＝AC＝6，
∴8×2+6×2＝28，
∴平行四边形ACBD的周长为28，
综上所述，此平行四边形的周长为36或32或28，
故答案为：36或32或28．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D和点E分别是边BC和AB上的两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B′恰好落在AC的中点处，DE与BB′交于点F，则下列四个结论：
①∠CB′B＝∠BDE；
②BB′⊥ED；
③CD＝DE；
④tan∠CDB′＝．
其中正确的是 ①②④ （写出正确的结论的序号）．
【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴DE是BB'的垂直平分线，
∴BB′⊥ED，故②正确；
∴∠DFB＝90°，
∴∠BDE+∠DBF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CB'B+∠DBF＝90°，
∴∠CB'B＝∠BDE，故①正确；
设AC＝BC＝m，CD＝x，则BD＝B'D＝m﹣x，
∵点B′是AC的中点，
∴B'C＝m，
在Rt△B'CD中，B'C2+CD2＝B'D2，
∴（m）2+x2＝（m﹣x）2，
解得x＝m，
∴CD＝m，
∴tan∠CDB′＝＝＝，故④正确；
不能证明CD＝DE，故③不正确；
∴正确的是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题.（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求代数式的值，其中．
【解答】解：原式＝，
当时，
原式＝．
20．（12分）某省于2021年全面启动高考综合改革，从2021级高一新生开始，实行“3+1+2”的高考选考方案，“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考．2022年，某校抽取高二部分同学做了“你的高考优势科目”的调查问卷，其中一个问题是要求同学从物理，历史，政治，化学，地理，生物这六科中必选出一科，作为自己的优势科目填上．根据调查问卷中这一问题的反馈结果绘制了如图统计图：
频数分布表
学科
频数
频率
物理
50
0.10
历史
a
0.25
地理
100
0.20
政治
75
0.15
化学
90
d
生物
b
e
合计
c
1.00
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 500 名学生，优势科目是物理的扇形圆心角的度数为 36° ；
（2）请求出d值和n值；
（3）该校共有高二学生3000人，估计以物理科为优势学科的学生大约有多少人？
（4）高二学生小明和小军将参加新高考，他们酷爱物理和地理，两人约定必选物理和地理．他们还需要从政治、化学、生物三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中生物的概率．
【解答】解：（1）本次共调查的学生人数为50÷0.10＝500（名）．
优势科目是物理的扇形圆心角的度数为360°×10%＝36°．
故答案为：500；36°．
（2）d＝90÷500＝0.18．
∵a＝500×0.25＝125，
b＝500﹣50﹣125﹣100﹣75﹣90＝60，
∴n%＝%＝12%，
∴n＝12．
（3）3000×10%＝300（人）．
∴以物理科为优势学科的学生大约有300人．
（4）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他们恰好都选中生物的结果有1种，
∴他们恰好都选中生物的概率为．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
【解答】解：（1）设每支钢笔x元，依题意得：
，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元；
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
22．（12分）如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴OA＝DC，OC＝AD，
∵OA＝OC＝OD，
∴OA＝OD＝AD，DC＝OC＝OD，
∴△OAD、△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝60°，
在△OBF和△ODF中，
，
∴△OBF≌△ODF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF，
∵∠OBF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴EF⊥OD
∵点D在⊙O上，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODE中，∵∠AOD＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∵OD＝1，
∴OE＝2，DE＝OD＝，
∴S△EOD＝OD×DE＝×1×＝，S扇形AOD＝＝π，
∴图中阴影部分的面积＝S△EOD﹣S扇形AOD＝﹣π．
五、解答题（12分）
23．（12分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
∴DE＝DC＝2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF＝DF＝x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝＝＝＝米，
BD＝BF＝x米，DC＝4米，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2＝+16，
解得：x＝4+4，
则AB＝（6+4）米．
六、解答题（12分）
24．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额＝单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
【解答】解：（1）根据题意得：＝934.4（元）；
（2）根据题意设y＝kx+b，
把（30，40）与（40，20）代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝100，
则y＝﹣2x+100；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，
根据题意得：W＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵当x＝35时，W最大值为450，
则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
七、解答题（本题12分）
25．（12分）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T（A），即T（A）＝＝，当∠A＝60°时，如T（60°）＝1．
（1）T（90°）＝ ，T（120°）＝ ，T（A）的取值范围是 T（A）＞ ；
（2）如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ＝14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T（140°）≈0.53，T（70°）≈0.87，T（35°）≈1.66）
【解答】解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
则＝，
∴T（90°）＝＝，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
∴BD＝AB，
∴BC＝AB，
∴T（120°）＝＝；
∵2AB＞BC，
∴＞，
∴T（A）＞，
故答案为：；；T（A）＞；
（2）∵圆锥的底面直径PQ＝14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π，
设扇形的圆心角为n°，
则＝14π，
解得n＝140，
∵T（70°）≈0.87，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为≈20.7．
八、解答题（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），并经过点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线PD将△ABD的面积分成3：1两部分，求点P的坐标；
（3）点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当∠OQA＝∠ABC﹣∠OCA时，求t的值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）当点P在点D的右侧时，如下图，
∵直线PD将△ABD的面积分成3：1两部分，即DT将△ABD的面积分成3：1两部分，
则点T将AB分为3：1两部分，即BH＝AB＝1，
即点T（2，0），
由点D、T的坐标得，直线DT的表达式为：y＝﹣4（x﹣2）②，
联立①②得：﹣x2+2x＝3＝﹣2（x﹣2），
解得：x＝5，
则点P（5，﹣12）；
当点P在点D的左侧时，同理可得，直线DP的表达式为：y＝4x③，
联立①③得：﹣x2+2x＝3＝4x，
解得：x＝﹣3，
即点P（﹣3，﹣12），
综上，点P的坐标为：（5，﹣12）或（﹣3，﹣12）；
（3）在线段OC上取点N使，ON＝1，连接BN，
则tan∠NBO＝＝＝tan∠OCA＝
则∠NBO＝∠OCA，
∵∠OQA＝∠ABC﹣∠OCA，
∴∠OQA＝∠CBN，
过点N作NH⊥BC于点H，
由点B、C的坐标知，AB＝3，
在Rt△CNH中，CN＝2，则HN＝CH＝，
则BH＝BC＝HC＝2，
则tan∠OQA＝tan∠CBN＝＝，
当点Q在x轴下方时，
∵tan∠OQA＝＝，
则OQ＝2，则点Q（0，﹣2），
当点Q在x轴上方时，
同理可得，点Q（0，2），
则CQ＝5或1，
∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，
∴t＝或．
2023年辽宁省铁岭市开原市中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣（﹣2）
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x6＝x12 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝9a2
4．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）一组数据﹣1，2，5，0，3的中位数是（ ）
A．5 B．2 C．0 D．﹣1
6．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对华为某型号手机电池待机时间的调查
B．调查一架“歼 20”战斗机各零部件的质量
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查
D．全国中学生每天完成作业时间的调查
7．（3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
8．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB⊥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，将15800000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）已知相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，若△ABC的面积为2米2，则△DEF的面积为 ．
15．（3分）一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 ．
16．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 ．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D和点E分别是边BC和AB上的两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B′恰好落在AC的中点处，DE与BB′交于点F，则下列四个结论：
①∠CB′B＝∠BDE；
②BB′⊥ED；
③CD＝DE；
④tan∠CDB′＝．
其中正确的是 （写出正确的结论的序号）．
三、解答题.（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求代数式的值，其中．
20．（12分）某省于2021年全面启动高考综合改革，从2021级高一新生开始，实行“3+1+2”的高考选考方案，“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考．2022年，某校抽取高二部分同学做了“你的高考优势科目”的调查问卷，其中一个问题是要求同学从物理，历史，政治，化学，地理，生物这六科中必选出一科，作为自己的优势科目填上．根据调查问卷中这一问题的反馈结果绘制了如图统计图：
频数分布表
学科
频数
频率
物理
50
0.10
历史
a
0.25
地理
100
0.20
政治
75
0.15
化学
90
d
生物
b
e
合计
c
1.00
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，优势科目是物理的扇形圆心角的度数为 ；
（2）请求出d值和n值；
（3）该校共有高二学生3000人，估计以物理科为优势学科的学生大约有多少人？
（4）高二学生小明和小军将参加新高考，他们酷爱物理和地理，两人约定必选物理和地理．他们还需要从政治、化学、生物三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中生物的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
22．（12分）如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
五、解答题（12分）
23．（12分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
六、解答题（12分）
24．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额＝单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
七、解答题（本题12分）
25．（12分）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T（A），即T（A）＝＝，当∠A＝60°时，如T（60°）＝1．
（1）T（90°）＝ ，T（120°）＝ ，T（A）的取值范围是 ；
（2）如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ＝14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T（140°）≈0.53，T（70°）≈0.87，T（35°）≈1.66）
八、解答题（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），并经过点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线PD将△ABD的面积分成3：1两部分，求点P的坐标；
（3）点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当∠OQA＝∠ABC﹣∠OCA时，求t的值．
2023年辽宁省铁岭市开原市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣（﹣2）
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中线对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x6＝x12 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝9a2
【解答】解：A、x2•x6＝x8，故A不符合题意；
B、a8÷a4＝a4，故B不符合题意；
C、2a2+3a2＝5a2，故C不符合题意；
D、（﹣3a）2＝9a2，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，中层靠右侧是两个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选：B．
5．（3分）一组数据﹣1，2，5，0，3的中位数是（ ）
A．5 B．2 C．0 D．﹣1
【解答】解：把数据由小到大排列：﹣1，0，2，3，5，在最中间的是2，
则数据﹣1，2，5，0，3的中位数是2，
故选：B．
6．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对华为某型号手机电池待机时间的调查
B．调查一架“歼 20”战斗机各零部件的质量
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查
D．全国中学生每天完成作业时间的调查
【解答】解：A．对华为某型号手机电池待机时间的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．调查一架“歼 20”战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项符合题意；
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D．全国中学生每天完成作业时间的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
7．（3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【解答】解：等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，
（1）当4是腰时，4+4＝8，不能构成三角形；
（2）当8是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
8．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：∵BC∥DE，∠E＝30°，
∴∠BCE＝∠E＝30°，
∵∠B＝45°，∠AFC＝∠B+∠BCE，
∴∠AFC＝∠B+∠BCE＝45°+30°＝75°，
故选：D．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB⊥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
【解答】解：延长BA，CD交于点M，
∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴EF∥AB，EH∥CD，
∴∠AEF+∠BAD＝180°，∠HED+∠ADC＝180°，
∴∠AEF+∠BAD+∠HED+∠ADC＝360°，
又∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
∴∠AEF+∠DEH＝90°．
∴∠BAD+∠ADC＝270°．
∴∠MAD+∠MDA＝90°，即∠AMD＝90°，
∴AB⊥DC，
故选：A．
10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，
故D选项符合题意；
方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，
∵∠DPE＝90°，
∴∠DPC+∠EPH＝90°，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠EPH＝∠PDC，
在△EPH和△PDC中，
，
∴△EPH≌△PDC（AAS），
∵BP＝x，AB＝BC＝2，
∴PC＝EH＝2﹣x，
∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，
同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，
∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，将15800000用科学记数法表示为 1.58×107 ．
【解答】解：15800000＝1.58×107．
故答案为：1.58×107．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞﹣4且a≠0 ．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0，
故答案为：a＞﹣4且a≠0．
13．（3分）不等式组的解集是 ＜x＜4 ．
【解答】解：，
由①得：x＞，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为＜x＜4．
14．（3分）已知相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，若△ABC的面积为2米2，则△DEF的面积为 18米2 ．
【解答】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴相似△ABC与△DEF的面积比为1：9，
∴＝，即＝，解得S△DEF＝18（米2）．
故答案为：18米2．
15．（3分）一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 ．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
16．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 （，3） ．
【解答】解：∵D（3，2）在反比例函数上，
∴，
解得：k＝6，
反比例函数解析式为：，
设直线OD表达式为：y＝mx，
将D点坐标代入得：2＝3m，
解得：，
故直线OD：，
设C（，yc），
∵S平行四边形OABC＝OA•yC＝，
∴，
∴，
∵yB＝yC，B点在直线OD上，
∴yC＝•，
解得：yc＝3，
则xB＝＝，
故B（，3），
故答案为：（，3）．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 36或32或28 ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
如图1，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，
∵CD＝AB＝10，AD＝BC＝8，
∴10×2+8×2＝36，
∴平行四边形ABCD的周长为36；
如图2，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，
∵CD＝AB＝10，DB＝AC＝6，
∴10×2+6×2＝32，
∴平行四边形ABDC的周长为32；
如图3，平行四边形ACBD以AC、BC为邻边，
∵AD＝BC＝8，DB＝AC＝6，
∴8×2+6×2＝28，
∴平行四边形ACBD的周长为28，
综上所述，此平行四边形的周长为36或32或28，
故答案为：36或32或28．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D和点E分别是边BC和AB上的两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B′恰好落在AC的中点处，DE与BB′交于点F，则下列四个结论：
①∠CB′B＝∠BDE；
②BB′⊥ED；
③CD＝DE；
④tan∠CDB′＝．
其中正确的是 ①②④ （写出正确的结论的序号）．
【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴DE是BB'的垂直平分线，
∴BB′⊥ED，故②正确；
∴∠DFB＝90°，
∴∠BDE+∠DBF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CB'B+∠DBF＝90°，
∴∠CB'B＝∠BDE，故①正确；
设AC＝BC＝m，CD＝x，则BD＝B'D＝m﹣x，
∵点B′是AC的中点，
∴B'C＝m，
在Rt△B'CD中，B'C2+CD2＝B'D2，
∴（m）2+x2＝（m﹣x）2，
解得x＝m，
∴CD＝m，
∴tan∠CDB′＝＝＝，故④正确；
不能证明CD＝DE，故③不正确；
∴正确的是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题.（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求代数式的值，其中．
【解答】解：原式＝，
当时，
原式＝．
20．（12分）某省于2021年全面启动高考综合改革，从2021级高一新生开始，实行“3+1+2”的高考选考方案，“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考．2022年，某校抽取高二部分同学做了“你的高考优势科目”的调查问卷，其中一个问题是要求同学从物理，历史，政治，化学，地理，生物这六科中必选出一科，作为自己的优势科目填上．根据调查问卷中这一问题的反馈结果绘制了如图统计图：
频数分布表
学科
频数
频率
物理
50
0.10
历史
a
0.25
地理
100
0.20
政治
75
0.15
化学
90
d
生物
b
e
合计
c
1.00
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 500 名学生，优势科目是物理的扇形圆心角的度数为 36° ；
（2）请求出d值和n值；
（3）该校共有高二学生3000人，估计以物理科为优势学科的学生大约有多少人？
（4）高二学生小明和小军将参加新高考，他们酷爱物理和地理，两人约定必选物理和地理．他们还需要从政治、化学、生物三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中生物的概率．
【解答】解：（1）本次共调查的学生人数为50÷0.10＝500（名）．
优势科目是物理的扇形圆心角的度数为360°×10%＝36°．
故答案为：500；36°．
（2）d＝90÷500＝0.18．
∵a＝500×0.25＝125，
b＝500﹣50﹣125﹣100﹣75﹣90＝60，
∴n%＝%＝12%，
∴n＝12．
（3）3000×10%＝300（人）．
∴以物理科为优势学科的学生大约有300人．
（4）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他们恰好都选中生物的结果有1种，
∴他们恰好都选中生物的概率为．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
【解答】解：（1）设每支钢笔x元，依题意得：
，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元；
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
22．（12分）如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴OA＝DC，OC＝AD，
∵OA＝OC＝OD，
∴OA＝OD＝AD，DC＝OC＝OD，
∴△OAD、△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝60°，
在△OBF和△ODF中，
，
∴△OBF≌△ODF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF，
∵∠OBF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴EF⊥OD
∵点D在⊙O上，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODE中，∵∠AOD＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∵OD＝1，
∴OE＝2，DE＝OD＝，
∴S△EOD＝OD×DE＝×1×＝，S扇形AOD＝＝π，
∴图中阴影部分的面积＝S△EOD﹣S扇形AOD＝﹣π．
五、解答题（12分）
23．（12分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
∴DE＝DC＝2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF＝DF＝x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝＝＝＝米，
BD＝BF＝x米，DC＝4米，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2＝+16，
解得：x＝4+4，
则AB＝（6+4）米．
六、解答题（12分）
24．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额＝单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
【解答】解：（1）根据题意得：＝934.4（元）；
（2）根据题意设y＝kx+b，
把（30，40）与（40，20）代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝100，
则y＝﹣2x+100；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，
根据题意得：W＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵当x＝35时，W最大值为450，
则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
七、解答题（本题12分）
25．（12分）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T（A），即T（A）＝＝，当∠A＝60°时，如T（60°）＝1．
（1）T（90°）＝ ，T（120°）＝ ，T（A）的取值范围是 T（A）＞ ；
（2）如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ＝14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T（140°）≈0.53，T（70°）≈0.87，T（35°）≈1.66）
【解答】解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
则＝，
∴T（90°）＝＝，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
∴BD＝AB，
∴BC＝AB，
∴T（120°）＝＝；
∵2AB＞BC，
∴＞，
∴T（A）＞，
故答案为：；；T（A）＞；
（2）∵圆锥的底面直径PQ＝14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π，
设扇形的圆心角为n°，
则＝14π，
解得n＝140，
∵T（70°）≈0.87，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为≈20.7．
八、解答题（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），并经过点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线PD将△ABD的面积分成3：1两部分，求点P的坐标；
（3）点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当∠OQA＝∠ABC﹣∠OCA时，求t的值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）当点P在点D的右侧时，如下图，
∵直线PD将△ABD的面积分成3：1两部分，即DT将△ABD的面积分成3：1两部分，
则点T将AB分为3：1两部分，即BH＝AB＝1，
即点T（2，0），
由点D、T的坐标得，直线DT的表达式为：y＝﹣4（x﹣2）②，
联立①②得：﹣x2+2x＝3＝﹣2（x﹣2），
解得：x＝5，
则点P（5，﹣12）；
当点P在点D的左侧时，同理可得，直线DP的表达式为：y＝4x③，
联立①③得：﹣x2+2x＝3＝4x，
解得：x＝﹣3，
即点P（﹣3，﹣12），
综上，点P的坐标为：（5，﹣12）或（﹣3，﹣12）；
（3）在线段OC上取点N使，ON＝1，连接BN，
则tan∠NBO＝＝＝tan∠OCA＝
则∠NBO＝∠OCA，
∵∠OQA＝∠ABC﹣∠OCA，
∴∠OQA＝∠CBN，
过点N作NH⊥BC于点H，
由点B、C的坐标知，AB＝3，
在Rt△CNH中，CN＝2，则HN＝CH＝，
则BH＝BC＝HC＝2，
则tan∠OQA＝tan∠CBN＝＝，
当点Q在x轴下方时，
∵tan∠OQA＝＝，
则OQ＝2，则点Q（0，﹣2），
当点Q在x轴上方时，
同理可得，点Q（0，2），
则CQ＝5或1，
∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，
∴t＝或．
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