2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题03 将军饮马求最小值2-平移（教师版）

中考数学压轴题--二次函数

第3节  将军饮马求最值2--平移

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方法点拨

已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

(1)点A、B在直线m两侧：

   过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

(2)点A、B在直线m同侧：

       例题演练

例1．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B(A在B左边)，与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．

(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；

【解答】解：(1)如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F(m，m2+m+2)．

由题意可知A(﹣6，0)，B(﹣2，0)，C(0，2)，

∵抛物线的对称轴x＝﹣4，C，D关于直线x＝﹣4对称，

∴D(﹣8，2)，

∴直线AC的解析式为y＝x+2，

∵DE∥AC，

∴直线DE的解析式为y＝x+，

由，解得或，

∴E(2，)，H(m，m+)，

∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面积为定值，

∴△DEF的面积最大时，△EFG的面积最大，

∵FH的值最大时，△DEF的面积最大，

∴FH的值最大时，△EFG的面积最大，

∵FH＝﹣m2﹣m+，

∵a＜0．开口向下，

∴x＝﹣3时，FH的值最大，此时F(﹣3，﹣)．

如图2中，作点G关于DE 的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小．

∵直线DF的解析式为：y＝﹣x﹣2，

由，

解得，

∴G(﹣，)，

∵TG⊥AC，

∴直线GR的解析式为y＝﹣x﹣，

由，解得，

∴R(﹣，)，

∴RG＝4，OR＝，

∵GM＝TM＝RN，

∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．

∴GM+MN+NO的最小值为4+．

练1.1如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC

(1)点G是直线BC上方抛物线上一动点(不与B、C重合)，过点G作y轴的平行线交直线BC于点E，作GF⊥BC于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且MN＝EF，连接DM、GN．当△GEF的周长最大时，求DM+MN+NG的最小值；

【解答】解：(1)y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣3)(x+1)＝﹣(x﹣1)2+4

∴抛物线与x轴交于点A(﹣1，0)、点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，顶点D(1，4)，

∴直线CB解析式：y＝﹣x+3，∠BCO＝45°

∵GE∥y轴，GF⊥BC

∴∠GEF＝∠BCO＝45°，∠GFE＝90°

∴△GEF是等腰直角三角形，EF＝FG＝GE

∴C△GEF＝EF+FG+GE＝(+1)GE

设点G(a，﹣a2+2a+3)，则点E(a，﹣a+3)，其中0＜a＜3

∴GE＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣a2+3a＝﹣(a﹣)2+

∴a＝时，GE有最大值为

∴△GEF的周长最大时，G(，)，E(，)，

∴MN＝EF＝，E点可看作点F向右平移个单位、向下平移个单位

如图1，作点D关于直线BC的对称点D1(﹣1，2)，过N作ND2∥D1M且ND2＝D1M

∴DM＝D1M＝ND2，D2(﹣1+，2﹣)即D2(，)

∴DM+MN+NG＝MN+ND2+NG

∴当D2、N、G在同一直线上时，ND2+NG＝D2G为最小值

∵D2G＝

∴DM+MN+NG最小值为

练1.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D(﹣4，n)在抛物线上．

(1)求直线CD的解析式；

(2)E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM＝BN时，求EM+MN+BN的值．

【解答】解：(1)由题意C(0，﹣3)，D(﹣4，5)，

设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有

解得，

∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣3．

(2)如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E(m，m2+2m﹣3)．则G(m，﹣2m﹣3)，GE＝﹣m2﹣4m．

∴S△EDC＝•EG•|Dx|＝(﹣m2﹣4m)×4＝﹣2(m+2)2+8，

∵﹣2＜0，

∴m＝﹣2时，△DEC的面积最大，此时E(﹣2，﹣3)，

∵C(0，﹣3)，

∴EC∥AB，设CE交对称轴于H，

∵B(1，0)，

∴EH＝OB＝1，∵EM＝BN，

∴Rt△EHM≌Rt△BON，

∴MH＝ON＝OC＝，

∴EM＝BN＝＝，

∴EM+MN+BN＝1+．

练1.3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+b与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，OB＝1，∠OBC＝60°．

(1)如图1，求直线BC的解析式；

(2)如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PD⊥x轴于点H，交线段AC于点D，直线BG∥AC，交抛物线于点G，点F是直线BC上一动点，FE∥BC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF．当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；

【解答】解：(1)在△BOC 中，OB＝1，∠OBC＝60°

∴BC＝2，OC＝．

∴抛物线解析式为：；

令y＝0，得

解之得，x1﹣3，x2＝1

∴A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)

设直线BC解析式为：y＝kx+b，经过B(1，0)，C(0，)

∴，

∴，

∴；

(2)设直线AC解析式为：y＝k1x+b1，经过A(﹣3，0)，B(1，0)，得

设P点坐标为，则D点坐标为

∴PD＝═

当时，PD有最大值．

∴P点坐标为；

在R△AOC中，可以求出AC＝2，AB＝4

∴AC2+BC2＝12+4＝16＝AB2

由勾股定理逆定理得，可得∠ACB＝90°，

可得∠CAB＝30°＝∠ABG，

由对称可得，AB＝BQ＝4，∠ABQ＝30°+30°＝60°，

∴△ABQ 是等边三角形．

过点Q作QM⊥x轴于点M．

∴MB＝4，且OB＝1

∴OM＝1，QM＝2

∴Q点坐标为(﹣1，﹣2)；

由题意得，四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC＝2．

将Q点沿射线EF方向平移2个单位(向左平移1个单位，向上平移个单位)，可得Q′的坐标为(﹣2，﹣)，

连接P Q′交AC于点E，点E即为所求．

P Q′＝

PE+EF+QF最小值＝P Q′+EF＝+2，

直线P Q的解析式为：

联立，

解得：x＝﹣，故E点坐标；

练1.4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F(异于点C)，直线CD交x轴交于点G．

(1)如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；

(2)如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值；

【解答】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣与y轴交于点C，

∴C(0，﹣)，

∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣(x﹣2)2+，

∴顶点D(2，)，对称轴x＝2，

∴E(2，0)，

设CE解析式y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直线CE的解析式：y＝x﹣；

(2)∵直线CE交抛物线于点F(异于点C)，

∴x﹣＝﹣(x﹣2)2+，

∴x1＝0，x2＝3，

∴F(3，)，

过P作PH⊥x轴，交CE于H，如图1，

设P(a，﹣a2+2a﹣)  则H(a，a﹣)，

∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣(a﹣)，

＝﹣a2+，

∵S△CFP＝PH×3＝﹣a2+，

∴当a＝时，S△CFP面积最大，

如图2，作点M关于对称轴的对称点M'，过F点作FG∥MM'，FG＝1，即G(4，)，

∵M的横坐标为，且M与M'关于对称轴x＝2对称，

∴M'的横坐标为，

∴MM'＝1，

∴MM'＝FG，且FG∥MM'，

∴FGM'M是平行四边形，

∴FM＝GM'，

∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，

根据两点之间线段最短可知：当O，N，M'，G四点共线时，GM'+NM'+ON的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，

∴FM+MN+ON＝OG＝＝；

练1.5如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(﹣2，0)，O(0，0)，B(0，4)，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．

(1)求C、D两点的坐标；

(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方)，且EF＝1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．

【解答】解：(1)由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4

∴C点的坐标是(0，2)，D点的坐标是(4，0)，

(2)设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

由题意，得，

解得，b＝1，c＝4，

∴所求抛物线的解析式为；

(3)只需求AF+CE最短，

抛物线的对称轴为x＝1，

将点A向上平移至A1(﹣2，1)，则AF＝A1E，

作A1关于对称轴x＝1的对称点A2(4，1)，

连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，

可求得A2C的解析式为，

当x＝1时，，

∴点E的坐标为，点F的坐标为．

练1.6如图1，已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．

(1)求直线AC的解析式和顶点D的坐标；

(2)已知E(0，)，点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR⊥AC于点R，当PR最大时，有一条长为的线段MN(点M在点N的左侧)在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标；

【解答】解：(1)对于抛物线y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)，

令x＝0，得y＝﹣3，

∴C(0，﹣3)，

∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，

∴顶点D坐标为(﹣1，﹣4)，

设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，点D坐标(﹣1，﹣4)．

(2)如图1中，设P(m，m2+2m﹣3)，

由题意，当PR最大时，△ACP的面积最大，即四边形APCO的面积最大，

∵S四边形APCO＝S△AOP+S△POC﹣S△AOC＝•3•(﹣m2﹣2m+3)+•3•(﹣m)﹣•3•3＝﹣m2﹣m＝﹣(m+)2+，

∴当m＝﹣时，四边形APCO的面积最大，即PR最长，

∴P(﹣，﹣)，

将点P沿BE方向平移个单位得到G(﹣，﹣)，作点A关于直线BE的对称点K，连接GK交BE于M，此时四边形APNM的最长最小，

∵直线BE的解析式为y＝﹣x+，直线AK的解析式为y＝2x+6，

由解得，

∴J(﹣，)，

∵AJ＝JK，

∴k(﹣，)，

∴直线KG的解析式为y＝x+，

由解得，

∴M(﹣2，)，将点M向下平移1个单位，向右平移2个单位得到N，

∴N(0，)．