中考数学压轴题满分突破训练 专题10 二次函数-将军饮马求最小值（平移）

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中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。

第十讲 二次函数--将军饮马求最值（平移）
目录
必备知识点 1
考点一 平移 1
考点二 平移+对称 4

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必备知识点
已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：




过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：




过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

考点一 平移

1．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；

【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：

∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，
∴四边形CC'QP是平行四边形，
∴CP＝C'Q，
∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，
∵B，Q，C'共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，
∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，
∴C'（0，3），
∵B（4，0），
∴BC'＝＝5，
∴BC'+PQ＝5+1＝6，
∴CP+PQ+BQ最小值为6；
2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．点M为抛物线的顶点．

（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，点Q为抛物线y＝ax2+bx+c第四象限上的一点，若△ACQ与△ABC的面积相等，求点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上的点，过点P作y轴的平行线，分别与x轴、直线y＝2交于点K、N，连接MN、QK，探究MN+NK+QK是否存在最小值时，若存在，求出点P的横坐标并直接写出这个最小值；若不存在，请你说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是：y＝a（x+1）•（x﹣4），
∴2＝a．（0+1）•（0﹣4），
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）•（x﹣4）＝﹣x2+x+2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）∵A（0，2），C（4，0），
∴直线AC的解析式是：y＝﹣，
作BQ∥AC交抛物线于Q，
∴BQ的解析式是：y＝﹣﹣，
由﹣＝﹣++2得，
x1＝﹣1，x2＝5，
当x＝5时，y＝﹣＝﹣3，
∴点Q的坐标为（5，﹣3）；
（3）如图，

MN+NK+QK存在最小值是2+，理由如下：
将点Q向上平移2个单位到点R，连接NR交y＝2于N，作NK⊥x轴，交抛物线于P，
∵M（，），R（5，﹣1），
∴直线MR的解析式是：y＝﹣+，
当y＝2时，
﹣+＝2，
∴x＝，
∴P点的横坐标是，
∴（MN+NK+QK）最小＝2+＝2+．

考点二 平移+对称
3．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF＝1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．

【解答】解：（1）由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4
∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），

（2）设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意，得，
解得，b＝1，c＝4，
∴所求抛物线的解析式为；

（3）只需求AF+CE最短，
抛物线的对称轴为x＝1，
将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF＝A1E，
作A1关于对称轴x＝1的对称点A2（4，1），
连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，
可求得A2C的解析式为，
当x＝1时，，
∴点E的坐标为，点F的坐标为．

4．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（﹣2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（Ⅲ）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN＝2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）把A（﹣2，0），C（0，4）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（Ⅱ）当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴B（6，0），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（6，0），C（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，
设P（t，﹣t2+t+4），则Q（t，﹣t+4），
∴PQ＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝×6×PQ＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，S△PBC的值最大，此时P点坐标为（3，5）；
（Ⅲ）取OC的中点D，连接BD交直线x＝2于点M，如图，则D（0，2），
∵MN∥CD，MN＝CD＝2，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴DM＝CN，
∵MA＝MB，
∴CN+AM＝DM+BM＝BD，
∴此时四边形AMNC周长最小，
∵BD＝＝2，AC＝＝2，
∴四边形AMNC周长的最小值为2+2+2．

5．如图1，抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）如图2，E为抛物线的顶点，F为AC上方的抛物线上一动点，M、N为直线AC上的两动点（M在N的左侧），且MN＝4，作FP⊥AC于点P，FQ∥y轴交AC于点Q．当△FPQ的面积最大时，连接EF、EN、FM，求四边形ENMF周长的最小值．

【解答】解：（1）由题意：A（﹣3，0），B（，0），C（0，3），
∴OA＝3，OC＝3，
∴AC＝＝6．

（2）如图2﹣1中，延长FQ交OA于D．设F（m，﹣m2﹣m+3），

∵tan∠CAO＝＝，
∴∠CAO＝30°，∵FQ∥y轴，FP⊥AC，
∴∠ADQ＝∠FPQ＝90°，
∴∠AQD＝∠FQP＝60°，
∴当FQ最大时，△FPQ的面积最大，
∵直线AC的解析式为y＝x+3，
∴Q（m，m+3），
∴FQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣，FQ的值最大，即△PFQ的面积最大，此时F（﹣，），
如图2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作点F′关于直线AC的对称点F″，连接EF″交直线AC于点M，连接FM，EN，EF，此时四边形ENMF的周长最短．

由题意点F向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F′（，），
∵F″与F′关于直线AC对称，
∴F″（，），
∴M（，），N（，），
∵抛物线顶点E（﹣，4），
∴FM＝＝，EN＝＝，EF＝＝，
∴四边形ENMF的周长的最小值为4+++．

6．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．
（1）点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；

【解答】解：（1）如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F（m，m2+m+2）．

由题意可知A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，2），
∵抛物线的对称轴x＝﹣4，C，D关于直线x＝﹣4对称，
∴D（﹣8，2），
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵DE∥AC，
∴直线DE的解析式为y＝x+，
由，解得或，
∴E（2，），H（m，m+），
∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面积为定值，
∴△DEF的面积最大时，△EFG的面积最大，
∵FH的值最大时，△DEF的面积最大，
∴FH的值最大时，△EFG的面积最大，
∵FH＝﹣m2﹣m+，
∵a＜0．开口向下，
∴x＝﹣3时，FH的值最大，此时F（﹣3，﹣）．
如图2中，作点G关于DE 的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小．

∵直线DF的解析式为：y＝﹣x﹣2，
由，
解得，
∴G（﹣，），
∵TG⊥AC，
∴直线GR的解析式为y＝﹣x﹣，
由，解得，
∴R（﹣，），
∴RG＝4，OR＝，
∵GM＝TM＝RN，
∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．
∴GM+MN+NO的最小值为4+．

7．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，且3OC＝4OB，对称轴为直线x＝，点，连接CE交对称轴于点F，连接AF交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式和直线CE的解析式；
（2）如图②，过E作EP⊥x轴交抛物线于点P，点Q是线段BC上一动点，当QG+QB最小时，线段MN在线段CE上移动，点M在点N上方，且MN＝，请求出四边形PQMN周长最小时点N的横坐标；
【解答】解：（1）由题意C（0，4），
∴OC＝，
∵3OC＝4OB，
∴OB＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线的对称轴x＝，
∴A（﹣，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．
设直线CE的解析式为y＝kx+b，则有 ，解得，
∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+4．

（2）如图1中，作QH⊥AB于H．

由（1）可知F（，2），
∴直线AF的解析式为y＝x+，
由 ，解得或，
∴G（，），
∵QH∥CO，BC＝＝5，
∴＝，
∴QH＝BQ，
∴GQ+BQ＝GQ+QH，
∴当G、Q、H三点共线时，GQ+BQ的值最小，最小值为，此时Q（，）．
如图2中，将点Q沿CE方向平移个单位得到Q′，作点Q′关于直线CE的对称点Q″，连接PQ″交直线CE于M，此时四边形PQNM的周长最小．

易知Q′（，2），Q″（，），
∵P（2，4），
∴直线PQ″的解析式为y＝x+，
由，解得 ，
∴M（，），
∵MN＝，可得N（，），
∴点N的横坐标为．

8．如图，抛物线y＝x2+x﹣交x轴于点A、B．交y轴于点C．
（1）求直线AC的解析式，
（2）若P为直线AC下方抛物线上一动点，连接AP、CP，以PC 为对角线作平行四边形ACDP，当平行四边形ACDP面积最大时，作点C关于x轴的对称点Q，此时线段MN在直线AQ上滑动（M在N 的左侧），MN＝，连接BN，PM，求BN+NM+MP的最小值及平行四边形ACDP 的最大面积；

【解答】解：（1）当y＝0时，x2+x﹣＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
当x＝0时，y＝﹣
∴C（0，﹣），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
∴ 解得：
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣；
（2）设与AC平行的直线解析式为y＝﹣x+h，
联立y＝x2+x﹣与y＝﹣x+h，
当Δ＝0时，点P到直线AC的距离最大，
∴7+h＝0，
∴h＝﹣，
∴y＝﹣x﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣），
此时平行四边形ACDP面积最大；
S四边形ACDP＝2S△ACP＝2（S梯形AEFC﹣S△AEP﹣S△FCP）＝2××（+）﹣2×﹣2×＝﹣；
点C关于x轴的对称点Q，C（0，﹣），
∴Q（0，），
则AQ的直线解析式为y＝x+，
设点B关于直线AQ的对称点为B'（a，b），
∴，
∴，
∴B'（﹣1，2），
过点B'作MN的平行线，过M作B'N的平行线，两线相交于点B''，
过点B''作x轴平行线，过点B'作y轴平行线，相交于点G，
∴MN＝B''B'，
∵直线AQ与x轴的夹角为30°，
∴∠B''GB'＝30°，
∴B''G＝，B'G＝，
∴B''（﹣，），
当B''，M，P三点共线时，BN+NM+MP的值最小，
∴BN+NM+MP＝B''P+NM，
∵B''P＝，
∴BN+NM+MP的最小值为+；
9．如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AD的最小值；


【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5），
∴AD＝AB＝5，B（4，0），
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
将点A，C代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q，
∵PQ⊥y轴，
∴AO∥PQ，
∵AO＝PQ＝1，
∴四边形AOQP是平行四边形，
∴AP＝OQ，
∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ
若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小，
∵E，C关于对称轴x＝1对称，
∴EQ＝CQ，
∴EQ+OQ＝CQ+OQ，
此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，
∵C（4，﹣5），
∴，
∴EQ+PQ+AP的最小值为，
即EQ+PQ+AP的最小值为；
10．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4，AE与y轴交F．
（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；
（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8，
∴顶点D坐标（2，﹣8），
由题意E（4，﹣8），A（﹣2，0），B（6，0），
设直线AE解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线AE解析式为y＝﹣x﹣2，
∴点F坐标（0，﹣2）．

（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′＝，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．

∵四边形CMNF的周长＝CF+NM+CM+FN＝5+CM+NF，CM+NF＝C′N+NF＝C′N+NF′＝C′F′（两点之间线段最短），
∴此时四边形CMNF的周长最小．
∵C′F＝3
∴GN＝C′F＝，
∴﹣（a+）＝2+，
∴a＝﹣，
∵C′F′＝＝5，
∴四边形CMNF的周长最小值＝5+5＝10．

11．如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．
（1）求a、b的值；
（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；
（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．

【解答】解：（1）∵过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2，
∴
解之，得；

（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，
∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．
当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．
∴，
解之，得，
∴；
当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．
∴，
解之，得，
∴；
当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．
∴，此方程无解．
综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；

（3）设直线y＝kx过点，可得直线．
由（1）可得抛物线，
∴，
∴当时，PQ最大，此时Q点坐标是．
∴PQ最大时，线段BQ为定长．
∵MN＝2，
∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．

将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．
设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），
则
解之，得
∴直线过点Q2和点B．
解方程组得
∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，
所以点Q、M、N的坐标分别为，，．
12．如图1，已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．
（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；
（2）已知E（0，），点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR⊥AC于点R，当PR最大时，有一条长为的线段MN（点M在点N的左侧）在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标；

【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，点D坐标（﹣1，﹣4）．

（2）如图1中，设P（m，m2+2m﹣3），

由题意，当PR最大时，△ACP的面积最大，即四边形APCO的面积最大，
∵S四边形APCO＝S△AOP+S△POC﹣S△AOC＝•3•（﹣m2﹣2m+3）+•3•（﹣m）﹣•3•3＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，四边形APCO的面积最大，即PR最长，
∴P（﹣，﹣），
将点P沿BE方向平移个单位得到G（﹣，﹣），作点A关于直线BE的对称点K，连接GK交BE于M，此时四边形APNM的最长最小，
∵直线BE的解析式为y＝﹣x+，直线AK的解析式为y＝2x+6，
由解得，
∴J（﹣，），
∵AJ＝JK，
∴k（﹣，），
∴直线KG的解析式为y＝x+，
由解得，
∴M（﹣2，），将点M向下平移1个单位，向右平移2个单位得到N，
∴N（0，）．