2022-2023学年河南省商开大联考高一上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年河南省商开大联考高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数的单调性化简集合，逐一判断各选项即可.

【详解】由，解得，所以，又，

对于A：不成立，A错；

对于B：不成立，B错；

对于C：不成立，C错；

对于D：，D正确．

故选：D

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.

【详解】．

故选：A.

3．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.

【详解】由，分子分母同时除以，可得：

.

故选：B.

4．方程的解所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，由零点存在定理判断区间

【详解】令，则单调递增，

由，，

∴方程的解所在一个区间是．

故选：C．

5．函数①；②，；③，中，奇函数的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义，对选项逐一判断即可.

【详解】根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②；

对于①，，是奇函数；

对于③，，是偶函数．

故选：B．

6．已知函数的定义域为R，且，当时，，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可.

【详解】因为，所以，函数的周期为1，

所以．

故选：A．

7．已知使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得，因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，所以不等式的解集是的子集．讨论解出不等式的解集，从而利用集合的包含关系即可求解

【详解】由得，

因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，

所以不等式的解集是的子集．

由，得，

当，，符合题意；

当，，则，；

当，，符合题意，

综上所述，实数a的取值范围为．

故选：D．

8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）

A． B． C．1s D．

【答案】C

【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.

【详解】因为，，，所以，又，所以，

则，由可得，

所以，

，，

所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s．

故选：C．

二、多选题

9．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、传递性即可求解.

【详解】由不等式的同向可加性知选项A正确；

因为，，所以，，所以，故选项B正确；

因为，，所以，故选项C错误；

因为，所以，，所以，故选项D正确．

故选：ABD．

10．（多选）下列三角函数值中符号为负的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.

【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；

故选：BCD．

11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

该图象关于原点对称，所以，

即，所以的值可以是，．

故选：AD．

12．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

则下列说法正确的是（    ）A．都有成立

B．的解集为

C．的图象关于点中心对称

D．在区间上单调递增

【答案】AD

【分析】首先求出. 可以化简证明选项A正确；解不等式得，故选项B错误；求出函数图象的对称中心，即得选项C错误；求出函数的单调递增区间即得选项D正确．

【详解】由题意得，解得，，，所以．

对于A，，故A正确；

对于B，由，得，所以，

得，故B错误；

对于C，令，解得，

所以函数的对称中心为，当时，，不满足题意，故C错误；

对于D，，

所以，所以是函数的一个单调递增区间，

又，，因此函数在上单调递增，故D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．计算：______．

【答案】0

【分析】直接利用指数对数的运算法则求解.

【详解】因为，，，

所以.

故答案为：0

14．已知，，请写出一个使为假命题的实数的值，______．

【答案】0（答案不唯一）

【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.

【详解】由题意，，为真命题，

当时，恒成立，满足题意，

故答案为：0（答案不唯一）.

15．若，则______．

【答案】

【分析】化，从而平方即可.

【详解】因为，所以，两边平方得，即，．

故答案为：

四、双空题

16．记表示不超过x的最大整数，例如，，已知函数则______；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是______．

【答案】     0    

【分析】直接代入可求得；有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，数形结合可求.

【详解】；

有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，

由题可知当，显然不成立，所以，做出与的图象如图．

两函数图象在y轴的左侧只有1个交点，故y轴右边有2个交点，

则，解得．

故答案为：0；

五、解答题

17．（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用诱导公式利两角和的正切公式计算即可；

（2）换元法及二倍角公式化简求值即可.

【详解】（1）

．

（2）设，

则，

即，

解得，

又，

所以．

18．已知，．

(1)若q是p的必要非充分条件，求实数a的取值范围；

(2)若，且p，q至少有一个成立，求x的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解出集合A，由p，q的推断关系得集合A，B的关系，得a的取值范围.

（2）求出p，q都不成立时a的取值范围，其补集即为所求.

【详解】（1）设，，

因为q是p的必要非充分条件，所以A是B的真子集，则，

所以实数a的取值范围为．

（2）当时，，，

当p，q都不成立时，

或，且或同时成立，

解得或，

故p，q至少有一个成立时，x的取值范围为．

19．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．

(1)若，则；

(2)若，则．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）利用基本不等式即可证明；

（2）讨论和两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.

【详解】（1）证明：因为，所以，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

（2）证明：因为，当时，，

当且仅当时等号成立．

当时，，

当且仅当时等号成立．

综上，若，则成立，当且仅当时等号成立．

20．已知．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，求的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调增区间为，单调递减区间为

【分析】（1）由配凑法或换元法即可求；

（2）由复合函数单调性判断.

【详解】（1）因为，

设，则，所以．

（2），由或，

设，则，

当时，，因为其对称轴为，

则此时单调递减，单调递增，所以在单调递减；

当时，单调递增，单调递增，所以在单调递增．

所以的单调增区间为，单调递减区间为．

21．已知函数（，且），对，．

(1)求a的值；

(2)若，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)或1

(2)

【分析】（1）根据题意代入运算求解；

（2）利用换元法结合基本不等式可得，题意转化为当时恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析运算.

【详解】（1）由题意可得：，，

∵，即，

得，则，

且不恒为0，则，解得，

故实数a的值为或1．

（2）因为，所以，

则，，

令，则，当且仅当，即时，等号成立，

∵恒成立，等价于当时恒成立，等价于当时恒成立，

令，

对，且，

因为一次函数与反比例函数在上都是增函数，

则，可得，

即，所以在上单调递增，

则，即当时，取最小值1，

所以，即实数m的取值范围为．

【点睛】结论点睛：

1.恒成立问题：

，，等价于；

，，等价于.

2．存在性问题：

，，等价于；

，，等价于.

22．已知函数的最小正周期为．

(1)求的解析式；

(2)若关于x的方程在区间上有相异两解

求：①实数a的取值范围；

②的值．

【答案】(1)

(2)①，②

【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到函数的解析式；

（2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函数的对称性即可得到的值.

【详解】（1）

．

因为的最小正周期为，所以，解得．

所以．

（2）

①，即．

关于x的方程在区间上有相异两解，，

也即函数与的图像在区间上有两个交点，

由，得，

在上单调递增，在上单调递减，且，

做出在上的图像如图，

由图可知，要使函数与的图像在区间上有两个交点，则有，

所以实数a的取值范围为．

②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称，

则有，所以，

所以的值为．