专题27.6 图形的位似变换【八大题型】（原卷版+解析版）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

这是一份专题27.6 图形的位似变换【八大题型】（原卷版+解析版）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版），文件包含专题276图形的位似变换八大题型举一反三人教版解析版docx、专题276图形的位似变换八大题型举一反三人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12520" 【题型1 位似图形的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc12520 \h 1
\l "_Tc8877" 【题型2 判断位似中心】 PAGEREF _Tc8877 \h 4
\l "_Tc31250" 【题型3 求位似图形的相似比】 PAGEREF _Tc31250 \h 7
\l "_Tc19188" 【题型4 求位似图形的长度】 PAGEREF _Tc19188 \h 10
\l "_Tc31631" 【题型5 求位似图形的面积】 PAGEREF _Tc31631 \h 12
\l "_Tc18087" 【题型6 求位似图形的周长】 PAGEREF _Tc18087 \h 15
\l "_Tc14992" 【题型7 求位似图形的坐标】 PAGEREF _Tc14992 \h 17
\l "_Tc23410" 【题型8 格点中作位似图形】 PAGEREF _Tc23410 \h 21
【知识点1 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； = 3 \* GB3 ③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
【题型1 位似图形的相关概念辨析】
【例1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A'B'C'中，ABA'B'=ACA'C'，∠A=∠A'，那么△ABC∼△A'B'C'；④已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形与△ABC位似，使位似比为2其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质及位似比的概念解答即可．
【详解】①正确，两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；
②正确，两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；
③正确，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：在△ABC与△A′B′C′中，ABA'B'=ACA'C'，∠A=∠A′，那么△ABC∼△A′B′C′；
④错误，因为已知△ABC及位似中心O，能够作两个三角形与△ABC位似，且位似比为2．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及到相似三角形的性质和位似比的有关概念，熟记性质概念是解题的关键．
【变式1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（ ）
A．位似的图形都是相似的图形
B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比
D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
【答案】B
【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．
【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；
B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；
C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；
D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．
【变式1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（ ）
①位似图形都相似；
②两个等腰三角形一定相似；
③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；
④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理判断．
【详解】解：①位似图形都相似，本选项说法正确；
②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误；
③两个相似多边形的面积比是2：3，则周长比为2:3，本选项说法错误；
④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形对应边的比不一定相等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误；
∴正确的只有①；
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似多边形的判定和性质，掌握位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的4个表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
正确的个数( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．
【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；
位似图形一定有位似中心，②正确；
根据位似的定义，除上述条件还需有对应边平行，或位于同一条直线上，③错误；
反例如下图,△ABC∽△A1B1C1，并且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点B1，但是这两个三角形不是位似图形.

位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误．
故选A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
【题型2 判断位似中心】
【例2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点G0，1，则它们位似中心的坐标是（ ）
A．(-2，0)B．(-1，0)C．(0，0)D．(-3，0)
【答案】A
【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．
【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，
∵点D与点G是一对对应点，
则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，
设直线DG解析式为；y=kx+b ，
将D2，2，G0，1代入得：
2k+b=2b=1 ，
解得：k=12b=1 ，
∴直线DG解析式为y=12x+1 ，
令y=0，可得：x=-2 ，
∴M(-2，0)
即位似中心的坐标是(-2，0)．
故选A．
【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键．
【变式2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点PB．点OC．点MD．点N
【答案】A
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，
∴两个三角形的位似中心是：点P．
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
【变式2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点EB．点FC．点GD．点D
【答案】D
【分析】利用位似图形的对应点的连线都经过同一点进行判断．
【详解】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D．
故选D．
【点睛】本题考查了位似变换：两位似图形的对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
【变式2-3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）
【答案】B
【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标．
【详解】如图，连接BF交y轴于P，
∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点，
∴点P为位似中心，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴△BCP∽△FGP，
∴GPPC＝GFBC＝12，PC=CG-PG，
解得：GP＝1，
∴OP=OG+GP=2，
∴点P的坐标为（0，2），
故选：B．
【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【题型3 求位似图形的相似比】
【例3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）．
A．12B．13C．22D．2
【答案】D
【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE即可解答．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
由图可知AB=22+22=22，DE=12+12=2，
∴ABDE=222=2
∴△ABC与△DEF的相似比为2，
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的性质．
【变式3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO:OF的值为（ ）
A．3：4B．4：7C．4：3D．7：4
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，进而证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∵△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，
∴ACDF=43，
∴△AOC∽△DOF，
∴OCOF=ACDF=43，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比为______．
【答案】5:2
【分析】根据位似变换的性质，三角形的相似比等于OBOD=52即可得出结论．
【详解】解：如图所示，D2,0、B5,0，
∵把△AOB缩小后得到△COD，
∴位似比为OBOD=52，则△AOB与△COD的相似比为5:2，
故答案为：5:2．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k是解题的关键．
【变式3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ABC三个顶点A(3, 6)、B(6, 2)、C(2, -1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A'B'C'三个顶点分别为A'(1, 2)，B'(2, 23)，C(23, -13)，则△A'B'C'与△ABC的位似比是________．
【答案】1:3
【分析】由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比．
【详解】解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），∴△A′B′C′与△ABC的位似比是：1：3．
故答案为1：3．
【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．
【题型4 求位似图形的长度】
【例4】（2022·重庆·一模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB:OF=3:2，若线段AC=9，则线段DE的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】利用位似图形的概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，进而求出ABDF=32，求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DF，△ABC∽△DFE，
∴ABDF=OBOF=32，ACDE=ABDF，
∵AC=9，
∴9DE=32，解之得：DE=6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，根据位似图形概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，是解题的关键．
【变式4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，若点A（﹣1，0），点C（12，1），则A′C′=_____．
【答案】13
【分析】根据位似图形的性质和已知求出A′、C′的坐标，根据两点间的距离公式求出A′C′即可．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，点A（﹣1，0），点C（12，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′=(-2-1)2+(0-2)2=32+22=13．
故答案为13．
【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点A′和C′的坐标是解答此题的关键．
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A(6, 3)、B(6, 0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A'B'，则A'B'的长度等于________．
【答案】1
【分析】已知A（6，3）、B（6，0）两点则AB=3，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，则A′B′：AB=1：3．即可得出A′B′的长度等于1．
【详解】∵A（6，3）、B（6，0），∴AB=3．
又∵相似比为13，∴A′B′：AB=1：3，∴A′B′=1．
【点睛】本题主要考查位似的性质，位似比就是相似比．
【变式4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为_________．
【答案】5
【分析】连接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根据矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，得AFAC=34，即可求出AF长，然后由CF=AC-A即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°
∴AC=AB2+BC2=82+42=45，
∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，
∴点F在AC上，
∴AFAC=34，即AF45=34，
∴AF=35，
∴CF=AC-AF=45-35=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
【题型5 求位似图形的面积】
【例5】（2022·河北·石家庄外国语教育集团九年级阶段练习）如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（ ）
A．1:2B．1:3C．1:9D．1:16
【答案】C
【分析】根据三角形面积比与位似比的关系求解．
【详解】解：由题意得△ADE与 △ABC的位似比为1：3，
∴△ADE 与 △ABC 面积之比为132=19=1：9，
故选C ．
【点睛】本题考查位似三角形的应用，熟练掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题关键．
【变式5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OA'=2AA'，△ABC的面积为9，则△A'B'C'面积为（ ）
A．4B．6C．92D．94
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥ A'B'，可得△OAB∽△OA'B'，根据相似三角形的性质得到ABA'B'=32，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，
∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥ A'B'，
∴△OAB∽△OA'B'，
∴ABA'B'=OAOA'=32，
∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积＝9：4，
∵△ABC的面积为9，
∴△A'B'C'的面积为：4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG、DG．则△ADG的面积为________．
【答案】4
【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．
【详解】延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴S△ADG=12S▱AEHD．
∵位似图形与原图形的位似比为23，
∴BE=23AB，
即AE=13AB，
∴S▱AEHD=13S▱ABCD=8，
∴S△ADG=12S▱AEHD=12×8=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
【变式5-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续下去，若OA1=1，则正方形A2021B2021C2022A2022的面积为________．
【答案】24040
【分析】根据位似图形的概念求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为12，
∴A1B1A2B2=12，
∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴OA1OA2=A1B1A2B2=12，
∵OA1=1，
∴OA2=2，
∴A1A2=1，
∴正方形A1B1C1A2的面积=1=40，
∵OA1=A1A2=A1B1=1，
∴∠B1OA1=45°，
∴OA2=A2B2=2，
∴正方形A2B2C2A3的面积=2×2=41，
∵A3B3⊥x轴，
∴OA3=A3B3=4，
∴正方形A3B3C3A4的面积=4×4=16=42，
……
则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021-1=42020=24040，
故答案为：24040．
【点睛】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质、相似多边形的性质是解题的关键．
【题型6 求位似图形的周长】
【例6】（2022·浙江温州·二模）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OA＝2OD，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．2：1B．3：1C．4：1D．6：1
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出AB：DE，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=2，
∴△ABC与△DEF的周长之比是2：1．
故选A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．
【变式6-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【分析】根据位似的性质，可知两个四边形的周长之比也为1∶3，即可得解．
【详解】解：由题知：OA∶OE＝1∶3
∴3CADCB=CHGFE=3×4=12，
故选A．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，知道位似图形周长比等于相似比是解题的关键．
【变式6-2】（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．18
【答案】B
【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3知△ABC与△DEF的位似比是1:3，从而得出△ABC周长：△DEF周长=1:3，由此即可解答．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3，
∴△ABC与△DEF的位似比是1:3．
则△ABC周长：△DEF周长=1:3，
∵△ABC的周长为2，
∴△DEF周长=2×3=6
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．
【变式6-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】B
【分析】根据：位似图形高、周长的比都等于相似比即可解答．求出△DEF与△ABC的相似比为5:2即可．
【详解】∵OA:AD=2:3
∴OA:OD=2:5
∴△DEF与△ABC的周长比为5:2
∵△DEF与△ABC的周长差为12cm
∴△ABC的周长=12×25-2=8(cm)
故选：B
【点睛】本题主要考查了位似比，熟练的掌握位似图形高、周长的比都等于相似比是解题的关键．
【题型7 求位似图形的坐标】
【例7】（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为12，则点A的对应点A1的坐标为_______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）
【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．
【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为12，
∴点A1的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为12或-12，
∵A（-4，2），
∴A1的坐标为(-4×12,2×12)或[-4×(-12),2×(-12)]， 即(-2，1)或(2，-1)，
故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键．
【变式7-1】（2022·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的12，得到△COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标是 _____．
【答案】（1，12）
【分析】根据位似变换的性质求出点C的坐标，根据线段中点的性质计算，求出点E的坐标．
【详解】∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的12，得到△COD，点A的坐标为（4，2），
∴点C的坐标为（4×（-12），2×（-12）），即点C的坐标为（﹣2，﹣1），
∴AC的中点E的坐标是（1，12），
故答案为：（1，12）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【变式7-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是-1,0．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B'的横坐标是m，则点B的横坐标是（ ）
A．-12m+3B．-12m+1C．-12m-1D．-12m
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=m，CF=m+1，CE=12（m+1），进而得出点B的横坐标．
【详解】解：过点B’作B’F⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，
∵点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是m，
∴FO=m，CF=m+1，
∴CE=12（m+1），
∴点B的横坐标是：-12（m+1）-1=-12（m+3）．
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2022·山东·胶州市初级实验中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____．
【答案】（6，6）．
【分析】利用位似变换的概念和相似三角形的性质进行解答即可.
【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴OAOD=23,OCOF=23，即4OD=23,4OF=23
解得，OD＝6，OF＝6，
则点E的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）．
【点睛】本题考查了相似三角形、正方形的性质以及位似变换的概念，掌握位似和相似的区别与联系是解答本题的关键.
【题型8 格点中作位似图形】
【例8】（2022·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以坐标原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'；
(3)设△ABC与△△A'B'C'的周长分别为l1、l2，则l1：l2＝．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)2：1
【分析】（1）按照要求作图即可，如图1；
（2）按照要求作图即可，如图1；
（3）根据周长比等于位似比计算求解即可．
（1）
解：由题意知，A,B,C关于x轴对称的点坐标分别为-2,-2，-6,-4，-4,-8，在坐标轴上描点，然后依次连线即可，如图1所示，
（2）
解：由题意知，△ABC与△A'B'C'的位似比为2:1，
∴A,B,C对应的位似点的点坐标分别为1,-1，3,-2，2,-4，在坐标轴上描点，然后依次连线即可，如图1所示，
（3）
解：由题意知△ABC与△A'B'C'的位似比为2:1，
∴l1:l2=2:1
故答案为：2:1．
【点睛】本题考查了画轴对称图形，位似图形，位似图形的性质等知识．解题的关键在于熟练掌握对称与位似的知识并灵活运用．
【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：3．
(2)证明△A'B'C'和△ABC相似．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可；
（2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论．
（1）
解：如图△A'B'C'即为所求．
（2）
证明：小正方形边长为1，
∴BC=9，AB=62+32=35，AC=62+62=62，''=12+22=5，
B'C'=3，A'C'=22+22=22，
∵ABA'B'=355=3，ACA'C'=6222=3，BCB'C'=93=3，
∴ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=3，
∴△A'B'C'∽△ABC．
【点睛】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．
【变式8-2】（2022·浙江宁波·九年级专题练习）如图，9×9的方格都是由边长为1的小正方形组成．▱ABCD的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
(1)画出▱ABCD绕点A旋转得到的▱AB'C'D'，使得点B落在边BC上．
(2)请以A为位似中心，作与▱ABCD的面积比为14的位似图形▱AEFG．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【详解】（1）如图1
（2）如图2，3
【点睛】本题考查图形的旋转、位似，旋转时，找准旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）是关键，注意位似图形两种情况．
【变式8-3】（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
(1)在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；
(2)在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）利用网格特点和相似的判定，画出DE=2,DF=4,EF=10即可；
（2）利用网格特点，延长AO到A1使A1O=2AO，延长BO到B1使B1O=2BO，延长CO到C1使C1O=2CO，从而得到△A1B1C1．
(1)
解：如图②，△DFE为所作；
由题意可得：AB=1,BC=5,AC=22,
而DE=2,DF=4,EF=10，
∴DEAB=2=EFBC=DFAC,
∴△ABC与△DEF相似．
(2)
如图③，△A1B1C1为所作．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：相似三角形的判定，掌握画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．