专题27.2 平行线分线段成比例【八大题型】（原卷版+解析版）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

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\l "_Tc16849" 【题型1 “#”字型】 PAGEREF _Tc16849 \h 1
\l "_Tc8485" 【题型2 “X”字型】 PAGEREF _Tc8485 \h 4
\l "_Tc29812" 【题型3 “A”字型】 PAGEREF _Tc29812 \h 6
\l "_Tc24151" 【题型4 “8”字型】 PAGEREF _Tc24151 \h 9
\l "_Tc3625" 【题型5 判断比例式】 PAGEREF _Tc3625 \h 11
\l "_Tc11121" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 PAGEREF _Tc11121 \h 15
\l "_Tc11730" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】 PAGEREF _Tc11730 \h 19
\l "_Tc14006" 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】 PAGEREF _Tc14006 \h 23
【知识点1 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 “#”字型】
【例1】（2022•醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（ ）
A．2B．43C．1D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴23=DE2，
∴DE=43，
故选：B．
【变式1-1】（2022•福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（ ）
A．4B．9C．10D．15
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ABBC=DEEF，即32=6EF，
∴EF＝4，
∴DF＝EF+DE＝4+6＝10，
故选：C．
【变式1-2】（2022秋•清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEAC一定相等的是（ ）
A．CEACB．BFBDC．BFFDD．ABCD
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴AEAC=BFBD，
故选：B．
【变式1-3】（2022秋•长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得到ABAC=DEDF，然后利用比例的性质求出AB，再计算AC﹣AB即可；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，则BE＝FN＝AD＝4，所以CN＝16，根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CN得到BM16=924，然后求出BM后计算EM+BM即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴ABAC=DEDF，
即AB24=38，解得AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝24﹣9＝15；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，
易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，
∴BE＝FN＝AD＝4，
∴CN＝CF﹣FN＝20﹣4＝16，
∵BM∥CN，
∴BMCN=ABAC，即BM16=924，BM＝6，
∴BE＝EM+BM＝4+6＝10．
【题型2 “X”字型】
【例2】（2022春•莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据AD：DF＝3：1，BE＝12，可计算出CE的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF=3，
∴BC＝3CE，
∴CE=14BE=14×12＝3，
故选：A．
【变式2-1】（2022•广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，BCBE=38，则AG的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADAF=BCBE，
又∵DG＝2，DF＝10，BCBE=38，
∴AG+2AG+2+10=38，
∴AG＝4．
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．2B．4C．245D．365
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCBE=ADAF，
∵AD：AF＝3：5，BE＝12，
∴BC12=35，
解得：BC=365，
∴CE＝BE﹣BC＝12-365=245，
故选：C．
【变式2-3】（2022秋•合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD=12DF，则BCCE的值为（ ）
A．1B．34C．23D．56
【分析】设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，由平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AH＝2HD=12DF，
∴设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，
∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF=3x4x=34，
故选：B．
【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．

平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明F’与F重合即可．
【题型3 “A”字型】
【例3】（2022秋•零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果AEEC=35，那么BD：BC等于（ ）
A．3：5B．5：3C．8：5D．3：8
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴BDDC=AEEC=35，
∴BDBC=38，
故选：D．
【变式3-1】（2022秋•越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则ADAB的值为（ ）
A．23B．12C．13D．14
【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∴ADAB=46=23，
故选：A．
【变式3-2】（2022秋•新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC=23，则AC的长为（ ）
A．1B．43C．2D．3
【分析】根据平行线分线段成比例可得BC：AC＝1：2，然后代入数据计算即可．
【解答】解：观察图形可知，BC：AC＝1：2，
∵BC=23，
∴AC＝3BC＝2×23=43．
故选：B．
【变式3-3】（2022秋•覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则EFBD的值为 35 ．
【分析】设CE＝AD＝x，则DECE=DFAF，求出CE，由EF∥DB可求出EFBD的值．
【解答】解：设CE＝AD＝x，
∵EF∥AC，
∴DECE=DFAF，
∴5x=3x-3，
解得x＝7.5，
∴AF＝4.5，
∵EF∥DB，
∴EFBD=AFAD=．
故答案为：35．
【题型4 “8”字型】
【例4】（2022•镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEG的值为（ ）
A．12B．13C．23D．34
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴AEEC=AFBC=23，
∴BEEG=AEEC=23
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AEAC=ADAB，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AEAC=ADAB，即6-ACAC=12，
解得：AC＝4，
故选：C．
【变式4-2】（2022秋•南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论pq=rp，淇淇得出结论rp+rq=1，则（ ）
A．只有嘉嘉正确B．只有淇淇正确
C．两人均正确D．两人均不正确
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，两式相加即可得出结论．
【解答】解：∵AC∥EF，
∴EFAC=BFBC，
∵EF∥DB，
∴EFBD=CFBC，
∴EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，
即rp+rq=1，
∴rp+rq=1．
故选：B．
【变式4-3】（2022秋•宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AGBD=AFBF=25，AEEC=AGCD，求出AG=25BD，CD=15BD，再求出AGCD即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴AGBD=AFBF，
∵AF：BF＝2：5，
∴AGBD=25，
即AG=25BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD=15BD，
∴AGCD=25BD15BD=21，
∵l1∥l2，
∴AEEC=AGCD=21，
故选：C．
【题型5 判断比例式】
【例5】（2022春•潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A．DGBG=12B．CDEF=12C．CGCF=13D．DGBE=13
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴DGBG=CGAG，
∵AC＝CG，
∴DGBG=CGAG=12，
故A正确，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴CDEF=DGEG，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴CDEF=DGEG=12，
故B正确，不符合题意．
∵CD∥EF，
∴CGCF=DGDE
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴CGCF=DGDE=13，
故C正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，
∴BGEG=AGFG，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵DGBG=CGAG=12，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴DGBE=14，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【变式5-1】（2022春•东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．ADDB=AEDHB．CFDE=DHCGC．FDFG=ECCGD．CHBC=AEAC
【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意，
∵DH∥CG，
∴DFFG=DHGC=ECCG，故C正确，不符合题意，
∵DE∥BC，
∴DEBC=AEAC，
∴CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意，
故选：B．
【变式5-2】（2022秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A．ADDB=BECEB．BDAD=BEECC．ADAB=CEBED．BDBA=DEAC
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可．
【解答】解：A．因为ADDB=ECBE，所以DE∥AC，故A不符合题意；
B．因为BDAD=BECE，所以DE∥AC，故B符合题意；
C．因为ADAB=CEBC，所以DE∥AC，故C不符合题意；
D．因为BDAB=BEBC，所以DE∥AC，故D不符合题意；
故选：B．
【变式5-3】（2022•香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A．DGBG=12B．DGBE=13C．CGCF=13D．CDEF=12
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【解答】解：AB∥CD，
∴DGBG=CGAG，
∵AC＝CG，
∴DGBG=CGAG=12，
故A正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，
∴BGEG=AGFG，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵DGBG=CGAG=12，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴DGBE=14，
故B错误，符合题意；
∵CD∥EF，
∴CGCF=DGDE，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴CGCF=DGDE=13，
故C正确，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴CDEF=DGEG，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴CDEF=DGEG=12，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2022•沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则BDDC=（ ）
A．43B．32C．65D．23
【分析】过点E作EH∥AD交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH＝HD，BDDH=BFEF=3，计算即可．
【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，
则CHHD=CEEA，
∵BE是△ABC的中线，
∴CE＝EA，
∴CH＝HD，
∵EH∥AD，
∴BDDH=BFEF=3，
∴BDDC=32，
故选：B．
【变式6-1】（2022春•任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝ 1：4 ．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴AFFH=AEED=12，
∴AF：FC＝1：4，
故答案为：1：4
【变式6-2】（2009秋•北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC的中点，试证明AMAB=ANAC；
（3）若点D是BC上任意一点，试证明AMAB+ANAC=APAD．
【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得AMAB=ANAC；
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得AMAE=APAD，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得AEAB=CDBC，继而求得AMAB+ANAC=APAD．
【解答】解：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且AMAE=APAD，（2分）
∴AMAB=AM2AE=13；
（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴AMAB=APAQ，ANAC=APAQ，
∴AMAB=ANAC；
（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
∴AMAE=APAD，
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴AEAB=CDBC，
∴AMAB=AMAE×AEAB=APAD×CDBC；
同理可得：ANAC=APAD×BDBC，
∴AMAB+ANAC=APAD×(CDBC+BDBC)=APAD．
（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）
【变式6-3】（2022春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设AEEC=m，EFFB=n，则m+n＝（ ）
A．12B．23C．56D．32
【分析】取CE中点G，连接DG，由中位线定理可得DG∥BE，再由点F为AD中点可得点E为AG中点，可求得m，由中位线定理可得EF=12DG，DG=12BE，可求出n，即可得出答案．
【解答】解：取CE中点G，连接DG，
∵点D为BC中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG=12BE，DG∥BE，
∵点F为AD中点，EF∥DG，
∴EF为△ADG的中位线，
∴点E为AG中点，EF=12DG，
∴AEEC=12，EF=14BE，
∴EFFB=13，
即m=12，n=13，
∴m+n=56，
故选：C．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】
【例7】（2022•宁阳县一模）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（ ）
A．32B．2C．3D．4
【分析】过D点作DF∥CE交AE于F，如图，先由DF∥BE，根据平行线分线段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性质求CE的长．
【解答】解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，
∵DF∥BE，
∴DFBE=ODOB，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝1，
∵DF∥CE，
∴DFCE=ADAC
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴DFCE=13，
∴CE＝3DF＝3×1＝3．
故选：C．
【变式7-1】（2022秋•虹口区期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（ ）
A．32B．23C．25D．35
【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：如图：
∵DE∥AC，AE：EB＝3：2，
∴AEEB=CDBD=32，
∴BDCD=23，
∵DF∥AB，
∴AFCF=BDCD=23，
故选：B．
【变式7-2】（2022秋•亳州期末）如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，EFBC=35，若EF＝6，则AD的长为（ ）
A．6B．132C．7D．152
【分析】根据平行线分线段成比例定理得EFBC=AEAB=35，BEAB=25，再根据平行线分线段成比例定理得EGAD=BEAB=25，由中点的定义得EG＝3，代入即可求解．
【解答】解：∵EF∥BC，AB：BC＝2：3，
∴EFBC=AEAB=35，
∴BEAB=25，
∵AD∥EF，
∴EGAD=BEAB=25，
∵点G是EF的中点，
∴EG＝3，
∴3AD=25M
∴AD=152．
故选：D．
【变式7-3】（2022•邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1B．4：2：1C．5：2：1D．5：3：2
【分析】如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．首先证明HG＝MG=12CF，再利用平行线分线段成比例定理构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．
∵MH∥BC，
∴GMCF=AGAF=GHEF=AMAC=12，
∵BE＝EF＝CF，
∴HG＝MG=12CF，
∴HMBE=MKKB=11，
∴y+z＝x，
∴GMBF=MJJB=14，
∴x+y＝4z，
∴x=52z，y=32z，
∴x：y：z＝5：3：2，
故选：D．
【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】
【例8】（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为 53 ．
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴S△ABFS△ADF=BFDF=12⋅AB⋅FM12⋅CB⋅DT=3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴BEET=BFDF=3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝33，
∴3a+3b＝33，
∴a+b=3，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝53，
故答案为：53．
【变式8-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝ 2：3 ．
【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出EFBC=13，得出FE=13BC，根据已知推出CD=12BC，根据平行线分线段成比例定理推出FNND=EFCD，代入化简即可．
【解答】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴EFBC=AFAB，
∵AF：BF＝1：2，
∴AFAB=13，
∴FEBC=13，
即FE=13BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD=12BC，
∵FE∥BD，
∴FNND=FECD=13BC12BC=23．
即FN：ND＝2：3．
故答案为：2：3．
【变式8-2】（2022秋•六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE＝ 5：6 ．
【分析】如图，过点E作ET∥BF交CD于点，利用平行线分线段成比例定理求出DF：FT可得结论．
【解答】解：如图，过点E作ET∥BF交CD于点T．
∵ET∥BF，
∴CT：FT＝CE：EB＝2：3，
∵DF：CF＝1：2，
∴DF：TF＝5：6，
∵FG∥ET，
∴DG：GE＝DF：FT＝5：6，
故答案为：5：6．
【变式8-3】（2022•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 43 ．
【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEF=25S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．
【解答】解：连接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴CDBD=CEAE=2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴DEBA=CDCB=23，
∴DFAF=DEBA=23，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEF=25S△ABD，
∵BD=13BC=53，
∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值=12×53×4=103，
∴△AEF的面积的最大值=25×103=43，
故答案为：43