湖北省武汉市常青第一中学2022-2023学年八年级下学期三月月考数学试卷(含解析)

武汉市常青第一学校八年级三月月考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A. B. C. D.

2.使二次根式有意义的的取值范围是（）

A. B. C. D.

3.下列计算正确的是（）

A. B. C. D.

4.下列各组数中，以、、为边的三角形不是直角三角形的是（）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

5.在平行四边形中，比大40°，那么的度数为（）

A.60° B.70° C.80° D.110°

6.在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）

A.， B.，

C.， D.，

7.如图，正方体的棱长为2，为一条棱的中点.已知蚂蚁沿正方体的表面从点出发，到达点，则它运动的最短路程为（）

A. B.4 C. D.5

8.菱形的边长为2，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则（）

A. B. C. D.

9.将一个边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四个剪法中，裁剪线的长度所标的数据不可能的是（）

A. B. C. D.

10.将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中、为折痕，若正方形与五边形的面积之比为4：5，则的值为（）

A. B. C. D.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.化简：__________.

12.若，，则的值为_____________.

13.点、、分别是三边的中点，若的周长是16，则的周长是____________.

14.如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点，，均为格点，以点为圆心，长为半径作弧，交格线于点，则的长为___________.

15.中，，，于，分别以、、为长对角线作全等的三个菱形，如图所示，若菱形较短的对角线的长为2，点刚好在的延长线上，则其中一个菱形的面积为______________.

16.（3分）中，于，，，，用、表示的长为______________.

三、解答题（共72分）

17.（8分）计算下列各题：

（1）

（2）

18.（8分）已知：如图，点、分别是中、边上的点，且，连接、.求证：四边形是平行四边形.

19.（8分）已知：，求代数式的值.

20.（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均在格点上.

（1）直接写出的长为________，的面积为____________；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出边上的高，并保留作图痕迹；

（3）求的长.

21.已知：如图，在中，，是的角平分线，，，求的长.

22.（10分）在中，.

（1）若，点、在、上，将沿折叠，使得点与点重合，求折痕的长；

（2）点在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形.

23.（10分）中，点、分别在、上，，.

（1）当时，求证：为等边三角形；

（2）当时，求证：；

（3）当，，时，直接写出线段的长为___________.

24.（12分）已知，点P为射线上任意一点（点P与点B不重合），分别以、为边在的内部作等边和，连接并延长交于点

（1）如图1，若，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时的长（直接写出结果）

（2）如图2，当点P为射线上任意一点时，猜想与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明

（3）若，设，求的长

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）

【分析】根据最简二次根式满足的条件对各选项进行判断.

【解答】解：，，，

只有为最简二次根式.

故选：B.

【点评】本题考查了最简二次根式：把满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

2.（3分）

【分析】利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案.

【解答】解：二次根式有意义，

，

解得：，

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点.

3.（3分）

【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式再合并判断即可.

【解答】解：A、，错误，不符合题意；

B、，错误，不符合题意；

C、，正确，符合题意；

D、，错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】此题考查二次根式的加减，关键是先把各个二次根式化成最简二次根式再合并解答.

4.（3分）

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形.

【解答】解：A、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；

B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；

C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项正确；

D、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

5.（3分）

【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数.

【解答】解：画出图形如下所示：

四边形是平行四边形，

，，

又，

，，

.

故选：D.

【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，难度一般.

6.（3分）

【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论.

【解答】解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形，

C选项中，由于，，所以，

所以只有C能判定.

故选：C.

【点评】平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：

1、四边形的两组对边分别平行；

2、一组对边平行且相等；

3、两组对边分别相等；

4、对角线互相平分；

5、两组对角分别相等.则四边形是平行四边形.

7.（3分）

【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，

【解答】解：如图，它运动的最短路程，

故选：C.

【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出.

8.（3分）

【分析】连接、，根据菱形的边长为2，可得，由，可得是等边三角形，进而可求，再根据勾股定理分别求出、的长，进而可得的长.

【解答】解：如图，连接、，

菱形的边长为2，

，

，

是等边三角形，

，，

，

点为的中点，

菱形的边长为1，

即，

点在的延长线上，，

，

连接，

于点，

，，

，

根据勾股定理，得

，

点为的中点，

.

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质.

9.（3分）

【分析】直接验证三角形三边的平方之间的关系即可作出判断.

【解答】解：对于A选项，，三角形为锐角三角形，合理；

对于B选项，，说明边长为11的边所对的角是钝角，这个时候三角形不可能完全处在正方形内，故不合理；

对于C选项，，且，三角形为锐角三角形，合理；对于D选项，，说明边长为10的边所对的角为钝角，合理.

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理.正确判断各三角形的形状是解答的关键.

10.（3分）

【分析】连接，直线与交于点，根据正方形与五边形的面积之比为4：5，设正方形与五边形的面积为，，可得，根据折叠可得正方形的面积为，进而求出，最后求得结果.

【解答】解：如图，连接，直线与交于点，

正方形与五边形的面积之比为，

设正方形与五边形的面积为，，

，

，

，

由折叠可知：

正方形的面积为：，

，

.

故选：A.

【点评】本题考查了剪纸问题，解决本题的关键是掌握对称的性质.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.（3分）答案：10

【分析】根据二次根式的性质计算.

【解答】解：原式

.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

12.（3分）答案：1

【分析】直接利用平方差公式计算得出答案.

【解答】解：，，

.

故答案为：1.

【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键.

13.（3分）答案：8

【解答】解：如图，

、、分别是、、的中点，

、、为中位线，

，，；

，

故答案为：8.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路.

14.（3分）答案：

【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可得出的长.

【解答】解：连接，，如图所示：

，

.

故答案为：.

【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出，是解决问题的关键.

15.（3分）答案：

【分析】如图所示，连接，设交于点，先证明是等腰直角三角形，再证明，从而在中，由勾股定理得，求得的值，再根据菱形的面积等于底乘以高，得出菱形的面积，即菱形的面积.
【解答】解：如图所示，连接，设交于点，则，

三个菱形全等，

，，

于

，

，

是等腰直角三角形，

，

四边形为菱形，

，

，

，

，

设，则，，

在中，由勾股定理得：，

解得：，

菱形的面积为：，

菱形的面积为：.

故答案为：.

【点评】本题考查了菱形的性质、菱形的面积计算、等腰直角三角形的判定及勾股定理在计算中的应用，明确菱形的性质及根据勾股定理构建方程是解题的关键.

16.（3分）答案：

【分析】延长至，使，连接，根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质得到，得到，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：延长至，使，连接，

则，

，

，

，

，即，

，

，，

，

，

由勾股定理得，，

，即，

解得，，

故答案为：.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的外角性质、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键.

三、解答题（共72分）

17.（8分）

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）根据二次根式的除法法则运算.

【解答】解：（1）原式

（2）原式

.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

18.（8分）

【分析】利用平行四边形的性质得出，，进而求出，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可.

【解答】证明：在中，则，，

，

，

四边形是平行四边形.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出是解题关键.

19.（8分）

【分析】把的值代入多项式进行计算即可.

【解答】解：当，

.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键.

20.（8分）

【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；

（2）根据题意画出线段即可；

（3）根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：（1），

，

故答案为，9；

（2）如图所示，即为所求，

（3），

.

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键.

21.（8分）

22.（10分）

【分析】（1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论；

（2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论.

【解答】解：（1）如图1，过作于，

，，

，

，

将沿折叠，使得点与点重合，

，，

设，

，

，

，

解得：，

；

（2）如图2，过作于，

，

设，，，

，

，

，，

联立方程组解得，（负值舍去），

，

，

是直角三角形.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

23.（10分）

【分析】（1）根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明结论；

（2）延长至，使，延长至，使，延长、交于点，根据菱形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据（1）中结论解答；

（3）延长交的延长线于，延长交的延长线于，作于，把绕点顺时针旋转120°，得到，求出的长，证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案.

【解答】（1）证明：当时，，平行四边形为菱形，

，，

为等边三角形，，

，，，

在和中，，

，

又，为等边三角形；

（2）证明：如图2，延长至，使，延长至，使，延长、交于点，

，

是的中位线，

，又，

四边形为平行四边形，

平行四边形为菱形，

由（1）可知，为等边三角形，

；

（3）解：如图3，延长交的延长线于，延长交的延长线于，作于，

把绕点顺时针旋转120°，得到，

，

，

，

，又，

，

在中，，

，

由勾股定理得，，

，

，

同理，，，

，

，

，

，

由勾股定理得，，

，

，，

，

，即，

，

在和中，

，

故答案为：.

【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、旋转变换的应用，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.