初中数学人教版 (五四制)八年级上册21.3 因式分解优秀课件ppt

21.3 因式分解（第一课时）

21.3.1 提公因式法

一、教学目标

（一）学习目标

1.了解因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法是互逆变形的关系.

2.了解公因式的概念，会找多项式各项的公因式.

3.掌握提公因式的方法分解因式.

（二）学习重点

 会用提公因式的方法分解因式.

（三）学习难点

  准确找出公因式以及确定提出公因式后的另一个因式.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）由x（x+2）=+2x①，可知+2x=  x（x+2） ②．

从左到右看，等式①是 整式的乘法 ，等式②是把这个多项式化成了几个整式的 积 的形式，这种式子的变形叫 因式分解 ，也叫把这个多项式 分解因式 .

由此可知，因式分解与整式的乘法是 互逆变形 的关系.

（2）公因式是指多项式中各项都含有的 公共的因式 .确定一个多项式的公因式的步骤是：①定系数，即确定各项系数绝对值的 最大公约数 ；②定字母，即确定多项式中各项的 相同字母 ；③定字母的指数，即确定各项相同字母的 最小 指数.

（3）用提公因式法分解因式的一般步骤是：①确定 公因式 ；②提公因式并确定另一个因式；③写成 整式的积 的形式.

2. 预习自测

（1）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ）

A．

B．

C．

D．

【知识点】因式分解的概念

【思路点拨】判断一个等式的恒等变形是否是因式分解关键是：①等号左边应是多项式；②等号右边应是积的形式．

【解题过程】A是整式的乘法；B是整式的和的形式；C等号左边是单项式，因式分解是针对多项式；D是因式分解.

【答案】D

（2）多项式 的公因式是            .

【知识点】公因式的概念．

【思路点拨】根据公因式的概念，应从各项系数绝对值的最大公约数、相同的字母、相同字母的最小指数三个方面找公因式.

【解题过程】解：10与5的最大公约数为5，相同的字母为mn，且mn的最小指数均为1，所以公因式确定为5mn.

【答案】5mn.

（3）因式分解： =                    .

【知识点】提公因式法分解因式．

【思路点拨】提公因式法分解因式的步骤是：①确定公因式；②提公因式并确定另一个因式；③写成整式的积的形式.

【解题过程】解：

【答案】

（4）因式分解： =                    .

【知识点】提公因式法分解因式．

【数学思想】整体思想

【思路点拨】解决此题的关键是将看成一个整体，是原多项式共有的因式，而系数绝对值的最大公约数为2，所以公因式为2，同时注意第二项提取公因式后，另一个因式为1，不能将1漏写，原多项式有几项，提公因式后仍为几项.

【解题过程】解：

【答案】

（二）课堂设计

1.知识回顾

上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的积化为一个多项式的形式.请计算下列各式：

（1）            ；（2）                .

学生回答：（1） ；（2）

2.问题探究

  探究一  了解因式分解的概念.

●活动①   逆向思维 初步感知因式分解

问题1：根据刚才的计算，反过来，你能把下列多项式写成整式的积的形式吗？

（1） =            ；（2）=               .

问题2：类似地，你能根据整式的乘法猜出          的结果吗？

【设计意图】通过对旧知识的复习，体会根据整式的乘法，可逆向思维将一个多项式写成几个整式的积的形式，为学习因式分解的概念、因式分解与整式的乘法的互逆关系、以及验证因式分解是否正确等知识作铺垫.

●活动②   归纳总结因式分解的概念.

 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

问题3：你认为因式分解与整式的乘法有什么关系？

学生观察思考后回答：因式分解与整式乘法是互逆变形的关系.

问题4：下列变形中，属于因式分解的有                        .

（1）；（2） ；（3）

学生独立思考后再集体订正；答案：（3）

【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在观察、思考过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性——将和差形式化为乘积的形式，同时发现因式分解与整式乘法是互逆变形的关系，继续为探索因式分解的具体方法做铺垫.

探究二  探索因式分解的方法——提公因式  ★ ▲

●活动①  认识公因式

 问题5 你能试着将多项式 分解因式吗？

（1）    这个多项式有什么特点？

（2）    你能将它分解因式吗？

（3）    分解因式的依据是什么？

教师提出问题，学生独立思考后回答.在学生回答（1）时，教师提出：p是此多项式各项公共的因式，我们将它称为公因式.实际因式分解的依据是逆用乘法分配律.像这样将多项式的公因式提出来，写成公因式与另一个因式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法.

【设计意图】让学生进一步了解因式分解与整式乘法的互逆变形的关系，了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式，知道此法的理论依据是逆用乘法分配律.

●活动②   集思广益，找公因式

  指出下列多项式的公因式：

（1） ；            （2） ；

（3） ；    （4） ；

师生共同分析（1），教师引导学生明白找与的公因式的基本步骤是：先看系数8与6的最大公约数，再找出两项字母部分与 都含有mn，然后找出相同字母m、n的最低次数，进而选定公因式为.

学生尝试解决（2）（3）（4）后小组讨论怎样确定多项式的公因式，教师巡视.特别注意第（4）题的讲解.

总结：确定公因式的方法是①定系数，即确定各项系数绝对值的最大公约数 ；②定字母，即确定多项式中各项的相同字母 ，注意公因式中也可含多项式；③定字母的指数，即确定各项相同字母的最小指数.

【设计意图】通过此环节让学生归纳总结确定公因式的方法，突破本节课难点，为熟练掌握提公因式分解因式奠定基础.

探究三   应用提公因式法分解因式.  ★ ▲

●活动① 基础应用

例1   把 分解因式.

教师按以下步骤讲解：（1）如何确定公因式？（2）提出公因式后另一个因式如何确定？（3）提出公因式后，另一个因式是否还有公因式？（4）若提出公因式或，那么另一个因式是否还有公因式？由此可见分解因式需注意什么？（5）如何检查因式分解是否正确.同时板书解题过程.

题后反思提公因式法分解因式的一般步骤是：①确定公因式；②提公因式并确定另一个因式；③写成整式的积的形式.

【知识点】提公因式法分解因式

【解题过程】解：.

【思路点拨】（1）先确定公因式为 ；（2）提出公因式后另一个因式 不再含有公因式，（3）再将它写成公因式与另一个因式的积的形式．

【答案】

练习：把下列各式分解因式：

（1） ；（2） ；（3）

【知识点】提公因式法分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）；

（3）

【思路点拨】 按照提公因式法的一般步骤求解，注意第（3）中，不能漏掉1，可按照整式的乘法把因式再乘回去，看结果是否与原式相等．

【答案】（1） ；（2） ；（3）

●活动② 公因式中含有多项式的因式分解

   例2  把 分解因式.

【知识点】提公因式法分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：

【思路点拨】 是这两个式子的公因式，将它看成一个整体，可直接提出.

【答案】

练习：把下列各式分解因式：

（1） ；（2） ；（3）

【知识点】提公因式法分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：（1）；

（2）；

（3）

【思路点拨】（1）解此类题的关键是运用整体思想，将题中共有的多项式看成一个整体直接提出，（2）注意 与 互为相反数，所以提“−”号即可变成相同的式子；（3）中注意提出公因式后的另一个因式为 ，还需去括号，合并同类项.

【答案】 （1）；（2）；（3）.

●活动③ 运用提公因式法分解因式求代数式的值

例3 已知 ， ，求 的值.

【知识点】提公因式法分解因式

【解题过程】解：，∵，，∴原式

【思路点拨】先将多项式分解因式，再代值计算.

【答案】 240.

练习：不解方程组 求代数式 的值.

【知识点】提公因式法分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：，当 ， 时，原式.

【思路点拨】不解方程组求代数式的值，则需将代数式化成含有，的整式的积的形式，只需将多项式分解因式，再计算即可.

【答案】 −5

3. 课堂总结

知识梳理

（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．

（2）多项式中各项都有的公共因式叫这个多项式的公因式.

（3）将多项式中的公因式提出来，写成公因式与另一个因式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法.

重难点归纳

（1）判断一个式子的变形过程是否为因式分解的关键是：是否将多项式化成整式的积的形式.

（2）确定一个多项式的公因式的步骤是：①定系数，即确定各项系数绝对值的最大公约数；②定字母，即确定多项式中各项的相同字母；③定字母的指数，即确定各项相同字母的最小指数.注意体会整体思想，公因式中可含多项式.

（3）提公因式法分解因式的一般步骤为：①确定公因式；②提公因式并确定另一个因式；③写成整式的积的形式.

（4）提公因式法分解因式的理论依据是乘法分配律，提公因式后另一个因式不再有公因式，并且提公因式不改变原多项式的项数，可以利用整式的乘法验证因式分解是否正确．

（三）课后作业

基础型 自主突破

1.下列各式变形中，是因式分解的是（    ）

A．        B．

C．                D．

【知识点】因式分解的概念

【思路点拨】判断一个等式的恒等变形是否是因式分解关键是：①等号左边应是多项式；②等号右边应是整式的积的形式．

【解题过程】A是整式的和；B中 不是整式；C是整式的乘法；D是因式分解.

【答案】D

2.将多项式－6x3y2 ＋3x2y2－12x2y3分解因式时，应提取的公因式是（    ）

A．－3xy B．－3x2y      C．－3x2y2 D．－3x3y3

【知识点】公因式的概念

【思路点拨】确定一个多项式的公因式的步骤是：①定系数，即确定各项系数绝对值的最大公约数 ；②定字母，即确定多项式中各项的相同字母；③定字母的指数，即确定各项相同字母的最小指数.

【解题过程】首项有“−”号，所以应提“−”号，各系数绝对值的最大公约数为3，相同字母x、y的指数最小分别为2、2，所以公因式为－3x2y2              ，故选C

【答案】C

3. 下列分解因式正确的是 （   ）

A.          B.

C.      D.

【知识点】提公因式法

【思路点拨】提公因式法分解因式的关键是确定公因式以及另一个因式，做题时需按步骤依次进行.

【解题过程】A漏项；B中第二项不含c，公因式确定错误；D中提“−”后，第二项未变号，C正确.

【答案】C

4.如果多项式x2＋mx＋n可因式分解为，则m、n的值为（    ）

A．m＝1，n＝2                 B．m＝－1，n＝2

C．m＝1，n＝－2               D．m＝－1，n＝－2

【知识点】因式分解与整式乘法的关系

【思路点拨】根据因式分解与整式乘法的互逆变形的关系，可将计算出结果，与x2＋mx＋n的字母及系数一一对应，问题得以解决.

【解题过程】解：∵，∴m＝－1，n＝－2. 故选D

【答案】D

5. 把下列各式进行因式分解：

  （1）=                ； （2）=                 ；

（3）=_________        ；

【知识点】提公因式法

【思路点拨】先确定公因式，再提公因式并确定另一个因式，并写成整式的积的形式.

【解题过程】（1）；（2）；

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）.

6. 已知，则的值为_____________.

【知识点】提公因式法

【思路点拨】先将多项式分解因式，再计算.

【解题过程】解：，∵，∴原式

【答案】24.

能力型 师生共研

7.将下列各式因式分解：

（1）；   （2）；   （3） ；

【知识点】提公因式法

【思路点拨】先确定公因式，再提公因式并确定另一个因式，并写成整式的积的形式.

【解题过程】（1）；

（2）；

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）.

8. 将下列各式因式分解：

（1）；   （2）；   

（3） ；

【知识点】提公因式法

【数学思想】整体思想

【思路点拨】此类题的关键是公因式中含多项式，利用整体思想先确定公因式，再提公因式并确定另一个因式，并写成整式的积的形式.其中（1）需注意提公因式要彻底.（2）与（3）都需变号将其中一个因式变为相同因式再找公因式.

【解题过程】

（1）

.

（2）；

（3）

；

【答案】（1）；（2）；（3）

探究型 多维突破

9.如果多项式可分解为，求、 的值.

【知识点】因式分解与整式乘法的关系

【思路点拨】因为多项式 可分解为，则，此多项式与的字母和各项的系数一一对应，即可列出关于的方程组，继而求解.

【解题过程】解：∵=.∴ 解得

【答案】 ，b=4.

10.利用因式分解求证： 是30的倍数.

【知识点】因式分解的运用

【思路点拨】要证明 是30的倍数，则需将 化成30与某个数相乘的形式，从而想到因式分解，在中不能直接提公因式，需将化成底数为5的式子，问题即可解决.

【解题过程】解：∵ ，∴ 是30的倍数.

【答案】见解析

自助餐

1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ）

A.                       B.

 C.      D.  

【知识点】因式分解的概念

【思路点拨】判断一个等式的恒等变形是否是因式分解关键是：①等号左边应是多项式；②等号右边应是积的形式．.

【解题过程】A是整式的乘法；B是整式的和的形式；C漏项了；D正确.

【答案】D

2.多项式的公因式是（   ）

A.         B.        C.         D.

【知识点】公因式的概念

【思路点拨】确定一个多项式的公因式的步骤是：①定系数，即确定各项系数绝对值的最大公约数 ；②定字母，即确定多项式中各项的相同字母；③定字母的指数，即确定各项相同字母的最小指数.

【解题过程】各系数的最大公约数为3，相同字母x、y的指数最小分别为2、2，所以公因式为3x2y2              ，故选C

【答案】C

3. 已知 ，，则的值为          .

【知识点】提公因式法分解因式

【解题过程】解：，∵，，∴原式

【思路点拨】先将多项式分解因式，再计算，注意首项有“−”号，一般要先提“−”号.

【答案】 −12.

4.已知代数式有一个因式是，则另一个因式是          .

【知识点】因式分解的概念

【思路点拨】已知代数式有一个因式是，求另一个因式，则说明该多项式可化成两个因式的积的形式，故可将原多项式进行因式分解即可．

【解题过程】∵，∴另一个因式为.

【答案】．

5.分解因式：

（1）   （2）   （3）

（4）   （5）

【知识点】提公因式法

【数学思想】整体思想

【思路点拨】先确定公因式，再提公因式并确定另一个因式，并写成整式的积的形式，注意理解整体思想.

【解题过程】（1）；

（2） ；

（3）；

（4）；

（5）

.

【答案】（1）；（2）；（3）.

（4）；（5）.

6.先阅读下面的材料，再分解因式：

要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出；把它的后两项分成一组，并提出，从而得到.这时，由于又有公因式，于是可提公因式，从而得到.因此有

.这时因式分解的方法叫做分组分解法.如果把一个多项式的项分组并提出公因式后， 它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以分组分解法来因式分解了.

请用上面的材料中提供的方法分解因式：

（1） ；    （2）；    （3） 

【知识点】分解因式

【思路点拨】（1）前两项分成一组可提a得，后两项分成一组可提b，得，再提即可解决问题 ；

（2）观察各项的特点，可将一、三项分成一组提b，得，二、四项分成一组提−2，得，再提即可解决问题；

（3）观察各项的特点，可将一、三项分成一组提x，得，二、四项分成一组提2，得，此时发现与 互为相反数，则可以再提“−”号后就变成相同的即可解决问题．

【解题过程】解：（1）；

（2）；

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）.