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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优秀第一课时综合训练题
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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
3.1.1 椭圆
思维导图
常见考法
考点一 椭圆的定义
【例1】(1)(2020·上海徐汇.高二期末)已知､是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是( )
直线B．线段C．圆D．椭圆
(2)(2019·宁波市第四中学高二期中)设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．4B．5C．8D．10
【答案】(1)B(2)D
【解析】(1)对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．故选：B．
(2)因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知，
故选D．
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
【举一反三】
1．(2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考)若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为( )
A．５B．３C．２D．１
【答案】D
【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1
2．(2020·东城.北京五十五中高二月考)若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( )
A．4B．194C．94D．14
【答案】D
【解析】依题意，且.故选：D
3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
【答案】 ②
【解析】 ①eq \r(2)<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
考点二 椭圆定义的运用
【例2-1】(1)(2019·福建高二期末)如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
B．C．D．
(2)(2019·江苏省苏州实验中学高二期中)方程表示椭圆，则实数的取值范围( )
A．B．C．D．且
【答案】(1)A(2)D
【解析】(1)转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.
(2)方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，.
综上：实数的取值范围是且故选：D
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示
焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
椭圆，必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围
【举一反三】
1．(2020·广东高三月考(文))“”是“方程表示椭圆”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.
2．(2017·浙江东阳.高二期中)如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】椭圆的焦点在轴上，，解得或，故选D.
3．(2019·北京北师大实验中学高二期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为方程表示椭圆，故：，且；
又该椭圆的焦点在轴上，故只需，解得.故选：D.
【例2-2】(1)(2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中(文))已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是( )
A．B．C．D．
(2)(2019·广西田阳高中))已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为( )
A．B．C．D．
【答案】(1)C
【解析】(1)的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：的周长是．故选：C．
(2)由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，
所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs60°＝|F1F2|2＝(2c)2＝64，
整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③
所以③﹣②得t1t2＝12，
∴∠F1PF2＝3．故选A．
【举一反三】
1．(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考(文))已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( )
A．20B．16C．18D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
2．(2018·湖南高二期中(理))已知E、F分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点，倾斜角为60∘的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则△FAB的周长为( )
A．10B．12C．16D．20
【答案】D
【解析】椭圆x225+y29=1，可得a=5，
三角形AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|，|AB|=|AF1|+|BF1|，
所以：周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|，
由椭圆的第一定义，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，所以，周长=4a=20．故选：D．
3．已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．
【答案】
【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs60°
12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，
∴.
考点三 椭圆的标准方程
【例3】(2020·四川内江,高二期末)分别求适合下列条件的方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
(2)与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程
(3)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程
【答案】(1)；(2)或(3)
【解析】(1)由已知条件可得，可得，，
因此，所求椭圆的标准方程为；
(2)易知椭圆的离心率．
当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．
又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．
又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
(2)因设椭圆的标准方程为，因为点在椭圆上，
所以，所以椭圆的标准方程为．此椭圆的标准方程是或.
根据焦点位置分类讨论，再根据离心率以及点在椭圆上列方程组解得，，即得结果.
【举一反三】
1．(2019·全国高二课时练习)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
(3)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和
【答案】(1) (2)或(3)
【解析】(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，
，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为或.
(2)设椭圆的方程为．
将A，B两点坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的方程为．
考点四 离心率
【例4】(1)(2020·武威第八中学高二期末(理))已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 。
(2)(2019·江西南昌十中高二期中(文))过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为
【答案】(1)(2)
【解析】(1)根据题意，可知，因为，所以，即，
所以椭圆的离心率为.
(2)根据题意，如图所示，
可得为正三角形，可得在中，有，
点在椭圆上，由椭圆的定义可得，
则该椭圆的离心率
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，求出eq \f(b,a)后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
【举一反三】
1．(2020·江苏淮安.高二期中)已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可知，椭圆的焦点在轴上，
则，所以，
由于点在椭圆的右准线上，且到轴的距离为，
则，所以，
由题得，，则，
即，则有，即，
而，所以，
整理得：，则，即，
解得：，
即椭圆的离心率为.
故选：C.
2．(2019·历下.山东师范大学附中)椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的短轴长为，长轴长为，焦距为，
则，即；或，
若，①
∵，
∴，②
由①②得：，，
∴椭圆的离心率；
若，③
∵，
∴，④
由③④得：，，不符合题意，舍去，
故椭圆的离心率为.
故选：C.
3．(2019·内蒙古通辽实验中学高二月考)椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，消去得，，
设，中点为，
则
，
即离心率，故选B.
4．(2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习)设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，
∠=，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m， 故离心率e＝选D.
第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
3.1.1 椭圆
思维导图
常见考法
考点一 椭圆的定义
【例1】(1)(2020·上海徐汇.高二期末)已知､是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是( )
直线B．线段C．圆D．椭圆
(2)(2019·宁波市第四中学高二期中)设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．4B．5C．8D．10
【答案】(1)B(2)D
【解析】(1)对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．故选：B．
(2)因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知，
故选D．
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
【举一反三】
1．(2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考)若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为( )
A．５B．３C．２D．１
【答案】D
【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1
2．(2020·东城.北京五十五中高二月考)若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( )
A．4B．194C．94D．14
【答案】D
【解析】依题意，且.故选：D
3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．
【答案】 ②
【解析】 ①eq \r(2)<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．
考点二 椭圆定义的运用
【例2-1】(1)(2019·福建高二期末)如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
B．C．D．
(2)(2019·江苏省苏州实验中学高二期中)方程表示椭圆，则实数的取值范围( )
A．B．C．D．且
【答案】(1)A(2)D
【解析】(1)转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.
(2)方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，.
综上：实数的取值范围是且故选：D
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示
焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
椭圆，必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围
【举一反三】
1．(2020·广东高三月考(文))“”是“方程表示椭圆”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.
2．(2017·浙江东阳.高二期中)如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】椭圆的焦点在轴上，，解得或，故选D.
3．(2019·北京北师大实验中学高二期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为方程表示椭圆，故：，且；
又该椭圆的焦点在轴上，故只需，解得.故选：D.
【例2-2】(1)(2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中(文))已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是( )
A．B．C．D．
(2)(2019·广西田阳高中))已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为( )
A．B．C．D．
【答案】(1)C
【解析】(1)的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：的周长是．故选：C．
(2)由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，
所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs60°＝|F1F2|2＝(2c)2＝64，
整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③
所以③﹣②得t1t2＝12，
∴∠F1PF2＝3．故选A．
【举一反三】
1．(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考(文))已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( )
A．20B．16C．18D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
2．(2018·湖南高二期中(理))已知E、F分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点，倾斜角为60∘的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则△FAB的周长为( )
A．10B．12C．16D．20
【答案】D
【解析】椭圆x225+y29=1，可得a=5，
三角形AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|，|AB|=|AF1|+|BF1|，
所以：周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|，
由椭圆的第一定义，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，所以，周长=4a=20．故选：D．
3．已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．
【答案】
【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs60°
12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，
∴.
考点三 椭圆的标准方程
【例3】(2020·四川内江,高二期末)分别求适合下列条件的方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
(2)与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程
(3)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程
【答案】(1)；(2)或(3)
【解析】(1)由已知条件可得，可得，，
因此，所求椭圆的标准方程为；
(2)易知椭圆的离心率．
当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．
又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．
又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
(2)因设椭圆的标准方程为，因为点在椭圆上，
所以，所以椭圆的标准方程为．此椭圆的标准方程是或.
根据焦点位置分类讨论，再根据离心率以及点在椭圆上列方程组解得，，即得结果.
【举一反三】
1．(2019·全国高二课时练习)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
(3)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和
【答案】(1) (2)或(3)
【解析】(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，
，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为或.
(2)设椭圆的方程为．
将A，B两点坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的方程为．
考点四 离心率
【例4】(1)(2020·武威第八中学高二期末(理))已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 。
(2)(2019·江西南昌十中高二期中(文))过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为
【答案】(1)(2)
【解析】(1)根据题意，可知，因为，所以，即，
所以椭圆的离心率为.
(2)根据题意，如图所示，
可得为正三角形，可得在中，有，
点在椭圆上，由椭圆的定义可得，
则该椭圆的离心率
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，求出eq \f(b,a)后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
【举一反三】
1．(2020·江苏淮安.高二期中)已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可知，椭圆的焦点在轴上，
则，所以，
由于点在椭圆的右准线上，且到轴的距离为，
则，所以，
由题得，，则，
即，则有，即，
而，所以，
整理得：，则，即，
解得：，
即椭圆的离心率为.
故选：C.
2．(2019·历下.山东师范大学附中)椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的短轴长为，长轴长为，焦距为，
则，即；或，
若，①
∵，
∴，②
由①②得：，，
∴椭圆的离心率；
若，③
∵，
∴，④
由③④得：，，不符合题意，舍去，
故椭圆的离心率为.
故选：C.
3．(2019·内蒙古通辽实验中学高二月考)椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，消去得，，
设，中点为，
则
，
即离心率，故选B.
4．(2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习)设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，
∠=，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m， 故离心率e＝选D.
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