专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理-2023年中考数学二轮专题提升训练，共38页。试卷主要包含了点在直线上运动，点在圆上运动等内容，欢迎下载使用。

专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理
典例剖析+针对训练
类型一 点在直线上运动
（2022•利州区模拟）
1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）

A．0.5 B．2.5 C． D．1
（2021秋•鼓楼区期末）
2．如图，在中，，，，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为______．

（2021秋•忠县期末）
3．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边所在直线上的一动点，连接，将绕点D顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 __．

（2021秋•东台市期中）
4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 _____．

类型二 点在圆上运动
（2022•桐梓县模拟）
5．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点，动点B在上，连结AB，作等边B，C为顺时针顺序，求OC的最大值．
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．

请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
线段OC的最大值为_____．
【灵活运用】
如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段AB外一动点，且，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
如图③，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边，请直接写出AC的最大值，最小值．
针对训练
（2022秋•天宁区校级期中）
6．已知的半径长7 cm，P为线段的中点，若点P在上，则的长是___ cm．
（2021秋•嘉兴期末）
7．如图，⊙O的直径，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为______．

（2021秋•秦淮区校级期中）
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为_____．

（2018•江汉区模拟）
9．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为________．

（2021秋•岳麓区校级月考）
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围．
第二部分专题提优训练
（2022•安徽一模）
11．如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
（2021•泰安）
12．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（   ）

A． B． C． D．3
（2022秋•惠山区校级月考）
13．如图，A（，1），B（，4），C（，4），点P是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点P在边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．6
（2021秋•沭阳县校级期末）
14．如图，线段，点C为平面上一动点，且，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为______．

（2022•邗江区校级一模）
15．如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，轴于点M，交直线于点N，点P是线段ON上的一个动点，，，点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

（2020春•江阴市期中）
16．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是_________．

（2019秋•鼓楼区期中）
17．如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点．若B在⊙O上运动一周：
（1）证明点P运动的路径是一个圆．
（思路引导：要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M、r．）
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．

18．若，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接．

(1)如图1，取点B，使为等腰直角三角形，，将点P绕点A顺时针旋转得到．
①点的轨迹是　　（填“线段”或者“圆”）；
②的最小值是　　；
(2)如图2，以为边作等边（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求的最大值．
(3)如图3，将点A绕点P逆时针旋转，得到点M，连接，则的最小值为　　．
19．已知：如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E，连接．

(1)求证：与相切；
(2)连接，若，，求的长；
(3)若，，点F是任意一点，点M是弦的中点，当点F在上运动一周，则点M运动的路径长为   ．
（2021•遵义）
20．点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．

（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整．
解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝BO＝6
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB＝BC
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°
∴∠OBA＝∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，

∴　 　（SAS）
∴OA＝O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　．
（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；
（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．




参考答案：
1．B
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，

从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

则.
故选B．
【点睛】本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．
2．##
【分析】如图，作 连接 再证明 可得 证明 可得 则在直线上运动，如图，当时，最短，过作于  求解 作 则在直线上，过作于 求解 证明 可得是的垂直平分线，延长交于求解 再利用 从而可得答案.
【详解】解：如图，作 连接








在直线上运动，
如图，当时，最短，

过作于
而，
即

作 则在直线上，

过作于

同理可得：

而 则

是的垂直平分线，延长交于
  而，
同理可得：




所以的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角的正切的应用，勾股定理的应用，证明“ 得到在直线上运动”是解本题的关键.
3．
【分析】由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可得：当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点H作于N，

∵，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵将绕点D顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
在和中，  
，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可得：当时，有最小值，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．
【分析】连接，证明，可得点的运动路程是，在中，设，则，勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，

四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
又，，
，
，，
点在射线上运动，且，
当点在线段上从点至点运动时，
点的运动路程是，
在中，设，则，
，
解得负值舍去，
，
即点的运动路程为，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，得出点的运动路程是是解题的关键．
5．（1），见解析；（2）3；（3）最大值为，；（4）的最大值为；最小值为
【分析】结论：只要证明≌即可；
利用三角形的三边关系即可解决问题；
连接BM，将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为；过P作轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；
如图4中，点A在BD左侧，以BC为边作等边三角形，由≌，推出，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由，推出点D在以BC为直径的上运动，由图象可知，当点D在BC上方，时，DM的值最大，同理，当点A在BD右侧，可求得AC的最小值．
【详解】解：如图①中，结论：，
理由：都是等边三角形，
，
，
≌，
．

在△AOE中，，
当E、O、A共线，
的最大值为3，
的最大值为3．
故答案为：3．
如图1，连接BM，

将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，则是等腰直角三角形，
，
的坐标为，点B的坐标为，
，
，
线段AM长的最大值线段BN长的最大值，
当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值如图2，
最大值，
，
最大值为；
如图2，过P作轴于E，

是等腰直角三角形，
，
，

如图4中，以BC为边作等边三角形，

，
，
，
≌，
，
欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
，
点D在以BC为直径的上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，时，DM的值最大，最大值，
的最大值为．
当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为．
【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
6．14
【分析】根据点和圆的位置关系求出，再根据中点定义解答即可．
【详解】因为点P在上，且半径是，
所以．
因为点P是的中点，
所以．
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握d和r之间的数量关系是判断点和圆的位置关系的关键．即时，点在圆上，时，点在圆外，时，点在圆内．（d是点和圆心的距离，r是圆的半径）
7．+1
【分析】作EO⊥AB交⊙O于点E，重足为O，连接BE、ED、OC、BD，由勾股定理推出，，得到，证得∠OBC= ∠EBD，推出△OBC∽△EBD，得到，求出，D点轨迹在以E点为圆心，长为半径的圆上，当O、E、D三点共线时，OD最大，由 OD=DE+OE求出答案．
【详解】解：作EO⊥AB交⊙O于点E，重足为O，连接BE、ED、OC、BD，
在⊙O中，OB=OE，，
∴，
∴，
在△BCD中，BC=CD，，
∴，
∴，
∵∠OBE= ∠CBD= 45° ，
∴∠OBE+∠EBC = ∠EBC +∠CBD，即∠OBC= ∠EBD，
∴△OBC∽△EBD，
∴，
∵，
∴，
则D点轨迹在以E点为圆心，长为半径的圆上，当O、E、D三点共线时，OD最大，此时OD=DE+OE=+1，
故答案为+1．
．
【点睛】此题考查了勾股定理，圆的半径相等的性质，相似三角形的判定及性质，动点问题，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
8．5π
【分析】由AB是直径，得∠APB＝90°，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，由三角形中位线知ME⊥MF，即∠EMF＝90°，则点M在以EF为直径的半圆上，即可得出答案．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝＝20，
连接AP，BP，

∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
即AP⊥BP，
取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，
在△BPC中，
∵M，E为PC、BC的中点，
∴ME∥BP，ME＝，
在△APC中，
∵点M、F为PC、AC的中点，
∴MF∥AP，MF＝，
∴ME⊥MF，
即∠EMF＝90°，
∴点M在以EF为直径的半圆上，
∴EF＝AB＝10，
∴点M的运动路径长为＝5π，
故答案为：5π．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理以及弧长公式的应用，利用定角对定弦确定点M的运动路径是解题的关键．
9．##
【详解】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，连接OP，则 CO＝2CE，
∵AB=4，BC=2，∠COE=90°-60°=30°，
∴OC=4，
∴CE=2，OE＝2 ，
∵∠DCP=60°=∠ECO，
∴∠OCP＝∠ECD，

∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，
∴ ，
∴△COP∽△CED，
∴， 即 ED＝ OP＝1（ 定长 ），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1 的⊙E上，
∵OD≤OE＋DE，
∴OD≤，
∴OD 的最大值为，
故答案为： .
10．（1）y=x2-6x+5；（2）（2，-3）或（4，-3）；（3）
【分析】（1）由直线y=-5x+5求点A、C坐标，再用待定系数法求抛物线解析式；
（2）令y=0可得点B的坐标，可计算AB的长和,设M（x，x2-6x+5），用含x的代数式表示出，根据的面积等于面积的列出方程，求出x的值即可；
（3）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△QAD（SAS），确定点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动，如图3和图4确定DF的最大值和最小值，从而得结论．
【详解】解：（1）直线AC：y=-5x+5，
x=0时，y=5，
∴C（0，5），
y=-5x+5=0时，解得：x=1，
∴A（1，0），
∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x2-6x+5；
（2）当y=x2-6x+5=0时，
解得：x1=1，x2=5，
∴B（5，0），
∵A（1，0），C（0，5），
∴AB=4，OC=5
∴
设M(x，x2-6x+5)
∴
∵的面积等于面积的
∴
解得，
∴y=x2-6x+5=-3
∴M点的坐标为（2，-3）或（4，-3）；
（3）如图2，连接BP，过点A作AQ⊥AB，并截取AQ=AB=4，连接DQ，

∵∠PAD=∠BAQ=90°，
∴∠BAP=∠QAD，
∵AB=AQ，AP=AD，
∴△BAP≌△QAD（SAS），
∴PB=DQ=2，
∴点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动，
∴当Q在线段DF上时，DF最长，如图3所示，

Rt△AQF中，AQ=4，AF=4+2=6，
∴，
∴此时DF的最大值是2+2；
当D在线段QF上时，DF的长最小，同理可得DF的最小值是2-2；

∴FD的取值范围是：．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，圆有关的性质，三角形全等的性质和判定，最值问题等知识，确定动点的运动轨迹是本题的难点，利用三角形全等确定DQ=2是第三问的关键．
11．D
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM=MP+CP=HE+EC=2+1.5=3.5，

故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，线段极值问题，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹是本题的关键．
12．A
【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题．
【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段，
的轨迹也是一条线段．
两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q，
来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形：

求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题，
,
在中，,
,，
将逆时针绕点转动后得到，
为等边三角形，,
为的中点，根据三线合一知，
,
过点作的垂线交于点,
在中，对应的边等于斜边的一半，
，
的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口．
13．B
【分析】如图，由题意，点P在的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是．利用相似三角形的性质求出，，，利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意，点P在的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是．

A（，1），B（，4），C（，4），
，，，
，，
，
，
，
同法可得，，，
，
点Q的轨迹形成的封闭图形面积．
故选：B．
【点睛】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
14．
【分析】先证明△PAM≌△QAE(SAS)，再根据勾股定理得出BE的长，最后得出结论．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD=AB=1，
取AD的中点M，连接PM，P为AC的中点，∴PM为△ACD的中位线，
∴PM=CD=，PM∥CD，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE=AM，连接PE，BE，

∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴∠QAC=90°，QA=AP，,
∵∠EAD=90°，
∴∠QAE=∠CAD，
∴△PAM≌△QAE(SAS)，
∴QE=PM=，
∵AB=2，AE=AD=，
∴BE=，
∴BQ≤BE+QE=+=，
∴BQ的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
15．
【分析】根据直角坐标系的性质，得，根据一次函数的性质，得；根据勾股定理的性质计算得，根据相似三角形和三角函数的性质，得；根据相似三角形的性质，推导得，即可得点B在线段CD上，从而完成求解．
【详解】如图，根据题意，当点P和点O重合时，点B运动到点C；当点P和点N重合时，点B运动到点D

∵点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，轴于点M，
∴，点N横坐标为2
∵交直线于点N
∴，即
∴
∴
∴
∵，
∴
根据题意，得：，，
∴，
∴
∴
∴
∵
如图，点P在点O和点N之间

∴
∵,
∴
根据题意，得：，，
∴，
∴
∴
∴
∴点B在线段CD上
∴当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径为：
∴点B运动的路径长是
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角坐标系、一次函数、勾股定理、三角函数、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、相似三角形的性质，从而完成求解．
16．4π
【分析】以点A为旋转中心，将AO逆时针旋转60°，得到线段， 则点B的运动轨迹为以点O’为圆心，2个单位长度为半径的圆，求出圆的周长即可.
【详解】如图， 以点A为旋转中心，将AO逆时针旋转60°，得到线段，
，
∵△APB为等边三角形，
∴AP=AB，
∵点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，
∴点B的运动轨迹为以点为圆心，2个单位长度为半径的圆，
∴点B运动的路径长是.
【点睛】本题考查等边三角形的性质、点的轨迹，解题的关键是得出点B的轨迹为以点为圆心，2个单位长度为半径的圆.
17．（1）见解析  （2）≤PC≤
【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，HP=OB=1，即可得出结论；
（2）连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，由等边三角形的性质得出PC⊥AB，PA=PB=AB=BC，得出PC= AB，分别求出PC的最小值和最大值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：

则HP是△ABO的中位线，HP=OB=1，
∵点O与点A是定点，
∴OA的中点H也是定点，
∴B在⊙O上运动，
则点P随之运动，但HP=OB=1不变，

∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，
∴PC⊥AB，PA=PB=AB=BC，
∴PC=AB，
当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，
∵AM=OA-OM=5-2=3，
∴AP'=AM=，
∴PC=；
当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，
∵AN=OA+ON=5+2=7，
∴AP''=，
∴PC= ；
∴PC长的取值范围是≤PC≤．
【点睛】此题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质以及最值，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．
18．(1)①圆；②
(2)6
(3)

【分析】（1）①连接、，证明，得出，即点到点B的距离等于定长，即可得出答案；
②由等腰直角三角形的性质得出，当在线段上时，得出最小；
（2）以为边长作等边，连接，证明，得出，当C、D、Q三点共线时，有最大值；
（3）M点的轨迹是一个圆，求出和圆的半径，即可解决问题．
【详解】（1）解：①连接、，如图1所示：
是等腰直角三角形，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
在和中，
，
，
，即点到点B的距离等于定长，
点的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，
故答案为：圆；
②是等腰直角三角形，，
，
当点在线段上时，最小,
故答案为： ；

（2）解：以为边长作等边，连接、，如图2所示：
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
当C、D、Q三点共线时，有最大值；

（3）解：如图3所示：M点的轨迹是以为直径的一个圆，
则，，
则是梯形的中位线，
，
连接，
则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了轨迹、圆的定义、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最值问题；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）只要证明，得，即可证明；
（2）设，则，由，得，列出方程求出a，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）如图2中，连接，取的中点，连接，当点F在上运动一周，则点M运动的路径是以为圆心2为半径的圆，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，连接，

∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图1中，设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，；
（3）如图2中，连接，取的中点，连接，

∵，
∴，
∵，，
∴定长，
∴当点F在上运动一周，则点M运动的路径是以为圆心为半径的圆，
∴点M运动的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆综合题、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（1），；（2）；（3）OC的最小值为或，△ABC的周长为
【分析】（1）根据全等三角形的性质，，从而求得OC的最大值；
（2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证，从而求得OC的最小值；
（3）分别以为顶角进行讨论，按照上述方法求证，从而求得OC的最小值，过点作于点，根据勾股定理求得长度，从而求得△ABC的周长．
【详解】解：（1）根据上下文题意可得：
∴
∴

（2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′
由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，为等腰直角三角形
∴
又∵四边形为正方形
∴
∴
在△OBA和△O′BC中，

∴（SAS）
∴
在△OO′C中，
当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时，
即

（3）以为顶点，构建等腰三角形，将线段OB绕点B顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，CO′，过点作于点，如下图：

由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，为等腰三角形
在中，，，∴
∴，
∴
由（2）可得
∴
在△OO′C中，
当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时，
即
又∵，在线段上
∴
∴
∴
的周长为
以为顶点，构建等腰三角形，将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，如下图：

由旋转的性质得：，，为等腰三角形
∴
由（2）可得
∴
在中，
∴当点在线段上时，最小
∴点与点重合，
的周长为

【点睛】此题主要考查了旋转、圆、三角形、正方形等有关性质，充分理解题意并熟练掌握有关性质是解题的关键．