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2023年陕西省咸阳市武功县普集街初级中学中考数学二轮专题复习：主从联动-瓜豆原理 课件
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这是一份2023年陕西省咸阳市武功县普集街初级中学中考数学二轮专题复习：主从联动-瓜豆原理 课件，共27页。PPT课件主要包含了整体介绍，什么是瓜豆原理呢，合作探究，典例精讲，课堂检测，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
初中数学有一类动态问题叫做主从联动，这类问题应该说是数学中的热门问题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似，我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型。
不积洼步 无以至千里。
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
知识：①公理：点到直线之间的距离垂线段最短②三角形的相关性质（两边之和大于第三边）③相似三角形的性质、判定的应用④点到圆上的最短距离（最远过圆心）
瓜豆原理所涉及初中知识
探究1、点在直线上运动（线段+直线）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是什么？
当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线。
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线。
探究2、点在直线上运动（角+直线）如图，△APQ是等腰直角三角形，且，当点P在直线BC上运动时，Q点轨迹是什么？
当AP与AQ夹角固定且为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定值（∠PAQ是 定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定值（是定值）。（P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）；P、Q两点轨迹长度之比等于）
探究3、点在圆上运动（线段+圆）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点。问题：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？
观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半。
确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放。
探究4、点在圆上运动（角+圆）1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？
Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆。接下来确定圆心与半径。考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径。即可确定圆M位置，任意时刻均有。
2、如图，△APQ是直角三角形，且，当P在圆O运动时，Q点轨迹是什么？
可得Q点轨迹圆圆心M满足；考虑，可得Q点轨迹圆圆心M满足。即可确定圆M位置，任意时刻均有，且相似比为2。
此类问题的必要条件： 1.主动点、从动点与定点连线的夹角是定值（是定值）； 2.主动点、从动点到定点的距离之比是定值（是定值）．
归纳：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比。 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转 + 伸缩。
模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ； ②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； ③ 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆。“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
例1．如图，△ABO为等腰直角三角形，A（﹣4，0），直角顶点B在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是_____．
【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y＝kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．
解：当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO＝4，∴BC＝BE＝AE＝EO＝GF＝1/2OA＝2，OF＝DG＝BG＝CG＝1/2BC＝1，DF＝DG+GF＝3，∴D坐标为（﹣1，3）；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD＝BE＝2，即D（0，2），设所求直线解析式为y＝kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：-k+b=3, b=2，解得：k=-1,b=2．则这条直线解析式为y＝﹣x+2，当D（﹣1，1）和D（﹣2，0）于是得到y＝x+2，综上所述：这条直线的函数表达式是y＝x+2或y＝﹣x+2．故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2．
本题考查了轨迹问题，待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键．
例2.已知：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，当点E到达点C时运动停止．联结DE，以DE为边作正方形DEFG．设运动的时间为x秒．
（1）如图①，当点E在边AB上时，联结CG，求证：AE＝CG；（2）如图②，当点E在边BC上时，设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）直接写出，在点E的运动过程中，对应的点F的运动路径的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG；（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．
【解答】（1）∵正方形ABCD，正方形DEFG，∴∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG．∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC．即：∠ADE＝CDG．在△ADE和△CDG中，AD=CD, ∠ADE＝CDG,DE=DG,∴△ADE≌△CDG．∴AE＝CG．（2）∵正方形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝CD＝2，∠BCD＝90°．∵动点E从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，且运动的时间为x秒．∴EC＝4﹣x，∴y＝S△CDE＝1/2ECCD＝1/2（4﹣x）×2＝4﹣x∴所求函数解析式为y＝4﹣x．自变量x的取值范围是2≤x≤4．
（3）如图，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵由勾股定理可求得BD＝2√2，∴BF+FG＝2BD＝4√2，∴点F运动的路径长为4√2．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
例3.如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值_________.
分析：点B为主动点，点C为从动点，根据瓜豆原理，BA绕点A逆时针旋转60°到CA，主动点B的轨迹是y轴的正半轴，则从动点C的运动轨迹为y轴正半轴绕点A逆时针旋转60°后的射线，我们可以用特殊位置来考虑．当OC⊥点C轨迹所在射线时，OC最短．当然，我们也可以构造手拉手模型，将OC边转化，详细过程请见方法2．
综述所示，我们可以归纳提炼上述解题思想方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。以上方法，我们在解题时，如果遇见同类问题时，可以考虑应用这些思想方法。
1.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
3.如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ．
４.如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 ．
同学们，分享你的收获！说说你的疑问？
初中数学有一类动态问题叫做主从联动，这类问题应该说是数学中的热门问题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似，我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型。
不积洼步 无以至千里。
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
知识：①公理：点到直线之间的距离垂线段最短②三角形的相关性质（两边之和大于第三边）③相似三角形的性质、判定的应用④点到圆上的最短距离（最远过圆心）
瓜豆原理所涉及初中知识
探究1、点在直线上运动（线段+直线）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是什么？
当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线。
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线。
探究2、点在直线上运动（角+直线）如图，△APQ是等腰直角三角形，且，当点P在直线BC上运动时，Q点轨迹是什么？
当AP与AQ夹角固定且为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定值（∠PAQ是 定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定值（是定值）。（P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）；P、Q两点轨迹长度之比等于）
探究3、点在圆上运动（线段+圆）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点。问题：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？
观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半。
确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放。
探究4、点在圆上运动（角+圆）1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？
Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆。接下来确定圆心与半径。考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径。即可确定圆M位置，任意时刻均有。
2、如图，△APQ是直角三角形，且，当P在圆O运动时，Q点轨迹是什么？
可得Q点轨迹圆圆心M满足；考虑，可得Q点轨迹圆圆心M满足。即可确定圆M位置，任意时刻均有，且相似比为2。
此类问题的必要条件： 1.主动点、从动点与定点连线的夹角是定值（是定值）； 2.主动点、从动点到定点的距离之比是定值（是定值）．
归纳：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比。 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转 + 伸缩。
模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ； ②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； ③ 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆。“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
例1．如图，△ABO为等腰直角三角形，A（﹣4，0），直角顶点B在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是_____．
【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y＝kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．
解：当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO＝4，∴BC＝BE＝AE＝EO＝GF＝1/2OA＝2，OF＝DG＝BG＝CG＝1/2BC＝1，DF＝DG+GF＝3，∴D坐标为（﹣1，3）；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD＝BE＝2，即D（0，2），设所求直线解析式为y＝kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：-k+b=3, b=2，解得：k=-1,b=2．则这条直线解析式为y＝﹣x+2，当D（﹣1，1）和D（﹣2，0）于是得到y＝x+2，综上所述：这条直线的函数表达式是y＝x+2或y＝﹣x+2．故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2．
本题考查了轨迹问题，待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键．
例2.已知：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，当点E到达点C时运动停止．联结DE，以DE为边作正方形DEFG．设运动的时间为x秒．
（1）如图①，当点E在边AB上时，联结CG，求证：AE＝CG；（2）如图②，当点E在边BC上时，设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）直接写出，在点E的运动过程中，对应的点F的运动路径的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG；（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．
【解答】（1）∵正方形ABCD，正方形DEFG，∴∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG．∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC．即：∠ADE＝CDG．在△ADE和△CDG中，AD=CD, ∠ADE＝CDG,DE=DG,∴△ADE≌△CDG．∴AE＝CG．（2）∵正方形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝CD＝2，∠BCD＝90°．∵动点E从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，且运动的时间为x秒．∴EC＝4﹣x，∴y＝S△CDE＝1/2ECCD＝1/2（4﹣x）×2＝4﹣x∴所求函数解析式为y＝4﹣x．自变量x的取值范围是2≤x≤4．
（3）如图，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵由勾股定理可求得BD＝2√2，∴BF+FG＝2BD＝4√2，∴点F运动的路径长为4√2．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
例3.如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值_________.
分析：点B为主动点，点C为从动点，根据瓜豆原理，BA绕点A逆时针旋转60°到CA，主动点B的轨迹是y轴的正半轴，则从动点C的运动轨迹为y轴正半轴绕点A逆时针旋转60°后的射线，我们可以用特殊位置来考虑．当OC⊥点C轨迹所在射线时，OC最短．当然，我们也可以构造手拉手模型，将OC边转化，详细过程请见方法2．
综述所示，我们可以归纳提炼上述解题思想方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。以上方法，我们在解题时，如果遇见同类问题时，可以考虑应用这些思想方法。
1.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
3.如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ．
４.如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 ．
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