沪科版第15章 轴对称图形和等腰三角形15.3 等腰三角形教学课件ppt

教学目标

1.掌握等腰三角形的判定定理，运用定理进行论证和证明；

2.掌握等边三角形的判定定理；

3.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.

教学重难点

重点： 等边三角形的判定.

难点：含30°角的直角三角形的性质的应用.

教学过程

知识回顾

1.等腰三角形有哪些性质？

2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（ 简写成“三线合一” ）

新课导入

在△ABC中，AB＝AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？

探究新知

探究1：等腰三角形的判定

如图，在△ABC中，如果∠B＝∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？

【教师活动】指导先猜测，再通过测量验证.

【学生活动】学生先测量，再小组交流测量结果，总结结论.

归纳总结

等腰三角形的判定定理：

定理：有两个角相等的三角形是等 腰三角形.(等角对等边)

【教师提问】那么满足两个底角相等的三角形是等腰三角形吗？我们该如何证明？分析已知，求证，指导学生写出证明过程.

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，写出证明过程.

已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.

求证：AB＝AC.

证明：过点A作AD⊥BC,D为垂足，

则∠ADB＝∠ADC＝90°（垂直的定义）.

在△ADB和△ADC中，

∴  △ADB ≌ △ADC （SAS）.

∴  AB＝ AC (全等三角形的对应边相等).

探究2：等边三角形的判定

【教师提问】一个三角形满足什么条件就是等边三角形?

【学生活动】先独立思考，再小组交流，用语言叙述等边三角形的判定.

总结：

由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：

1.三个角都相等的三角形是等边三角形；

2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

【教师活动】分析文字命题中的已知、求证，引导学生写出证明过程.

【学生活动】先自己写出过程，再小组内交流、纠正.

推论1 三个角相等的三角形是等边三角形

已知：如图，∠A＝ ∠ B＝∠C.

求证： AB＝AC＝BC.

证明：∵ ∠A＝ ∠B,

∴ AC＝BC.

∵ ∠B＝∠C,

∴ AB＝AC.

∴ AB＝AC＝BC.

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【教师活动】分析符合条件 的三角形分两种情况：一种是顶角是60°；一种是底角是60°.

【学生活动】根据不同的情况分别写出已知、求证，小组研讨证题思路，把证明过程写出来，在小组内交流.

【验证】第一种情况：顶角是60°.

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC  ,∠A＝ 60°.

求证：AB＝AC＝BC.

证明：∵  AB＝AC  ,∠A＝ 60 °.

∴  ∠B＝∠C＝ (180°－∠A)＝ 60°.

∴  ∠A＝ ∠B＝∠C.

∴  AB＝AC＝BC.

【验证】第二种情况：有一个底角是60°.

已知：如图,在△ABC中，AB＝AC,∠B＝60°.

求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵  AB＝AC,∠B＝60°(已知),

∴  ∠C＝∠B＝60°(等边对等角)，

∴  ∠A＝60°(三角形内角和定理).

∴  ∠A＝∠B ＝∠C＝60°.

∴  △ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).

【互动总结】

探究3：含30°角的直角三角形的性质

已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°.

求证：BC ＝ AB.

证明：在△ABC 中，∵  ∠C ＝90°，∠A ＝30°, ∴  ∠B ＝60°.

延长BC 到D，使CD ＝BC，连接AD，则△ACD≌ △ACB （SAS）.

∴  AD＝AB,∠BAC＝∠DAC＝30°,∠BAD＝60°.

则△ABD 是等边三角形.∴ BD＝AB.

又∵  AC⊥BD,

∴  BC ＝ BD.　

∴  BC ＝ AB.　

【教师活动】引导学生写出已知、求证，巡视学生做题情况，对出现的问题及时纠正.

【学生活动】书写证明过程，总结含30°角的直角三角形的性质，用文字语言表述，并在小组内交流.

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【师生共同总结】用几何语言描述定理内容，并牢记定理内容.

∵  在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，　

∴  BC ＝AB.　

典型例题

例1　已知：如图，AB＝DC,BD＝CA,

求证：△AED是等腰三角形.

证明：∵ AB＝DC,BD＝CA,AD＝DA,

∴ △ABD≌△DCA(SSS)

∴ ∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等）

∴ AE＝DE(等角对等边）

∴  △AED是等腰三角形.

【教师活动】分析思路，即证明△AED是等腰三角形，可证明∠ADB＝∠DAC，那么角相等该怎么证明，提出问题，让学生思考.

【学生活动】根据老师的分析，小组交流，得出证明∠ADB＝∠DAC可利用证△ABD≌△DCA，根据“SSS”定理可证明，写出过程，小组交流.

典型例题

例2　 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.

证明：∵  △ABC是等边三角形，

∴  ∠A＝ ∠B＝ ∠C.

∵  DE//BC,

∴  ∠ADE＝ ∠B, ∠ AED＝ ∠C.

∴  ∠A＝ ∠ADE＝ ∠ AED.

∴  △ADE是等边三角形.

【教师活动】巡视学生做题，及时纠正答案.

【学生活动】先自己独立完成，再小组交流答案.

典型例题

例3　如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝2a,∠B＝∠ACB＝15°, CD是腰AB上的高，求CD的长.

解：∵  ∠B＝∠ACB＝15°，(已知)

 ∴  ∠DAC＝∠B+∠ACB＝ 15°+15°＝30°，

 ∵  ∠ADC＝90°，∴  CD＝ AC＝a.（在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）

【教师活动】分析条件，根据三角形的外角可以得到直角三角形中有一个角是30°，提示特殊直角三角形的性质应用，巡视学生做题，及时纠正答案.

【学生活动】先自己独立完成，再小组交流答案.

例4  如图,上午10 时，一条船从A处出发以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°方向上.

（1）画出暗礁C的位置；

（2）求从B处到暗礁C的距离.

解 ：(1)以B为顶点,向北偏西60作角,这角一边与

AC交于点C,则点C为礁石所在地.

(2)∵  ∠ACB＝60°-30°＝30°,(三角形的外角性质)

又∵  ∠BAC＝30°,

∴  ∠BCA＝∠BAC，∴  BC＝BA.

∵  BA＝10×(10-8)＝20(mile),

∴   BC ＝20 (mile).

即从B处到礁石C的距离是20 mile.

【教师活动】在图形中标出方向角，分析出△ABC中的∠C的度数，根据等腰三角形的判定定理得BC＝AB，从而求出结论.

【学生活动】根据思路写出证明过程，小组交流.

课堂练习

1.已知△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3 cm，则△ABC的周长为______cm.

2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.则AC＝_____ .

3.已知：如图，AB＝BC ，∠CDE＝ 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.

求证：△ABC是等边三角形.

4.已知：如图,在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D.

求证：BD＝.

5.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°, BC＝AB.

求证：∠BAC＝30°.

参考答案

1. 9   2. 6

3.证明：∵  AB＝BC，∴  △ABC是等腰三角形，

又∵ ∠CDE＝120°，DF平分∠CDE.

∴  ∠EDF＝∠FDC＝60°，

又∵  DF∥BA，∴  ∠FDC＝∠ABC＝60°，

∴  △ABC是等边三角形.

4. 证明：∵ ∠A＝30°，CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴  BC＝，∠B＝60°.

∴  ∠BCD＝30°，∴  BD＝，∴  BD＝.

5. 证明：延长BC至D，使CD＝BC，连接AD.

∵  ∠ACB＝90°，∴  ∠ACD＝90°.

又∵  AC＝AC.∴  △ACB≌△ACD(SAS).∴  AB＝AD.

∵  CD＝BC，∴  BC＝BD.

又∵ BC＝ AB，∴  AB＝BD.∴  AB＝AD＝BD，

即△ABD是等边三角形.

∴  ∠B＝60°.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°.

课堂小结

1.等腰三角形的判定：

（1）有两边相等的三角形是等腰三角形（定义法）；

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（判定定理）.

2.等边三角形的判定：

（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.

3.特殊的直角三角形的性质：

（1）在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

（2）拓展：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.

4.数学方法：分类的思想.

布置作业

教材习题15.3（3）第1,2,3题

板书设计

第3课时等腰三角形的判定

1.等腰三角形的判定

2.等边三角形的判定

 3.特殊直角三角形的性质

4.数学思想

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