安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三数学下学期第一次模拟试卷（Word版附解析）

2022-2023学年度第二学期高三第一次模拟试卷

数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知全集，集合，，则(    )

A.  B.

C.  D.

2.  已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，满足，，，，则，(    )

A.  B.  C.  D.

4.  重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”，它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度其锅具抽象成数学形状如图同一类格子形状相同“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味现有种不同食物足够量，其中种适合放入中间格，种适合放入十字格，种适合放入四角格现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物不考虑位置，则有多少种不同放法(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，则等于  (    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，是圆上的两点，过点，的两条切线与直线三线共点，则直线必过定点(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设是定义域为的偶函数，且，当时， ，若函数，有个不同的零点，则的取值范围是．(    )

A.  B.

C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知为数列的前项之和，且满足，则下列说法正确的是(    )

A. 为等差数列 B. 若为等差数列，则公差为

C. 可能为等比数列 D. 的最小值为，最大值为

10.  下列结论中，正确的结论有(    )

A. 如果，那么的最小值是

B. 如果，，，那么的最大值为

C. 函数的最小值为

D. 如果，，且，那么的最小值为

11.  如图，直三棱柱中，所有棱长均为，点为棱上任意一点，则下列结论正确的是(    )

A. 直线与直线所成角的范围是

B. 在棱上存在一点，使平面

C. 若为棱的中点，则平面截三棱柱所得截面面积为

D. 若为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为

12.  已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线则下列正确的是(    )

A. 双曲线的方程为

B.

C.

D. 点到轴的距离为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为          ．

14.  已知是定义在上的偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为          ．

15.  正三棱柱底面是正三角形的直棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角为          ．

16.  已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》

在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，且

求角的大小；

若，且，求的值．

18.  本小题分

已知数列满足，，．

求的通项公式；

若，数列的前项和为，求．

19.  本小题分

某校高三年级的名学生参加了一次数学测试，已知这名学生的成绩全部介于分到分之间，为统计学生的这次考试情况，从这名学生中随机抽取名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组，，第八组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

估计该校高三年级的这名学生的这次考试成绩的中位数；

若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取名，记这名学生的分数差的绝对值大于分的概率．

20.  本小题分

如图，直三棱柱的体积为，，为的中点，为的中点，是与的交点．

证明：；

在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分

已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形．

求椭圆的方程

直线交椭圆于，两点，点在线段上移动，连接交椭圆于，两点，过作的垂线交轴于，求面积的最小值．

22.  本小题分

已知函数和有相同的最小值．

求的最小值

设，方程有两个不相等的实根，，求证：．

答案和解析

1. 【解析】，，

．故选C．

2. 【解析】，

，其虚部为．故选D

3. 【解析】，．

，

又，，，．

由题意可知，，均为非零向量，则，则．

4. 【解析】根据题意，分步：

从种适合放入十字格的食物中，选一种放两个十字格，有种，

种适合放入四角格，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有种放法

则一共可以有种不同放法；故选：．

5. 【解析】已知

则，

所以．故选C．

6. 【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得函数解析式为，它的图象关于轴对称，

则，，又，所以，

，最小正周期为，

极大值点为，

，与最接近的极大值点是，

的最小值是．故选A．

7. 【解析】圆的方程可化为，所以圆心．

设两条切线的交点为，则以为直径的圆的圆心为，

设以为直径的圆的半径为，

则．

所以以为直径的圆的方程为．

过点作圆的切点分别为，，

两圆的交点为，，即两圆的公共弦为．

将两圆的方程相减可得直线的方程为，

即令得．

所以直线必过定点．故选：．

8. 【解析】由是定义域为的偶函数，且，

可得，所以函数的周期是．

当时， ，所以当时，，

即当时， ，当时，，

画出函数的图象如下图所示：

函数，有个不同的零点，

则函数与直线，有个交点，

当直线，与相切时，

由可得，

，解得，

当直线，与相切时，

由可得，

则，解得，

结合函数图象可知，当时，函数与直线，有个交点，所以的取值范围是故答案为．

9. 【解析】， 

当时，， 

，

， 

，或，  

当，若，则数列为等比数列，公比为，A错误，C正确，

当，数列为等差数列，公差为，B正确，

若，当时，，当时，，

若，当时，，当时，，故D正确，故选BCD．

10. 【解析】选项A：若，则，故，则，

当且仅当时等号成立，故有最大值，无最小值，选项A错误；

选项B：因为，，则，当且仅当时等号成立，

又，则，

即，可解得，即，选项B正确；

选项C：因为，

当且仅当等号成立，显然无解，

故取不到最小值，选项C错误；

选项D：因为，所以，

因为，，故，则，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

故，即可得，故的最小值为，选项D正确．

11. 【解析】对于，由直三棱柱，，

为直线与直线所成角，

当与重合时，直线与直线所成角为，

当与重合时，直线与直线所成角为，

所以直线与直线所成角的范围是，故A正确；

对于，假设平面，又平面，

，设中点为，

则，又，，，平面，

则平面，

又平面，，

又，，平面，

所以平面，又平面，

所以，

又因为四边形为正方形，

所以点为中点，与点为棱上一点矛盾，故B错误．

对于，取中点，连结，，

则平面截三棱柱所得截面为等腰梯形，，，

在直角中，，所以梯形的高为，

梯形的面积为，故C正确．

对于，因为，且，

所以当与重合时，三棱锥的体积最大，取中点，

则平面，得，故D错误．故选：．

12. 【解析】到的距离为，，解得，

又渐近线方程为，则，结合可解得，，

则双曲线的方程为，故A正确

为的平分线，，故B错误

由双曲线定义可得，则可得，，

则在中，，

则，

则，即，故C正确

在中，，

设点到轴的距离为，则，

即，解得，故D正确．

13. 

【解析】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”，则

，，

故

故答案为：．

14. 

【解析】函数是定义在上的偶函数，

当时，，

当时，，则，

所以，所以，

当时，，则，

所以曲线在点处的切线的斜率为，切点为，

所以切线的方程为，即．

故答案为：．

15. 

【解析】以为原点，以，

所在直线分别为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系，

设为的中点，如图所示：

则，，，

，

易知，，，平面，

故平面，

所以为与平面所成的角，

，

又，．故答案为．

16. 

【解析】设，由题意得，

两式相减化简得，

由是中点，得，

代入得直线斜率，故直线方程为，即，

因为点在椭圆内，故直线与椭圆相交，

故答案为：．

17.解：，

又由余弦定理可得，

，

，

，即，

又，

．

，

又，

，

，

，，

． 

18.解：，

，

为等比数列，设公比为，

又，，

；

，

，，

． 

19.解：由频率分布直方图得第七组的频率为：

，

频率分布直方图如右图．

由频率分布直方图得的频率为：，

频率为的频率为：，

估计该校高三年级的这名学生的这次考试成绩的中位数为：

．

样本中第一组有学生：人，设这人为，

第六组有学生：人，设这人为，，

从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取名的情况有，共种，

这名学生的分数差的绝对值大于分包含的情况有，共种，

这名学生的分数差的绝对值大于分的概率． 

20.解：由棱柱的体积公式，可得，

又，可知， 

中，，为的中点，可得，

又平面，平面，

可得，而，

所以平面，即有，

连接， 

由，，

则，可得，

即有，而，

所以平面，

则；

以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，

则

令，可得，

设，，

则，

所以，

当时，可得平面，

所以，即．

所以在线段上存在点，且当时，平面．

21.解：由题知抛物线的准线为直线，过椭圆的左焦点，

．

椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形，

，

故椭圆的标准方程为：．

由得椭圆的方程为，

的垂线交轴于点，

的斜率存在，

连接交椭圆于，两点，

的斜率不为．

不妨设：，，则，

联立

即，

，

．

设，

，

，

解得：，

到直线的距离为：，

，

当且仅当，即时等号成立，

故面积的最小值为．

22.解：因为，

所以

定义域，，

令得，，

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，，要使与有相同的最小值，

则，，

所以，

所以，

当且仅当时，取等号；

由已知得，，

令，则恒成立，

则在上单调递增，即在上单调递增，

因为，，存在使得，

在上单调递减，在上单调递增，

又因为，

当时，，

因此若方程有两个不相等的实根，不妨设，

则必有，

因此；

下证，

由，得，

则，

令，

令，则，

则，

令，

则成立，

所以在上单调递减，

，即当时，成立，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

故，

由于，

因此，

得，得，

所以，

综上．