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【广东专用】2023年中考数学易错题汇编——02 方程与不等式（原卷版+解析版）
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这是一份【广东专用】2023年中考数学易错题汇编——02 方程与不等式（原卷版+解析版），文件包含02方程与不等式解析版docx、02方程与不等式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
2． 方程的解
3． 不等式（组）的解、整数解情况
4． 根的判别式、根与系数的关系
01 方程的定义：需要注意2点，一是方程的最高次数为1，二是一次项系数不为0. 务必两点都要考虑。
1.已知关于的方程是一元一次方程，则的值是
A．2B．0C．1D．0或2
【分析】根据一元一次方程的定义，得到关于的绝对值的方程，利用绝对值的定义，解之，把的值代入，根据是否为0，即可得到答案．
【解析】根据题意得：
，
整理得：或，
解得：或0，
把代入得：（不合题意，舍去），
把代入得：（符合题意），
即的值是0，
故选：．
1．下列方程中，是一元一次方程的是
A．B．C．D．
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．
【解析】、未知项的最高次数为2，不是一元一次方程；
、符合一元一次方程的定义；
、含有两个未知数，不是一元一次方程；
、分母中含有未知数，不是一元一次方程．
故选：．
2．下列等式中不是一元一次方程的是
A．B．
C．D．
【分析】利用一元一次方程方程的定义判断即可．
【解析】是一元二次方程，
故选：．
3．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ．
【分析】根据一元一次方程的特点求出的值．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且，高于一次的项系数是0．
【解析】由一元一次方程的特点得，
解得：．
故答案为：．
02 一元一次方程的解以及解方程：计算思路要清晰、计算要准确，否则很容易失分。
1．如果是关于的方程的解，那么的值是
A．1B．2C．D．
【分析】把代入方得出，求出方程的解即可．
【解析】把代入方程得：，
解得：，
故选：．
1．若是方程的解，则值为
A．0B．2C．3D．4
【分析】将代入方程即可求得的值．
【解析】把代入方程，得
解得．
故选：．
2．已知关于的方程的解是，则代数式的值为
A．B．0C．D．2
【分析】先把代入方程得，再把通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】把代入方程得，
，
，
．
故选：．
3．如果关于的方程有负根，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】当时，原方程无意义，当时，解一元一次方程，根据“关于的方程有负根”，得到关于的不等式，解之即可．
【解析】根据题意得：
若，
则，
则，（不合题意，舍去），
若，
则，
则原方程的解为：，
则，
则，
解得：，
故选：．
03 一元一次方程相同解问题：先求出其中一个方程的解，再代入同解方程中，即可求相关未知数的值。
1．关于的方程与方程的解相同，则常数是
A．B．3C．2D．
【分析】求出第二个方程的解，代入第一个方程计算即可求出的值．
【解析】方程，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
把代入得：
，
解得：．
故选：．
1．若关于的方程与方程的解相同，则的值为
A．B．3C．D．4
【分析】先求方程的解，再将所求的解代入方程，求出的值即可．
【解析】，
，
方程与方程的解相同，
方程的解，
，
，
故选：．
2．关于的两个方程与的解相同，则 ．
【分析】先求方程的解，再代入，求得的值．
【解析】解方程，
得，
把代入，
得，
解得．
故填：4．
04 二元一次方程的定义、二元一次方程的解
1.下列方程中，为二元一次方程的是
A．B．C．D．
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解析】．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：．
1．若关于，的方程是二元一次方程，则 2或4 ．
【分析】根据二元一次方程的定义得到，，然后解不等式和方程得到满足条件的、的值，然后把、的值代入中计算即可．
【解析】根据题意得：，，
解得：，，
，，
的值是2或4，
故答案为：2或4．
2.已知是方程的解，则的值为
A．B．3C．5D．
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【解析】把代入方程得：，
解得：
3.若方程，，有公共解，则的值为 3 ．
【分析】直接利用二元一次方程组的解法得出答案．
【解析】方程，，有公共解，
，
①②得：
，
故，
故方程组的解为：，
故，
解得：．
故答案为：3．
04 解二元一次方程：注意题目给出的条件，充分利用条件进行解答。
1.已知二元一次方程，且，则此二元一次方程的正整数解为
A．B．C．D．
【分析】将看作已知数表示出，代入已知不等式求出的范围，即可做出判断．
【解析】方程，
解得：，
当时，，
则为方程的正整数解．
故选：．
1.二元一次方程的一个整数解可以是 ．
【分析】本题是开放型题目，答案不唯一，只要符合要求，即是整数解即可．
【解析】二元一次方程，
当时，，；
所以，是二元一次方程的一个整数解．
故答案为．；
2.已知是关于、的二元一次方程组的解，则的值为
A．B．1C．7D．11
【分析】根据方程组的解的意义将、的值代入方程组即可求解．
【解析】把，代入方程组，得
解得，，
．
故选：．
3．如果实数，满足方程组，则 0 ．
【分析】利用加减消元法解出、的数值，再进行计算即可．
【解析】，
①②得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
，
故答案为：0．
05 一元二次方程的解：灵活运用求解的几种方法，另外，结合整体代入法进行考查时也是是一个特别容易出错的点，需特别留意。
1．（深圳模拟）已知、是方程的两个实数根，则的值为
A．B．2C．22D．30
【分析】根据根与系数的关系得到，由一元二次方程解的定义得到，则，然后将其代入所求的代数式，并求值．
【解析】、是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
1．（2022•越秀区一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则 ．
【分析】根据题意把代入方程中，可得，然后根据一元二次方程的定义可得，即可解答．
【解析】把代入中，
，
，
由题意得：
，
，
，
故答案为：．
2．（2020•宿迁二模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则值是 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可．
【解析】根据题意，得
满足关于的一元二次方程，
，
解得，；
又二次项系数，即，
；
故答案为：．
3．（滕州市一模）已知关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为 ．
【分析】由题意知关于的一元二次方程的一个根是0，所以直接把一个根是0代入一元二次方程中即可求出．
【解析】是方程的一个根，
，
，
但时一元二次方程的二次项系数为0，舍去，
．
故答案为：．
06 根的判别式、根与系数的关系
1.已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请化简：．
【分析】先根据根的判别式求出的取值范围，再根据绝对值的性质和二次根式的性质去掉绝对值和根号，然后再合并同类项．
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
，
，
，
，，
原式
．
1.（2022•海曙区自主招生）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是 ．
【分析】根据原方程可得出：①，②；根据根与系数的关系，可求出②方程的和的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出的取值范围．
【解析】由题意，得：，；
设的两根分别是、；则，；
；
根据三角形三边关系定理，得：
，即；
，解得．
2.1．（2010•古冶区一模）关于的方程有实数根，则整数的最大值是
A．1B．2C．3D．4
【分析】由于关于的方程有实数根，分情况讨论：
①当即时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；
②当即时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数的最大值．
【解析】关于的方程有实数根，
①当即时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；
②当即时，此时方程为一元二次方程，
如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，
△，
解之得，
整数的最大值是4．
故选：．
3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A．B．且C．D．且
【分析】根据已知得出方程为一元二次方程，即且，求出即可．
【解析】①当，即时，方程为，此时方程有一个解，不符合题意；
②当时，关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：．
07 分式方程的解：需要特别注意求解分式方程时需要验根，注意求出的解是否为增根的情况。
1.关于的方程的解是正数，则的取值范围是
A．B．且C．D．且
【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求的取值范围．
【解析】去分母得，
方程的解是正数
即
又因为
则的取值范围是且
故选：．
1.（2021•香洲区模拟）已知关于的方程．
（1）若方程的解大于2，求的取值范围；
（2）当为何值时，存在以，，为三边长的直角三角形？
【分析】（1）解分式方程，用表示，根据分式的最简公分母，字母系数，方程的解大于2，列不等式，求出公共的解集；
（2）分两种情况：①为斜边的直角三角形，②为斜边的直角三角形，根据勾股定理求出的值．
【解析】（1）去分母得，，
去括号得，，
，
，且，，，
，，
方程的解大于2，
，
，
综上所述：的取值范围；
（2），
①为斜边的直角三角形，
得，
解得或（舍去），
②为斜边的直角三角形，
得，
解得，
综上所述：当或时，存在以，，为三边长的直角三角形．
2.（2022•普宁市一模）分式方程的解是 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
3.（2022•天河区二模）方程的解是 ．
【分析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【解析】，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
08 不等式：不等式的性质、
1．（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是
A．若，，则B．若，则，
C．若，，则D．若，则
【分析】根据不等式的基本性质判断，选项；根据有理数的乘法法则判断，选项．
【解析】选项，当时不成立，故该选项不符合题意；
选项，也可能是，，故该选项不符合题意；
选项，若，，则，故该选项符合题意；
选项，当时不成立，故该选项不符合题意；
故选：．
1．（2022•南海区校级模拟）已知实数、，若，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解析】、，，原变形正确，故此选项不符合题意；
、，，原变形正确，故此选项不符合题意；
、，，原变形错误，故此选项符合题意；
、，，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：．
2．（2021•高新区模拟）下列不等式变形正确的是
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解析】、等式的两边都减2，不等号的方向不变，故错误；
、如，，，得，故错误；
、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故正确；
、如，，，得，故错误．
故选：．
3．（2022•大庆模拟）已知实数，满足，且，，则的取值范围 ．
【分析】根据，可以得到与的关系，根据，，可以得到的取值范围，从而可以得到的取值范围．
【解析】，且，，
，
解得，，
，
，
故答案为：．
09 不等式的解集及在数轴上表示不等式
1.若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【分析】根据不等式组的解集，可判断与2的大小．
【解析】因为不等式组的解集是，根据同大取较大原则可知：，
当时，不等式组的解集也是，
所以．
故答案为：．
1.若不等式的解集是，则不等式的解集是 ．
【分析】根据不等式的解集是可求得的值；再将的值代入不等式即可求得不等式的解集 ．
【解析】 不等式的解集是，
不等式的解集是，
，
即；
将代入不等式得，
，
移项得，
，
解得：．
2.（2022•梅州模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
3．（2022•长春模拟）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解析】由解得，
由解得，
不等式的解集是，
在数轴上表示如图，
故选：．
10 一元一次不等式的整数解
1.（2022•惠来县二模）不等式的非负整数解有 0，1，2，3 个．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【解析】，
，
所以不等式的非负整数解是0，1，2，3．
故答案为0，1，2，3．
1．（2021•集贤县模拟）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最大值是 13 ．
【分析】先解不等式得到，再根据正整数解是1，2，3得到时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．
【解析】解不等式，得．
关于的不等式的正整数解是1，2，3，
，
，
整数的最大值是13．
故答案为13．
2．（2022•盐田区一模）先化简，再代入求值：（其中的值是不等式的正整数解）．
【分析】先将分式进行化简，然后对不等式进行求解，并在不等式的正整数解中选出使原式有意义的数代入求解．
【解析】
，
，
，
，
把代入上式得：
原式．
3．（2022•广东模拟）求不等式的正整数解．
【分析】求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出符合条件的正整数解即可．
【解析】，
，
，
，
，
它的正整数解是1，2，3，4，5．
一．选择题（共10小题）
1．（2021•饶平县校级模拟）关于的方程与方程的解相同，则常数是
A．B．3C．2D．
【分析】求出第二个方程的解，代入第一个方程计算即可求出的值．
【解析】方程，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
把代入得：
，
解得：．
故选：．
2．（2021•封开县一模）方程组的解为，则点在第 象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】把，的值代入所给方程组可得，的值，可得，的符号，进而可得所在象限．
【解析】把方程的解代入所给方程组得
，
解得，
点在第一象限，
故选：．
3．（2022•临海市一模）已知，则下列结论中一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解析】、不等式的两边都乘，再加4，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式的两边都乘，再加3，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式的两边都乘，再加4，即，也即，原变形正确，故此选项符合题意；
、不等式的两边都乘，再加4，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
4．（2022•龙岗区二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解析】不等式组的解集为，
在数轴上表示为．
故选：．
5．（2022•紫金县二模）如图，和5分别是天平上两边的砝码的质量，则的取值范围在数轴上可表示为
A．B．
C．D．
【分析】根据图示，可得不等式的解集，可得答案．
【解析】由题意得：
．
故选：．
6．（2022•中山市三模）已知、是不为0的实数，则下列选项中，解集可以为的不等式组是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式组的解集可得且，从而可得且，进而可得或且，即可解答．
【解析】不等式组的解集为：，
且，
且，
、是不为0的实数，
或且，
故选：．
7．（2022•南海区校级模拟）关于的不等式组有解，则的值可以是
A．B．C．D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解，
，
的值可以是，
故选：．
8．（2022•东阳市模拟）方程的解是
A．B．C．，D．，
【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【解析】，
，
，
，
，，
故选：．
9．（2022春•新兴县期中）若二元一次方程，和有公共解，则的取值为
A．B．C．3D．4
【分析】将，组成方程组，求出、的值，再代入，求出的值．
【解析】将，组成方程组得，
，
解得，
将代入得，，
解得，．
故选：．
10．（2020秋•北碚区校级期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为
A．4B．2C．4或2D．不确定
【分析】根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可．
【解析】根据题意，，
所以，，
解得．
故选：．
二．填空题（共5小题）
11．（2022•越秀区一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则 ．
【分析】根据题意把代入方程中，可得，然后根据一元二次方程的定义可得，即可解答．
【解析】把代入中，
，
，
由题意得：
，
，
，
故答案为：．
12．（2022•海曙区自主招生）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是 ．
【分析】根据原方程可得出：①，②；根据根与系数的关系，可求出②方程的和的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出的取值范围．
【解析】由题意，得：，；
设的两根分别是、；则，；
；
根据三角形三边关系定理，得：
，即；
，解得．
13．（2022•河源模拟）分式方程：的解是 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
14．（2022•惠东县三模）不等式组的解集是 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
15．（2021春•雷州市校级期末）不等式的正整数解是 ．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
，
，
该不等式的正整数解是2，1，
故答案为：2，1．
三．解答题（共1小题）
16．（2022•中山市三模）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）．
【分析】（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，根据：购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元列出方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个．根据：购买的乙种书柜的数量甲种书柜数量且所需资金列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
【解析】（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
，
解之得：，
甲种书柜单价为240元，乙种书柜的单价为180元．
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个；
由题意得：．
解之得：
取整数，
可以取的值为：1，2．
即：学校的购买方案有以下两种：
方案一：甲种书柜1个，乙种书柜19个，
方案二：甲种书柜2个，乙种书柜18个．
2． 方程的解
3． 不等式（组）的解、整数解情况
4． 根的判别式、根与系数的关系
01 方程的定义：需要注意2点，一是方程的最高次数为1，二是一次项系数不为0. 务必两点都要考虑。
1.已知关于的方程是一元一次方程，则的值是
A．2B．0C．1D．0或2
【分析】根据一元一次方程的定义，得到关于的绝对值的方程，利用绝对值的定义，解之，把的值代入，根据是否为0，即可得到答案．
【解析】根据题意得：
，
整理得：或，
解得：或0，
把代入得：（不合题意，舍去），
把代入得：（符合题意），
即的值是0，
故选：．
1．下列方程中，是一元一次方程的是
A．B．C．D．
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．
【解析】、未知项的最高次数为2，不是一元一次方程；
、符合一元一次方程的定义；
、含有两个未知数，不是一元一次方程；
、分母中含有未知数，不是一元一次方程．
故选：．
2．下列等式中不是一元一次方程的是
A．B．
C．D．
【分析】利用一元一次方程方程的定义判断即可．
【解析】是一元二次方程，
故选：．
3．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ．
【分析】根据一元一次方程的特点求出的值．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且，高于一次的项系数是0．
【解析】由一元一次方程的特点得，
解得：．
故答案为：．
02 一元一次方程的解以及解方程：计算思路要清晰、计算要准确，否则很容易失分。
1．如果是关于的方程的解，那么的值是
A．1B．2C．D．
【分析】把代入方得出，求出方程的解即可．
【解析】把代入方程得：，
解得：，
故选：．
1．若是方程的解，则值为
A．0B．2C．3D．4
【分析】将代入方程即可求得的值．
【解析】把代入方程，得
解得．
故选：．
2．已知关于的方程的解是，则代数式的值为
A．B．0C．D．2
【分析】先把代入方程得，再把通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】把代入方程得，
，
，
．
故选：．
3．如果关于的方程有负根，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】当时，原方程无意义，当时，解一元一次方程，根据“关于的方程有负根”，得到关于的不等式，解之即可．
【解析】根据题意得：
若，
则，
则，（不合题意，舍去），
若，
则，
则原方程的解为：，
则，
则，
解得：，
故选：．
03 一元一次方程相同解问题：先求出其中一个方程的解，再代入同解方程中，即可求相关未知数的值。
1．关于的方程与方程的解相同，则常数是
A．B．3C．2D．
【分析】求出第二个方程的解，代入第一个方程计算即可求出的值．
【解析】方程，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
把代入得：
，
解得：．
故选：．
1．若关于的方程与方程的解相同，则的值为
A．B．3C．D．4
【分析】先求方程的解，再将所求的解代入方程，求出的值即可．
【解析】，
，
方程与方程的解相同，
方程的解，
，
，
故选：．
2．关于的两个方程与的解相同，则 ．
【分析】先求方程的解，再代入，求得的值．
【解析】解方程，
得，
把代入，
得，
解得．
故填：4．
04 二元一次方程的定义、二元一次方程的解
1.下列方程中，为二元一次方程的是
A．B．C．D．
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解析】．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：．
1．若关于，的方程是二元一次方程，则 2或4 ．
【分析】根据二元一次方程的定义得到，，然后解不等式和方程得到满足条件的、的值，然后把、的值代入中计算即可．
【解析】根据题意得：，，
解得：，，
，，
的值是2或4，
故答案为：2或4．
2.已知是方程的解，则的值为
A．B．3C．5D．
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【解析】把代入方程得：，
解得：
3.若方程，，有公共解，则的值为 3 ．
【分析】直接利用二元一次方程组的解法得出答案．
【解析】方程，，有公共解，
，
①②得：
，
故，
故方程组的解为：，
故，
解得：．
故答案为：3．
04 解二元一次方程：注意题目给出的条件，充分利用条件进行解答。
1.已知二元一次方程，且，则此二元一次方程的正整数解为
A．B．C．D．
【分析】将看作已知数表示出，代入已知不等式求出的范围，即可做出判断．
【解析】方程，
解得：，
当时，，
则为方程的正整数解．
故选：．
1.二元一次方程的一个整数解可以是 ．
【分析】本题是开放型题目，答案不唯一，只要符合要求，即是整数解即可．
【解析】二元一次方程，
当时，，；
所以，是二元一次方程的一个整数解．
故答案为．；
2.已知是关于、的二元一次方程组的解，则的值为
A．B．1C．7D．11
【分析】根据方程组的解的意义将、的值代入方程组即可求解．
【解析】把，代入方程组，得
解得，，
．
故选：．
3．如果实数，满足方程组，则 0 ．
【分析】利用加减消元法解出、的数值，再进行计算即可．
【解析】，
①②得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
，
故答案为：0．
05 一元二次方程的解：灵活运用求解的几种方法，另外，结合整体代入法进行考查时也是是一个特别容易出错的点，需特别留意。
1．（深圳模拟）已知、是方程的两个实数根，则的值为
A．B．2C．22D．30
【分析】根据根与系数的关系得到，由一元二次方程解的定义得到，则，然后将其代入所求的代数式，并求值．
【解析】、是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
1．（2022•越秀区一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则 ．
【分析】根据题意把代入方程中，可得，然后根据一元二次方程的定义可得，即可解答．
【解析】把代入中，
，
，
由题意得：
，
，
，
故答案为：．
2．（2020•宿迁二模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则值是 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可．
【解析】根据题意，得
满足关于的一元二次方程，
，
解得，；
又二次项系数，即，
；
故答案为：．
3．（滕州市一模）已知关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为 ．
【分析】由题意知关于的一元二次方程的一个根是0，所以直接把一个根是0代入一元二次方程中即可求出．
【解析】是方程的一个根，
，
，
但时一元二次方程的二次项系数为0，舍去，
．
故答案为：．
06 根的判别式、根与系数的关系
1.已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请化简：．
【分析】先根据根的判别式求出的取值范围，再根据绝对值的性质和二次根式的性质去掉绝对值和根号，然后再合并同类项．
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
，
，
，
，，
原式
．
1.（2022•海曙区自主招生）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是 ．
【分析】根据原方程可得出：①，②；根据根与系数的关系，可求出②方程的和的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出的取值范围．
【解析】由题意，得：，；
设的两根分别是、；则，；
；
根据三角形三边关系定理，得：
，即；
，解得．
2.1．（2010•古冶区一模）关于的方程有实数根，则整数的最大值是
A．1B．2C．3D．4
【分析】由于关于的方程有实数根，分情况讨论：
①当即时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；
②当即时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数的最大值．
【解析】关于的方程有实数根，
①当即时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；
②当即时，此时方程为一元二次方程，
如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，
△，
解之得，
整数的最大值是4．
故选：．
3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A．B．且C．D．且
【分析】根据已知得出方程为一元二次方程，即且，求出即可．
【解析】①当，即时，方程为，此时方程有一个解，不符合题意；
②当时，关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：．
07 分式方程的解：需要特别注意求解分式方程时需要验根，注意求出的解是否为增根的情况。
1.关于的方程的解是正数，则的取值范围是
A．B．且C．D．且
【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求的取值范围．
【解析】去分母得，
方程的解是正数
即
又因为
则的取值范围是且
故选：．
1.（2021•香洲区模拟）已知关于的方程．
（1）若方程的解大于2，求的取值范围；
（2）当为何值时，存在以，，为三边长的直角三角形？
【分析】（1）解分式方程，用表示，根据分式的最简公分母，字母系数，方程的解大于2，列不等式，求出公共的解集；
（2）分两种情况：①为斜边的直角三角形，②为斜边的直角三角形，根据勾股定理求出的值．
【解析】（1）去分母得，，
去括号得，，
，
，且，，，
，，
方程的解大于2，
，
，
综上所述：的取值范围；
（2），
①为斜边的直角三角形，
得，
解得或（舍去），
②为斜边的直角三角形，
得，
解得，
综上所述：当或时，存在以，，为三边长的直角三角形．
2.（2022•普宁市一模）分式方程的解是 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
3.（2022•天河区二模）方程的解是 ．
【分析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【解析】，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
08 不等式：不等式的性质、
1．（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是
A．若，，则B．若，则，
C．若，，则D．若，则
【分析】根据不等式的基本性质判断，选项；根据有理数的乘法法则判断，选项．
【解析】选项，当时不成立，故该选项不符合题意；
选项，也可能是，，故该选项不符合题意；
选项，若，，则，故该选项符合题意；
选项，当时不成立，故该选项不符合题意；
故选：．
1．（2022•南海区校级模拟）已知实数、，若，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解析】、，，原变形正确，故此选项不符合题意；
、，，原变形正确，故此选项不符合题意；
、，，原变形错误，故此选项符合题意；
、，，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：．
2．（2021•高新区模拟）下列不等式变形正确的是
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解析】、等式的两边都减2，不等号的方向不变，故错误；
、如，，，得，故错误；
、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故正确；
、如，，，得，故错误．
故选：．
3．（2022•大庆模拟）已知实数，满足，且，，则的取值范围 ．
【分析】根据，可以得到与的关系，根据，，可以得到的取值范围，从而可以得到的取值范围．
【解析】，且，，
，
解得，，
，
，
故答案为：．
09 不等式的解集及在数轴上表示不等式
1.若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【分析】根据不等式组的解集，可判断与2的大小．
【解析】因为不等式组的解集是，根据同大取较大原则可知：，
当时，不等式组的解集也是，
所以．
故答案为：．
1.若不等式的解集是，则不等式的解集是 ．
【分析】根据不等式的解集是可求得的值；再将的值代入不等式即可求得不等式的解集 ．
【解析】 不等式的解集是，
不等式的解集是，
，
即；
将代入不等式得，
，
移项得，
，
解得：．
2.（2022•梅州模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
3．（2022•长春模拟）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解析】由解得，
由解得，
不等式的解集是，
在数轴上表示如图，
故选：．
10 一元一次不等式的整数解
1.（2022•惠来县二模）不等式的非负整数解有 0，1，2，3 个．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【解析】，
，
所以不等式的非负整数解是0，1，2，3．
故答案为0，1，2，3．
1．（2021•集贤县模拟）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最大值是 13 ．
【分析】先解不等式得到，再根据正整数解是1，2，3得到时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．
【解析】解不等式，得．
关于的不等式的正整数解是1，2，3，
，
，
整数的最大值是13．
故答案为13．
2．（2022•盐田区一模）先化简，再代入求值：（其中的值是不等式的正整数解）．
【分析】先将分式进行化简，然后对不等式进行求解，并在不等式的正整数解中选出使原式有意义的数代入求解．
【解析】
，
，
，
，
把代入上式得：
原式．
3．（2022•广东模拟）求不等式的正整数解．
【分析】求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出符合条件的正整数解即可．
【解析】，
，
，
，
，
它的正整数解是1，2，3，4，5．
一．选择题（共10小题）
1．（2021•饶平县校级模拟）关于的方程与方程的解相同，则常数是
A．B．3C．2D．
【分析】求出第二个方程的解，代入第一个方程计算即可求出的值．
【解析】方程，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
把代入得：
，
解得：．
故选：．
2．（2021•封开县一模）方程组的解为，则点在第 象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】把，的值代入所给方程组可得，的值，可得，的符号，进而可得所在象限．
【解析】把方程的解代入所给方程组得
，
解得，
点在第一象限，
故选：．
3．（2022•临海市一模）已知，则下列结论中一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解析】、不等式的两边都乘，再加4，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式的两边都乘，再加3，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式的两边都乘，再加4，即，也即，原变形正确，故此选项符合题意；
、不等式的两边都乘，再加4，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
4．（2022•龙岗区二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解析】不等式组的解集为，
在数轴上表示为．
故选：．
5．（2022•紫金县二模）如图，和5分别是天平上两边的砝码的质量，则的取值范围在数轴上可表示为
A．B．
C．D．
【分析】根据图示，可得不等式的解集，可得答案．
【解析】由题意得：
．
故选：．
6．（2022•中山市三模）已知、是不为0的实数，则下列选项中，解集可以为的不等式组是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式组的解集可得且，从而可得且，进而可得或且，即可解答．
【解析】不等式组的解集为：，
且，
且，
、是不为0的实数，
或且，
故选：．
7．（2022•南海区校级模拟）关于的不等式组有解，则的值可以是
A．B．C．D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解，
，
的值可以是，
故选：．
8．（2022•东阳市模拟）方程的解是
A．B．C．，D．，
【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【解析】，
，
，
，
，，
故选：．
9．（2022春•新兴县期中）若二元一次方程，和有公共解，则的取值为
A．B．C．3D．4
【分析】将，组成方程组，求出、的值，再代入，求出的值．
【解析】将，组成方程组得，
，
解得，
将代入得，，
解得，．
故选：．
10．（2020秋•北碚区校级期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为
A．4B．2C．4或2D．不确定
【分析】根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可．
【解析】根据题意，，
所以，，
解得．
故选：．
二．填空题（共5小题）
11．（2022•越秀区一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则 ．
【分析】根据题意把代入方程中，可得，然后根据一元二次方程的定义可得，即可解答．
【解析】把代入中，
，
，
由题意得：
，
，
，
故答案为：．
12．（2022•海曙区自主招生）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是 ．
【分析】根据原方程可得出：①，②；根据根与系数的关系，可求出②方程的和的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出的取值范围．
【解析】由题意，得：，；
设的两根分别是、；则，；
；
根据三角形三边关系定理，得：
，即；
，解得．
13．（2022•河源模拟）分式方程：的解是 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
14．（2022•惠东县三模）不等式组的解集是 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
15．（2021春•雷州市校级期末）不等式的正整数解是 ．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解析】，
，
，
该不等式的正整数解是2，1，
故答案为：2，1．
三．解答题（共1小题）
16．（2022•中山市三模）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）．
【分析】（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，根据：购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元列出方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个．根据：购买的乙种书柜的数量甲种书柜数量且所需资金列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
【解析】（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
，
解之得：，
甲种书柜单价为240元，乙种书柜的单价为180元．
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个；
由题意得：．
解之得：
取整数，
可以取的值为：1，2．
即：学校的购买方案有以下两种：
方案一：甲种书柜1个，乙种书柜19个，
方案二：甲种书柜2个，乙种书柜18个．
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