2023届北京市东城区高三下学期一模数学试题（含答案）
展开- 北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准 2023.3
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）A （3）D （4）B （5）C
（6）B （7）A （8）D （9）B （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） (答案不唯一) （14）
（15） ② ③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为===
所以的最小正周期为 ………………6分
（Ⅱ）由题设，，由是该函数零点可知，
，即.
故或，
解得或.
因为，所以的最小值为. ………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为． …3分
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1，2，3.
；
；
则随机变量的分布列为：
1 | 2 | 3 | |
故随机变量的数学期望． ………11分
（Ⅲ）． ………13分
（18）（共15分）
解：（Ⅰ）连接，，.
因为长方体中,∥且，
所以四边形为平行四边形.
所以为的中点，
在△中，因为，分别为和的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面. ………………6分
（II）选条件①：.
(ⅰ)连接.
因为长方体中，所以.
在△中,因为为的中点，，
所以.
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,，
则，，，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，可得.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，所以.
设平面与平面的夹角为 ，
则
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
(ⅱ)因为，
所以点到平面的距离为. ………………15分
选条件②：与平面所成角为.
连接.
因为长方体中，平面，平面，
所以.
所以为直线与平面所成角，即.
所以△为等腰直角三角形.
因为长方体中，所以.
所以.
以下同选条件① .
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）当时，，定义域为.
，
令，得，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为. ………………5分
（Ⅱ）令，
则.
当时，令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，最小值为.
当时，的最小值为1，
所以的最小值为. ………………11分
（III）由（Ⅱ）知在上单调递减，在上单调递增,
又，，
所以，，
，
所以⫋. ………………15分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由题设，得解得.
所以椭圆的方程为． ………………5分
（Ⅱ）直线的方程为．
由 得．
由，得．
设，则，．
直线的方程为．
令，得点的横坐标为．
同理可得点的横坐标为．
．
因为点坐标为，则点为线段的中点，
所以． ………………14分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6. …………5分
（Ⅱ）若当取最大值时，存在，使得.
由数表具有性质可得为奇数，
不妨设此时数表为.
①若存在，使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.
②若对任意的，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数，使得. ………………10分
（Ⅲ）当n为偶数时，令，对任意具有性质数表，
一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此. ②
记．
由①+②得.
又，可得.
构造数表
可知数表具有性质，且.
综上可知，当n为偶数时，的最大值为. ………………15分
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