2022-2023学年安徽省淮北市五校联考八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省淮北市五校联考八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若在实数范围内有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C. 且 D.

3.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  方程的两个根为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  若是关于的方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  请估计的值在哪两个相邻整数之间(    )

A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间

9.  若一元二次方程的两根分别是和，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

10.  对于两个不相等的实数，，我们规定表示，中较小的数，如，若已知，则的值为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  若是关于的一元二次方程，则的取值范围为        ．

12.  在实数范围内因式分解：______．

13.  计算的结果是        ．

14.  已知，，，其中，为最简二次根式，且，则的值为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
实数，在数轴上的位置如图所示，化简．

18.  本小题分
已知，求的值．

19.  本小题分
已知，．
求的值；
求的值．

20.  本小题分
如图，在数学课上，王老师用个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知每个小长方形的面积为，求大长方形的周长．

21.  本小题分
观察下列各式：，，，
你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含为正整数的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第个式子；
请你验证所发现的规律．

22.  本小题分
阅读材料并回答问题．
已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，求的值．
某同学的解答如下：
解：设，是方程的两个根，由求根公式，得，
得，，
由题意，得，又，
所以，，
解得，，
所以的值为或．
上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答；
解上述关于的一元二次方程．

23.  本小题分
在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
请用以上两种方法化简：；
计算：；
若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
可以任意取值，即可以为负值，
不一定是二次根式，不符合题意；
，
不是二次根式，不符合题意；
，
，
是二次根式符合题意；是三次根式，故D选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式定义逐个判断即可得到答案．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的条件．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据分式和二次根式有意义的条件可得关于的不等式组，即可求解．
本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，故A选项不符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.是最简二次根式，故C选项符合题意；
D.，故D选项不符合题意；
故选：．
最简二次根式须同时满足两个条件：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，据此逐项判断即得答案．
本题考查了最简二次根式的定义，属于基础题型，熟知概念是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
A、当时，，所以与不是同类二次根式；
B、当时，，所以与是同类二次根式；
C、当时，，所以与不是同类二次根式；
D、当时，，所以与不是同类二次根式．
故选：．
把选项中的数分别代入二次根式进行化简，然后看被开方数是否是即可．
本题主要考查了同类二次根式的判断，注意同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：．，故A选项不符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.和不是同类二次根式不能合并，故C选项不符合题意；
D.，故D选项符合题意．
故选：．
直接根据二次根式的运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，，
故选：．
根据解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的一个根，
，
，
．
故选：．
将代入方程，然后将方程的左边得，由此即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是将方程的解代入原方程得到关于系数的等量关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的值在在和之间．
故选：．
估算出，即可求解．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个根分别是与，
且，
，
解得：，
即方程的根是：，，
，
故选：．
直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案．
本题主要考查了解一元二次方程直接开平方，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当，即时，，
解得，
当，即时，，
解得，舍去，
综上，的值为或．
故选：．
分和两种情况，分别计算即可．
本题考查解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：是关于的一元二次方程，
，，
解得：且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件直接列不等式求解即可得到答案．
本题考查一元二次方程定义，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
 

12.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
先运用平方差公式，分解成，再把写成，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
 

13.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
利用积的乘方的逆运算及平方差公式，二次根式的相应的运算对式子进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：，为最简二次根式，且，
，
解得，
，，，
，
解得，
．
故答案为：．
根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可．
本题考查最简二次根式，根据同类二次根式的定义得出是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】根据实数的运算法则即可化简求解．
此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的运算法则．
 

16.【答案】解：原方程整理得：，
，，，
，
，
，． 

【解析】原方程整理后选择合适方法解即可．
本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：由数轴可知，，，
，，，
原式


． 

【解析】根据数轴得到，的取值范围，判断式子与的关系，将原式化简即可得到答案．
本题考查数轴及根式化简，解题的关键是根据数轴得到字母取值，从而得到式子与的关系及熟练掌握．
 

18.【答案】解：，
，
，
解得：，，
． 

【解析】根据使分式值为零的条件并结合非负数的性质列出方程求出，的值，代入所求代数式计算即可．
本题主要考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式值为零及分式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是根据题意求出，的值．
 

19.【答案】解：，，
，
，
，
；
解：，
，
． 

【解析】根据完全平方公式得出，进而求出，再计算，即可得出答案；
先计算，再根据，即可得出答案．
本题考查完全平方公式，二次根式的性质，正确公式变形是解题的关键．
 

20.【答案】解：设小长方形的长为，宽为．
根据题意得，
解得：，，
大长方形的周长为． 

【解析】设小长方形的长为，宽为，根据图形可知，大长方形的宽是小长方形的长和宽之和，大长方形的长是小长方形的长的倍，是小长方形宽的倍，且小长方形的面积为，列出方程组求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出方程组．
 

21.【答案】解：规律：，
第个式子：；
证明：



． 

【解析】认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积．
运用二次根式的性质进行化简即可．
此题考查了二次根式的化简问题．注意认真观察题中式子的特点，找出其中的规律是解此题的关键．
 

22.【答案】解：错误：“”应该是“”，
错误：的值应满足，所以应舍去．
正确解答：设，是方程的两个根，由求根公式得，
，
得，，
由题意，得12，又12，
所以，，
解得，，
当时，，所以应舍去；
当时，，所以的值为．
由可知，
方程为，
，，，
，
，
，． 

【解析】根据一元二次方程的判别式结合根与系数的关系解答；
由求得的值，代入，再解方程即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

23.【答案】解：方法一：；
方法二：；
由题意可得，

；
，
，
，
，
． 

【解析】根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；
根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；
根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案．
本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法．