中考培优竞赛专题经典讲义 第31讲 几何三大变换之平移

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第31讲 几何三大变换之平移平移的性质          函数的平移变换八字真言：“左加右减”，“上加下减”【例题讲解】例题1．如图，将沿方向平移得到，若，，，，，阴影部分的面积为　　．【解答】解：沿方向平移得到，，，，，四边形是梯形，．故答案为：10.5． 例题2． 如图，中，，，是的中点．现将沿方向平移，得到，交于，则的长等于　　．【解答】解：中，，，是的中点，；又由沿方向平移得到的，，，，，即，解得，；故答案是：3． 例题3．如图，和是两个具有公共边的全等三角形，．，将沿射线平移一定的距离得到△，连接，．如果四边形是矩形，那么平移的距离为　　．【解答】解：作于，，，，，四边形是矩形，，，，△，，，，，；即平移的距离为7．故答案为7． 例题4．如图，反比例函数的图象和矩形在第一象限，轴，且，，点的坐标为．若将矩形向下平移，使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则的值是　　．【解答】解：设矩形平移后的坐标是，的坐标是，、落在反比例函数的图象上，，解得，即矩形平移后的坐标是，代入反比例函数的解析式得：．故答案为6． 例题5．已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是．点是点关于的对称点，连接、．若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）．当点分别平移到线段、上时，直接写出相应的的值；【解答】设平移中的三角形为△，如答图2所示：由对称点性质可知，．由平移性质可知，，，．①当点落在上时，，，，，即；②当点落在上时，，，，，，又易知，△为等腰三角形，，，即．    例题6．已知二次函数的图象如图．将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为、、三点，若，求此时抛物线的解析式．【解答】解：由得：，；如图，设平移后的抛物线的解析式为，则，即，令，即，解得：，，，，，，，，，即，解得：，（舍去），抛物线的解析式为． 
【巩固练习】1．在直角坐标系中，一直线向下平移3个单位后所得直线经过点，将直线绕点顺时针旋转后所得直线经过点，，则直线的函数关系式为       . 2．若二次函数y1=2（x+1）2-1是由二次函数y2=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，则a=     ，b=     ，c=     . 3．已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，将直线沿轴向上平移，分别交轴、轴于、两点．若以为直角边的与相似，则点的坐标为　　． 4．如图，直线与双曲线交于点．将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点，与轴交于点，若，则　　．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，直线与轴相交于点，连结，二次函数图象从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点的横坐标为，当为何值时，线段最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段最短时，二次函数的图象是否过点，并说理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过、两点，与轴的另一交点为．（1）求抛物线解析式及点坐标；（2）向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过的中点，求抛物线的表达式；        7．如图， 已知抛物线经过点、、三点 ．（1） 该抛物线解析式为　    　；顶点坐标为　    　；（2） 将该抛物线向下平移 3 个单位长度， 再向右移动个单位长度使得抛物线的顶点在内部 （不包括边界） ，试求的取值范围；
8．已知：如图，在直角梯形中，，，，，．为边上一点，以为边作正方形，使正方形和梯形在的同侧．（1）当正方形的顶点恰好落在对角线上时，求的长；（2）将（1）问中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点与点重合时停止平移．设平移的距离为，正方形的边与交于点，连接，，，是否存在这样的，使△是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形与重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．      9．如图，有一张直角三角形纸片，，，，直角边在轴上，点在第二象限，，，交轴于，将纸片过点折叠使与所在的直线上，得到折痕在轴上），再展开还原沿剪开得到四边形，然后把四边形从点开始沿射线方向平行移动，至点到达点停止（记平移后的四边形为．在平移过程中，设平移的距离，四边形与重叠的面积为．（1）求折痕的长；（2）平移过程中是否存在点落在轴上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围　　．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，且，，直线经过点，交轴于点．（1）求，坐标；（2）已知抛物线顶点上，且经过点，的抛物线的解析式. （3）将（2）中抛物线沿直线平移，平移后的抛物线交轴于点，顶点为点（顶点在轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使以EF=EG的为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
参考答案1.【解答】解：设直线的解析式为，，，，，解得，直线的解析式为．由题意，知直线绕点逆时针旋转后得到直线，则直线经过，，，易求直线的解析式为，将直线向上平移3个单位后得直线，所以直线的解析式为，即．  2.【解答】a=   2  ，b=   12  ，c=  16   .  3.【解答】解：设，则直线解析式为，，，，，根据勾股定理可得：．以为直角边的与相似，①当时，若，则，设的横坐标是，则点纵坐标是，根据题意得：，解得：，则的坐标是：，，②当时，若，同理可以求得，③当时，若，则，，④当时，若，则，．故答案为：，，，，，，．  4.【解答】解：设点的坐标为，，取的中点，点相当于点向右平移了个单位，点的坐标为，，点坐标为，，点，都在反比例函数的图象上，，解得或不合题意，舍去）点的坐标为，．  5.【解答】解：（1）设直线的解析式为，，，解得，线段所在直线的函数解析式为；（2）顶点的横坐标为，且在上移动，，，抛物线的解析式为，当时，，，当时，最短，当最短时，抛物线的解析式为；（3）若二次函数的图象是过点则方程有解．即方程有解，△．二次函数的图象不过点．   6.【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，令，可得，则点的坐标为，令，可得，则点的坐标为，将，代入，可得解得抛物线的解析式为：，令，则，解得，点坐标为；（2）由（1）知，，．设的中点为，则．，平移后抛物线的解析式为：；   7.【解答】解： （1） 设抛物线为，将、、代入得，解得：．故抛物线解析式为：，，故顶点坐标为；故答案为：，；（2） 由 （1） 得，，平移后的抛物线为：，平移后的抛物线顶点为，设直线的解析式为：，将、代入得，解得：，直线的解析式为，当时，，，，   8.【解答】解：（1）如图①，设正方形的边长为，则，，，，，，，即，解得：，即；（2）存在满足条件的，理由：如图②，过点作于，则，，由题意得：，，，，，，即，，在△中，，在中，，过点作于，则，，，在中，，（Ⅰ）若，则，即，解得：，（Ⅱ）若，则，即，解得：，（舍去），；（Ⅲ）若，则，即：，此方程无解，综上所述，当或时，△是直角三角形；（3）①如图③，当在上时，，即，，，，，当时，，②如图④，当在上时，，，，，，当时，；③如图⑤，当在上时，，即，解得：，，，，，当时，，④如图⑥，当时，，，，，．综上所述：当时，，当时，；当时，，当时，．   9.【解答】解：（1），，，，，，，，，（2）存在，理由如下：如图1，作，，，，即，（3）①当时，即点到时经过的面积，如图2，，，，，，，，②当时，为的面积，所以，③当时，如图3，，，，，，，此时，即当过点时，当时，，在中，，的面积为：，，④当时，如图4，，，，，，，，，综上可知与的函数关系式为：，故答案为：．  10.【解答】解：（1）令，，解得，则，，，，；（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为，令，则，顶点坐标为，，设抛物线解析式为，把点，代入得，，解析式为，即，（3）设顶点在直线上运动的横坐标为，则，可设解析式为，若时，，则，，代入解析式得：，解得（舍去），，此时所求的解析式为：；