中考培优竞赛专题经典讲义 第5讲 几何模型之母子型

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第5讲 几何模型之母子型模型讲解         △ACD∽△ABC       △ACD∽△BCA∽△BADAC2＝AD·AB      射影定理：①AD2＝DBDC②BA2＝BDBC③CA2＝CDCB 【圆中母子型】         过圆外一点P作引圆的两条切线PA为圆的切线，    PB交圆于点C连接OP、AB            则有△PAC∽△PBA则OP是AB的垂直平分线  【例题讲解】例题1、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（    ）A.1对    B.2对   C.3对    D.4对解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，∴△PCF∽△BCP．∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，∴△APD∽△PGD．∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B＋∠C，∠BFP＝∠CPD＋∠C∴∠APG＝∠BFP，∴△APG∽△BFP．则图中相似三角形有3对，故答案为：C．   例题2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过C作CD⊥AB，垂足为D.（1）若AD＝1，BD＝4，求CD的长；（2）若AC＝3，BD＝，求AB的长.【总结】在直角母子型中，6条线段，已知其中任意2条，即可求出其它所有线段长！答案：（1）△ADC∽△CDBCD2＝ADBDCD＝2；（2）△ADC∽△BCA＝AC2＝ADAB，设AD＝x，AB＝x＋，整理得：5x2＋16x－45＝0，解得x＝，AB＝5.  例题3、如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC，若BD＝8，DC＝6，则CE的长为         .解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CGAC＝84，∴CE＝2. 例题4、如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）。问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.（1）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝＝2.∵OC＝2，PO＝2＋2＝4，∴PC2＋OC2＝（2）2＋22＝16＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：GE•GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF，∵点G为的中点∴∠GOE＝90°，∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH，∴△OGE∽△FGH，∴＝，∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8． 例题5、二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，以AB为直径的圆经过点C，问直线CP与该圆的位置关系并说明理由.答案：设A（x1，0），B（x2，0），AB的中点为M（即为圆心）则有x1＋x2＝－2，x1x2＝－,P（－1，c），C（0，c），由MA＝MB＝MC＝ABac＝1，设圆的半径为R，则R2＝AB2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋＝1＋，易求直线CP：y＝ax＋c，即ax－y＋c＝0，设圆心M到直线CP的距离为d，则d2＝＝＝＝1＋＝1＋.∵d2＝r2,∴d＝r，又C在圆上，故相切.  例题6、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x－m）2－m2＋m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD.作AE∥x轴，DE∥y轴.（1）当m＝2时，则点B的坐标为            ；（2）DE的长是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由.解：（1）当m＝2时，y＝（x－2）2＋1，把x＝0代入y＝（x－2）2＋1，得：y＝2，∴点B的坐标为（0，2）.（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90°，∠CAF＝∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF＝AE，∵点A（m，－m2＋m），点B（0，m），∴AF＝AE＝|m|，BF＝m－（－m2＋m）＝m2，∵∠ABF＝90°－∠BAF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF∽△DAE，∴＝，即：＝，∴DE＝4．   注：本节内容本身是没有配巩固练习的，是完整的一节内容。