2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期12月月考数学试题含答案

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2022~2023学年重庆一中上期学情调研

高二数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项 （ ）

A．380 B．39 C．35 D．23

2．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

3．若圆的方程为x2+y2﹣2x+4y+1＝0，则该圆的圆心和半径r分别为（    ）

A．（1，﹣2）；r＝2 B．（1，-2）；r＝4

C．（-1，2）；r＝2 D．（-1，2）；r＝4

4．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（    ）

A． B． C． D．

5．设等差数列的前项和为，若，则=（    ）

A．21 B．15 C．13 D．11

6．已知椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于点A，B，若AB中点为，且直线AB的倾斜角为，则椭圆方程为　　

A． B． C． D．

7．等差数列中，若，则（    ）

A．42 B．45 C．48 D．51

8．如图,已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能的是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程有实根，则椭圆E的离心率e可能是（    ）

A． B． C． D．

11．设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线：和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为25 B．

C． D．若，，则

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知直线与垂直，则m的值为______．

14．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________．

15．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点，，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则_________．

16．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

如图，圆与圆 (点在点的右侧)与轴分别相切于，两点，另两圆外切且与直线分别相切于，两点，若.

（1）求圆与圆的标准方程；

（2）过B作直线EF的垂线L，求直线L被圆E截得的弦的长度.

18．（本小题满分12分）

已知数列中，，，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，，求证：.

19．（本小题满分12分）

已知向量，动点到定直线的距离等于，并且满足，其中是坐标原点，是参数.

（1）求动点的轨迹方程，并判断曲线类型；

（2）如果动点的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率满足，求的取值范围.

20．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，且，点分别在侧棱上，且

（I）求证：平面；

（II）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值

21．（本小题满分12分）

已知点及圆.

(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；

(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，．

(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；

(2)如图，过点作斜率的直线l交椭圆于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直线交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使，记四边形的面积为，求的最大值．

参考答案

1．A

因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.

2．A

椭圆的离心率，

即，，

所以双曲线的渐近线为．故选A．

考点：椭圆与双曲线的几何性质．

3．A

将圆的方程化为标准形式:,

则该圆的圆心为,半径为2,

故选:A.

4．D

建立如图所示的直角坐标系：

设抛物线方程为，

由题意知：在抛物线上，

即，

解得：，

，

当水位下降1米后，即将代入，

即，解得：，

∴水面宽为米.

故选：D.

5．A

因为数列是等差数列，

所以成等差数列，

所以，

因为，

所以，

解得，

故选：A

6．C

∵，∴c＝，

令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，

∴，

，∴a2＝，b2＝.

故选C

7．C

依题意是等差数列，

，

.

故选：C

8．C

因为，，

所以，

设，则，

又因为，

所以，

双曲线的渐近线方程为，，

取PQ的中点M，则，

由勾股定理可得，

即 ①，

在中，，

所以②，

联立①②：，即，，

结合可得.

故选：B.

9．AC

直线与x轴交于点，而圆的圆心为，

因此，直线过圆的圆心，排除选项D；

当时，圆心在x轴负半轴上，选项A满足；当时，圆心在x轴正半轴上，选项C满足.

故选：AC

10．AB

由题意有，

由

可得，

故，解得，

而，

∴.

故选：AB

11．CD

等差数列的前项和为，由得：，

由得，，

因此，等差数列的公差，即数列是递增等差数列，则有，，

所以选项A，B都不正确；选项C，D都正确.

故选：CD

12．BC

设的内切圆的半径为，则，故B正确；

设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；

延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；

故选：BC

13．0或-9

14．

设高一、高二、高三人数分别为，则且，

解得：，

用分层抽样的方法抽取人，那么高二年级被抽取的人数为人．

故答案为：.

15．40

∵，则

∴抛物线方程为

把A(t，1)代入抛物线方程得：且，则

∵,则直线AF的斜率

∴直线AF的方程：即

联立方程，解得或

即，则

O到直线的距离

∴

故答案为：40．

16．

∵点(1，)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线为x＝1，且直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1，设点P(1，)，连接OP，则OP⊥AB，∵kOP＝，∴kAB＝－2．又直线AB过点(1,0)，∴直线AB的方程为2x＋y－2＝0，∵点(0，b)在直线AB上，∴b＝2，又c＝1，∴a2＝5，故椭圆方程是＋＝1．

17．（1），；（2）.

（2）先由题意，联立直线与圆的方程求出，以及直线L的方程，根据几何法，即可求出圆的弦长.

（1）因为点，圆与轴分别相切于，所以，即圆的半径为，

所以圆；

因为圆与圆(点在点的右侧)与轴分别相切于，两点，与直线分别相切于，两点，且两圆外切，所以、、三点共线，

设圆的半径为，

则有，即，解得，即，则

又在直线上，所以，即，

因此，圆；

(2).联立，解得，所以，

又；

所以过点且与垂直的直线L为: ，

即，

因为点E到直线L的距离

所以直线L被圆截得弦长.

18．（1）；（2）证明见解析.

（1）因为，，，，

所以，，

所以，，

.

（2），

故得证

19．

（1）令，则

，

∴

，

代入，

得，

即为动点的轨迹方程.

当时，表示直线；

当时，表示圆；

当时，表示双曲线；

当或时，表示椭圆.

（2）由点的轨迹为椭圆，

1°时，，

所以.

2°时，.

结合，

所以，

综上所述：.

20．

（I）底面，底面    

四边形为正方形        平面

平面    

，    

平面，    平面

（II）以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则有，，，，，

设，则，

又    ，则

，又    ，即

又平面，平面        平面

为平面的一个法向量

又平面    为平面的一个法向量

平面与平面所成锐二面角的余弦值为：

21．

(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.

所以直线方程为，即.

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．

即直线的方程为或.

(2)由于，而弦心距，

所以.

所以恰为的中点．

故以为直径的圆的方程为.

(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.

由于直线交圆于两点，

故，

即，解得.

则实数的取值范围是．

设符合条件的实数存在，

由于垂直平分弦，故圆心 必在上．所以的斜率，

而，

所以.由于 ，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.

22．

（1），∴，

，，又，

解得，所以椭圆的标准方程为：.

（2），∴，椭圆，

 令，直线l的方程为：，

联立方程组： ，消去y得，

由韦达定理得，，

有 ，

因为：，所以， ，

将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ，

而此时： .

令，所以直线 ，

令得 ，

由韦达定理化简得，

，而， O点到直线l的距离， 所以：，

，，

因为点P在椭圆内部，所以 ，得，即

令 ，求导得 ，

当 ，即时，，单调递增； 当 ，即时，，单调递减.

所以： ，即 .