2023年广东省深圳市南山外国语集团九年级下学期三月质量监测数学试卷（含详细答案）

这是一份2023年广东省深圳市南山外国语集团九年级下学期三月质量监测数学试卷（含详细答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省深圳市南山外国语集团九年级下学期三月质量监测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A． B． C． D．
2．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．2021年是中国共产党建党百年，走过百年光辉历程的中国共产党，成为世界最大的马克思主义执政党．截止2023年6月5日全国共有9518万名中国共产党员，将“9518万”用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
6．某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（    ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
7．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（　　）

A．61° B．58° C．48° D．41°
8．下列命题是真命题的是（    ）
A．相等的两个角是对顶角 B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若，则 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
9．如图，在锐角三角形中，，按如下步骤作图．

第一步：作的平分线；交于点；
第二步：作的垂直平分线，交于点，交于点；
第三步：连接．
则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形面积为8，则k值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．分解因式：______________．
12．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示．当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是______．

13．如图，在由正三角形构成的网格图中，三点均在格点上，则的值为___________．

14．如图，在的外接圆中，，，点E为的中点，则的直径为______．

15．如图，在中，，，P是的高上一个动点，以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______．


三、解答题
16．先化简，再求值，其中
17．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：A—学校作业有明显减少；B—学校作业没有明显减少；C—课外辅导班数量明显减少；D—课外辅导班数量没有明显减少；E—没有关注；已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：

(1)本次接受调查的学生共有______人；______°；______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．
18．消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内上下转动张角，转动点A距离地面的高度为4米．

(1)当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点C距离地面的高度的长为_____米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）
19．如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线．

(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径．
20．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？
21．小明同学在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（I）列表（完成以下表格）．
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
…

…
15
8

0

0
3

15
…

…
15
8

0

0
3

15
…


（II）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？答： ．
（2）探究发现直线与函数的图象交于点E，F，，，则不等式的解集是______．
（3）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线的解析式；
②探究应用：将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
22．如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点G，以为底边在下方作等腰，且．

(1)如图①，若点H恰好落在上，连接，．
①求证：；
②若，，求的面积；
(2)如图②，点H落在矩形内，连接，若，，求四边形面积的最大值．

参考答案：
1．A
【分析】根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，直接得出答案．
【详解】根据相反数定义，的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数定义，熟记符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．
2．B
【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
3．C
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握整数位数减去1确定n值是解题的关键．
4．D
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算选择即可．
【详解】A、不是同类项，无法计算，故本项错误，不符合题意；
B、，故本项错误，不符合题意；
C、，故本项错误，不符合题意；
D、，故本项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
6．B
【分析】根据极差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【详解】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为，极差为，
故选：B．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．
7．B
【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．
【详解】如图，

∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．
∵水中的两条折射光线平行，
∴∠2＝∠3＝58°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
8．D
【分析】根据对顶角的性质，圆的性质，不等式的性质，平行四边形的判定判断即可．
【详解】A、相等的两个角不一定是对顶角，故该项错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故该项错误，不符合题意；
C、当时，，故该项错误，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，圆的性质，不等式的性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
9．B
【分析】如图，由角平分线和垂直平分线的性质可得∠1=∠2、∠2=∠3，进而得到∠1=∠3，最后运用平行线的判定定理即可说明B选项正确．
【详解】解：如图：

∵AD是∠ BAC的角平分，EF是AD的中垂线.
∴∠1=∠2，AE=DE，
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质以及平行线的判定，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
10．A
【分析】过点A作，设，，根据菱形的面积得到AB的长度，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作，

∵A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，
∴设，，
∴，，
∵菱形面积为8，
∴，解得，
∴，
在中，，
即，解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键．
11．
【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．16
【分析】观察题干中分子结构式发现规律，第n个分子结构式中“H”的个数是，据此即可得到答案．
【详解】解：观察分子结构式可知，
第1个甲烷分子结构式中“H”的个数是4；
第2个乙烷分子结构式中“H”的个数是6；
第3个丙烷分子结构式中“H”的个数是8；
……
第n个分子结构式中“H”的个数是，
第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，通过观察归纳出规律是解题关键．
13．##
【分析】根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出．
【详解】解：由正三角形的性质可知，
设正三角形构成的网格线段长为，
在中，，，
根据勾股定理，可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
14．####2.5
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，根据正弦函数可求得半径，即可求解．
【详解】解：连接，则，

∵点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的直径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正弦函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．##
【分析】在上截取，根据等腰直角三角形的性质求得和，再证明，从而可得到，则当时，有最小值，即有最小值，再求得，从而求得的最小值．
【详解】解：如图，在上截取，连接

∵，
∴，，，
∵以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，
∴，
∴
∴
即
又∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∵，，
∴
∴，
∴．
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
16．；
【分析】根据分式的加减计算括号内的，然后根据分式的除法进行计算，最后将代入进行计算即可求解．
【详解】解：原式=

  
当时，原式=
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
17．(1)200，144，20
(2)见详解
(3)

【分析】（1）设D人数为人，由图可列方程求解；求出类所占的百分比，乘以即为的数值；用类的人数除以总人数即得的数值；
（2）由（1）求得的数值补全即可；
（3）画出树状图，然后得到符合条件的种类，代入概率公式即可求得；
【详解】（1）解：设D人数为人，由图可得：
，
解得：，
总人数为：人，
，
，
．
（2）解：如图

（3）解：树状图如图：

既有八年级又有九年级的情况有12种，
概率．
【点睛】本题考查了数据的描述，相关知识点有：求总人数、圆心角度数、百分比、补全条形统计图、树状图求概率等，准确提取题目中的数据是解题关键．
18．(1)16
(2)能

【分析】（1）过点作，在中求出的长度，然后计算即可；
（2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出的长度，与26米比较即可.
【详解】（1）解：如图，过点作，

由题意的：，，
，
，
在中，
，
，
米．
故答案为：16；
（2）解：当起重臂最长，转动张角最大时，
即：米，，
，
，
米．
，
能实施有效救援．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键．
19．(1)①和②，③，真命题，证明见解析；（答案不唯一）
(2)

【分析】（1）选择①和②为条件，③为结论，连接OD，由等边对等角可得出∠A＝∠C，∠A＝∠ODA，即可推出∠C＝∠ODA，从而可证明，再根据平行线的性质和∠DEC=90°，可证明∠ODE=∠DEC=90°，即，说明DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，由直径所对圆周角为直角得出．再结合等腰三角形三线合一的性质可得出AD=CD=5．又易证，即得出，代入数据即可求出AB的长．
【详解】（1）解：选择①和②为条件，③为结论，且该命题为真命题．
证明：如图，连接OD，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C．
∵OA=OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠C＝∠ODA，
∴．
∵∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，即，
∴DE是⊙O的切线．
故答案为：①和②，③；（答案不唯一）
（2）解：如图，连接BD，
∵AB为直径，    
∴，即．
∵AB=BC，
∴AD=CD=5．
在和中，
∴，
∴，即，
∴．
故圆O的直径为．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理以及三角形相似的判定和性质．解题的关键是连接常用的辅助线．
20．(1)该种商品每次降价的百分率为
(2)每件商品应降价元

【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据每件商品的盈利（原来的销售量增加的销售量），列出方程，解出并根据题意，即可得出答案．
【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴该种商品每次降价的百分率为；
（2）解：设每件商品应降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴不合题意，舍去，
∴每件商品应降价元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解本题的关键．
21．（I）表格见解析；（II）图象见解析；（Ⅲ）（1）x轴下方的图象进行关于x轴对称变换，在x轴上方的图象不变；（2）或；（3）①；②0或．
【分析】（I）将值代入函数式求出对应的函数值，据此填表即可得到答案；
（II）先描点，再连线即可得到函数图象；
（Ⅲ）（1）通过观察函数图象，即可得到答案；
（2）作出直线的图象，结合图象即可得到不等式的解集；
（3）①先求出函数与x轴和y轴的交点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
②先根据直线与函数有三个交点，得到，再根据直线向上平移，且直线与有且只有一个交点时，满足条件，求出m的值即可得到答案．
【详解】解：（I）表格如下所示：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
…

…
15
8
3
0

0
3
8
15
…

…
15
8
3
0
1
0
3
8
15
…

（II）根据（I）中的表格描点，函数图像如下所示：

（Ⅲ）（1）通过观察可知，将函数在x轴下方的图象进行关于x轴对称变换，在x轴上方的图象不变，即可得到函数的图象，
故答案为：x轴下方的图象关于x轴对称，在x轴上方的图象不变；
（2）如图，在直角坐标系中画出直线的图象，
观察图象可知，，即函数在直线上方时的图象，
直线与函数的图象交于点E，F，，，
不等式的解集是或，
故答案为：或；

（3）①函数的图象与x轴交于A，B两点，
令，则，
解得：，，
B位于A的右侧，
，，
函数的图象与y轴交于点C，
令，则，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为；
②I.当直线经过点B时，如下图，直线与函数有三个交点，

满足条件，
II观察图象可知，平移后的直线与函数的图象恰好有3个交点，直线只能向上平移，
当时，函数，
设平移后的直线解析式为，
此时直线与有且只有一个交点，
只有一个解，，
即有两个相等实数根，
，
，
综上所述，将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，此时m的值为0或．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，二次函数的图象，函数图象交点确定不等式解集等知识，准确画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
22．(1)①证明见解析；②10；
(2)．

【分析】（1）①如图1，过点E作，先证明，得到，再根据三线合一的性质，得到，，，然后证明四边形是矩形，进而推出，得到，得到正方形，即可证明结论；
②如图2，先根据正方形和等腰三角形的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得到，根据正切值，得到，根据全等三角形的性质可知，，设，求解出，最后利用勾股定理，求得，即可求出的面积；
（2）如图3，过点H作于点P，过点E作于点Q，连接、，同理可证，，四边形是矩形，推出正方形，得到，进而得到，设，则，，构建二次函数，求出的最大值为，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：如图1，过点E作交于点M，
四边形是矩形，
，
，
点E为边的中点，
，
在和中，
，
，
，
点E为的中点，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
矩形是正方形，
，
；

②解：如图2，与相交于点N，
矩形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，，
，
，
，，
由勾股定理得：，
是等腰直角三角形，
，
；

（2）解：如图3，过点H作于点P，过点E作于点Q，连接、，
同理可证，，四边形是矩形，
，，
矩形是正方形，
，
，点E是的中点，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
时，有最大值，最大值为，
，
四边形面积的最大值为．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题关键是寻找全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．