2023年安徽省合肥市寿春中学九年级下学期第一次模拟数学试题（含答案）

这是一份2023年安徽省合肥市寿春中学九年级下学期第一次模拟数学试题（含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年安徽省合肥市寿春中学九年级下学期第一次模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（  ）
A． B．
C． D．
2．抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为(   )
A． B． C． D．
3．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（　　）

A． B． C． D．
5．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
6．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于(　　)

A．33° B．57° C．67° D．66°
7．如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（    ）

A．60° B．62° C．72° D．73°
8．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上，轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是15，则k的值为（    ）

A．21 B．18 C．15 D．9
9．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）

A．2 cm B．cm C． cm D．1cm
10．如图，半圆O的直径长为4，C是弧的中点，连接、、，点P从A出发沿运动至C停止，过点P作于E，于F．设点P运动的路程为x，则四边形的面积y随x变化的函数图像大致为（    ）

A． B．
C． D．

二、填空题
11．已知线段，则线段a和b的比例中项为______．
12．如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为_________．

13．如图，、是以为直径的的两条弦，延长至点D，使，则当时，与之间的数量关系为：________．

14．在平面直角坐标系中，已知矩形中，点，，点、分别是线段、上动点，且四边形也是矩形，

（1）________；
（2）若是等腰三角形，________．

三、解答题
15．计算：．
16．如图，为的直径，弦于点E，若，，求弦的长．

17．由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1）

18．如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且．

(1)若，求的长度；
(2)若半径是5，求正方形的边长．
19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点A，B的圆的圆心在边上．

(1)线段的长等于__________；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足的度数小于的度数，并说明理由．
(3)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________．
20．如图，四边形内接于，对角线是的直径，与相切于点C，连接交于点P．

(1)求证：；
(2)若，求的值．
21．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在上，且，弧的度数是．

(1)求线段的长；
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
22．如图，抛物线过点，，且与y轴交于点C，点E是抛物线对称轴与直线的交点

(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：；
(3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为x，以点B、E、P为顶点的的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．
23．【问题提出】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．

【模型应用】
(1)若，平面内一点C满足，若点C所在圆的圆心为O，则__________，劣弧的长为__________．
(2)如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为4，求的最小值．

参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．C
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：；
再向下平移两个单位长度所得抛物线的解析式为：，即．
故选：C
【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
3．A
【分析】反比例函数的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
【详解】解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限，
∴1﹣k＞0，
∴；
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
4．B
【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．
【详解】如图：作AB⊥x轴于点B，
∵点A坐标为（3，1），
∴OB=3，AB=1，

在RtABO中，根据勾股定理AO=,
∴sinα=，
故选B．
【点睛】此题考查锐角三角函数，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．C
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【详解】3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．B
【详解】如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=57°.
故选B.

7．C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出的度数．
【详解】解：连接CD，

则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD是解题的关键．
8．A
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义进行思考，需要做出辅助线构造矩形ADOE，再根据进行求解．
【详解】解：延长BA交y轴于E，如图，

∵，，，
∴，
即，
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，即反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．解题关键构造矩形．
9．A
【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解．
【详解】如图：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1＝30°
∴a＝2cos∠1＝，
∴a＝2．
故选：A．

【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
10．A
【分析】分别根据当点P在上运动和运动两种情况进行讨论，通过C是弧的中点得到是等腰直角三角形，根据，得到四边形为矩形，计算出矩形的边长即可得到面积，从而得到函数表达式，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：∵C是弧的中点，
∴,
∵是直径，
∴是等腰直角三角形，,
∵，
∴，四边形为矩形，
当点P在上运动时，
∵，
∴，，
∴四边形的面积，
当点P在上运动时，，如下图所示，

∵,，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
∴，
∴y随x变化的函数图像大致为A所示，
故选：A
【点睛】本题考查圆和二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到函数的表达式．
11．6
【分析】根据比例中项的性质可知，结合，解出c的值即可．
【详解】解：设线段a和b的比例中项为c，
根据比例中项的性质，得：，
∴．
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项，是基础考点，熟练掌握相关知识是解题关键．
12．15π．
【详解】试题分析：∵OB=BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：×6π×5=15π．故答案为15π．
考点：圆锥的计算．
13．
【分析】先设AB的边长为x，根据角之间的关系得出AC与BC的长，从而可求得与之间的数量关系．
【详解】解：设AB的边长为x，
∵，
∴，
∴，
∵AC是直径，
∴，
∴AC=2x，
根据勾股定理可得，
即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对圆周角为直角，含角的直角三角形边长之间的关系，三角形外角等知识，解题的关键是找到边长之间的关系．
14．          或或
【分析】（1）分别连接BE、DF，两线交于点M，连接CM，由矩形性质及直角三角形斜边上中线的性质可得CD⊥CF；则易证明△ABD∽△CBF，从而可求得结果的值；
（2）分三种情况考虑：BC=CD=3；BD=BC=3；BD=CD，利用（1）中相似三角形的性质及等腰三角形的性质即可求得CF的长．
【详解】（1）分别连接BE、DF，两线交于点M，连接CM，如图．
由点A、C的坐标知，OA=3，OC=4，
∵四边形OABC是矩形，


∴AB=OC=4，BC=OA=3，∠BCO=∠ABC=90°．
∵四边形DEFB是矩形，
∴∠DBF=∠DEF=90°，DE=BF，DM=FM=EM=BM．
∴∠DBC+∠CBF=∠ABD+∠DBC．
∴∠ABD=∠CBF．
∵CM是斜边BE是的中线，
∴CM=EM=BM．
∴DM=CM=FM．
∴∠MDC=∠MCD，∠MCF=∠MFC．
∵∠MDC+∠MCD+∠MCF+∠MFC=180°，
∴∠MCD+∠MCF=90°，
∴CD⊥CF．
∴∠DCF+∠DBF=180°，
∴∠BDC+∠CFB=360°−(∠DCF+∠DBF )=180°．
∵∠BDC+∠BDA=180°，
∴∠BDA=∠CFB．
∵∠ABD=∠CBF，
∴△ABD∽△CBF．
∴．
∴．
故答案为：．

（2）①当BC=CD=3时；
由勾股定理得，
∴AD=AC−CD=2，
由（1）知：△ABD∽△CBF，
∴．
∴．
②当BD=BC=3时；过点B作BN⊥CD于N，如图；

则CD=2DN．
∵，
∴．
由勾股定理得：，
∵,
∴．
③当BD=CD时，则点D在线段BC的垂直平分线上，如图；
∴DG∥AB，
∴，
即点D是AC的中点．
∴．
∴．

综上所述，CF的长为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．本题具有一定的综合性，注意分类讨论．
15．
【分析】将各特殊角的三角函数值代入化简求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】有关三角函数值的计算是一种重要题型，解这类问题时，要在熟记各种特殊角的三角函数值的基础上，先将各角的三角函数值代入，然后化简计算或者先根据代数式的特点，化简整理后再代入求值．
16．24
【分析】连接，根据垂径定理得到，根据求出、的长，根据求出的长，利用勾股定理求出，即可得到的长．
【详解】解：连接，如图所示：

∵为的直径，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，勾股定理解直角三角形，是解题的关键．
17．生命所在点C的深度为1.7m．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，然后根据三角函数进行求解即可．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：

由图可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°，
∵∠EBC=∠BAC+∠BCA，
∴∠BCA=30°，
∴AB=BC，
∵AB=2m，
∴BC=2m，
∴m，
答：生命所在点C的深度为1.7m．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．
18．(1)
(2)

【分析】（1）由四边形为正方形，得，则，又，，求出，再连接，构造直角三角形，求出和的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径，可得．
（2）证出是等腰直角三角形，得出，求出，连接，得出，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
连接，则为直角三角形，
∴，
∴即的半径为，
；

（2）四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
则正方形的边长为．
【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出是等腰直角三角形，得出，作出辅助线，利用勾股定理求解．
19．(1)
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）在直线上方的弧上找一点D，使得点C在内，连接，，延长，与交于E，根据外角的性质可得大小；
（3）取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，于是得到结论．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：；
故答案为：；
（2）如图，点D即为所求；
连接，，延长，与交于E，
∵，
∴，
∵，
∴；

（3）如图，取圆与网格线的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，
与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与点，的连线相交于点，连接，
则点满足．

理由：第一步：连接得圆心，因为，所以是直径．
第二步：点根据网格相似比，可以知道为的中点，所以是垂径．
第三步：连接并延长，交于，是半径等于，所以，
，，
，又，，
，
，
，
，
又，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，外角的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)2

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据同弧所对的圆周角相等可得，从而证明；
（2）证明，得到，设，得到，从而可得，利用勾股定理列出方程，求出x值，得到，求出，最后根据可得结果．
【详解】（1）解：是的直径，
，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），，
，
又，
，
，即，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
∴，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据相似三角形的性质得到比例式，求出是解题的关键．
21．(1)
(2)

【分析】（1）过作于，根据已知得到，根据直角三角形的性质得到，求得根据线段的和差即可得到结论；
（2）根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：过作于，

∵弧的度数是，
，又，
∴，
，
∴
，
，
，，
；
（2）．
【点睛】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
22．(1)
(2)见解析
(3)；

【分析】（1）将点A、B坐标代入列方程求出a、b即可得；
（2）由、且，利用平行线分线段成比例定理可得；
（3）利用待定系数法求得直线解析式，从而求得点E的坐标，作轴于点F，轴于点G，设点，根据的面积为列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【详解】（1）解：将点，代入，
得：，
解得：，
则抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
则、，
∵，
∴，
即；
（3）解：∵点、，
∴设直线解析式为，
则，
解得：，
∴直线解析式为；
当时，，
∴，
如图，作轴于点F，轴于点G，

设点，
则的面积为：
，


，
∴当时，S取得最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行线分线段成比例定义及割补法求三角形的面积．
23．(1)；
(2)；

【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,求得，进而求得，根据可求得，根据即可求出劣弧的长度；
（2）①根据已知条件可得，证明，即可求得，根据三角形内角和定理即可求出；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值．
【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,

，，
，
，
，，

，
∴劣弧的长为
故答案为：，；
（2）①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
，
∴；

②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，

由题意的由“定弦定角”模型，可知,,
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
∴，
，
，
∵，
，

，
，
．
的最小值为．
【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键．