立体几何与空间向量专题讲义-2023二轮复习

这是一份立体几何与空间向量专题讲义-2023二轮复习，共47页。
\l "_Tc76889790" 9.3 立体几何与空间向量 PAGEREF _Tc76889790 \h 30
9.1 空间几何体
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1,如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥A﹣BB1C1的体积为
A． B．C．D．
【知识点一：空间几何体】
1：棱柱的定义与性质
3：表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底；
②侧面积：S侧=；
③体积：V= （S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V= 。
方法总结：
方法一：判断几何体的三个视图的形状要了解三视图的画法；通过三视图求原几何体的基本量（棱长、面积、体积），要注意“长对正、高平齐、宽相等”。
方法二：几何体的表面积体积计算关键是面积和高的计算。面积计算是平面几何问题，要明确平面图形的特征，高是点面距离，可通过作高计算，也可以用等积法转化计算。
9.2 空间中的点线面位置关系
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
线线平行
线面平行
面面平行
【知识点一：空间中的平行关系】
1：空间中的平行证明
2：两平面平行的性质定理
3：线线平行、线面平行、面面平行间的关系

由于三者之间相互沟通、相互联系，因此立体几何问题的解决往往可以一题多解（证）。
方法总结：
方法一：利用线面平行的性质定理解题
（1）利用线面平行的性质定理解题的步骤
（2）如果已知条件中给了线面平行或隐含线面平行，那么解决过程中，一事实上会用到线面平行的性质定理。在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行。
方法二：应用平面与平面平行的性质定理解题
（1）应用平面与平面平行的性质定理解题的基本步骤
【典型例题】
考点一：利用平行四边形证明线面平行
例1如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，
分别为棱的中点，．
（Ⅰ）求证：平面；

例2． 如图，在三棱柱中， 侧面和都是正方形，平面平面，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；

练1. 如图,四棱柱中,底面为矩形,平面,分别为的中点,.
（Ⅰ）求证:平面;
考点二：利用中位线证明线面平行
例1． 如图，长方体中,，
，点为的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
例2． 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，．
（Ⅰ）求证：平面；
练1．如图，在正方体中，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
考点三：利用线面平行证明线线平行
例1．已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（Ⅰ）求证：点为中点；
例2．
如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点为棱上一点，平面与棱交于点．
（Ⅱ）求证：；
练1． 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为线段的中点. 底面，点是棱的中点，平面与棱相交于点.
（Ⅰ）求证：；

【知识点二：空间中的垂直关系】
【知识点：空间中直线、平面的垂直关系】
1：直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
即，
判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准.
如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的.
如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也是错误的，因为这无数条直线可能平行.
2：平面与平面垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
根据这个定义，知两个平面相交4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，那么这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直.按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角.两个平面相交，如果相交形成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对二面角，并注意两个平面所成的角与二面角的区别.
3：平面与平面垂直的性质
（1）两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
性质定理的符号表示形式：如果，那么.这个定理从侧面给出了判定直线与平面垂直的一种方法，也给出了过一点引一下平面的垂线的作法，只需找两个互相垂直的平面，在一个平面内作两平面交线的垂线，从而该垂线垂直于另一个平面.
知识4线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系

方法总结：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的.在关于垂直问题的论证中，要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线.如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法.
线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量.
勾股定理逆定理证明线线垂直
线线+线线→线面
线线+线线→线面→面面
线线+线线→线面→线线
【典型例题】
考点一：线面垂直的证明
例1．如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
例2． 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形， ，．
（Ⅰ）求证：平面；
练1. 如图，四棱锥中，平面，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
．
考点二：面面垂直的证明
例1． 如图，在四棱锥 中，平面，，底面是边长为2的正方形， 分别为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面.
例2．如图，在直三棱柱中，已知，，，为上一点，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
练1．如图，在四棱锥中，底面为菱形，AB＝PA，底面,，是上任一点，.
（I）求证：平面平面；
考点三：异面直线垂直的证明
例1．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．
（Ⅰ）求证：；
例2．如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．
（Ⅰ）求证：；
练1． 如图，在四棱锥中，底面是矩形，点为的中点，平面，，，.
A
B
C
D
P
E
（Ⅰ）求证:；
【知识点三：点线面位置关系综合应用】
三垂线定理
如果平面内的一条直线与一条异面直线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条异面直线垂直。
如图，直线在平面上的投影为，直线，则有.
如图正方体，分别为 中点，要过点做与直线垂直的平面，就要做出直线在平面、、上的投影、、，然后分别做出对应的垂线、、，那么这三条直线就都与直线垂直，所以平面与直线垂直。
考点三：空间中的点线面位置关系
例1.在棱长为的正方体中，，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是
A.点可以是棱的中点
B.线段的最大值为
C.点的轨迹是正方形
D.点轨迹的长度为
例2.
如图,等腰直角中,,点为平面外一动点,满足,给出下列四个结论:
= 1 \* GB3 ①存在点,使得平面平面;
= 2 \* GB3 ②存在点,使得平面平面;
= 3 \* GB3 ③设的面积为,则的取值范围是;
= 4 \* GB3 ④设二面角的大小为,则的取值范围是.
其中正确的结论是
A． = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③B． = 1 \* GB3 ① = 4 \* GB3 ④C． = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③D． = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④
练1.如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____．
①三棱锥的体积为；
②三棱锥的每个面都是锐角三角形；
③三棱锥中，二面角不会是直
二面角；
④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分
别记为，则.
练2.在边长为2的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一动点，且，则动点的轨迹所形成区域的面积是.
【小试牛刀】
1.如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面为矩形，且侧面底面，，分别是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
2.如图，在三棱锥中，，，，，,分别是,的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
3.在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则
A.在正方形内一定存在一点，使得
B.在正方形内一定存在一点，使得
C.在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D.在正方形内一定存在一点，使得平面
4.在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直．当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是
A．B．C．D．
【巩固练习——基础篇】
1.在三棱柱中，侧面为矩形，平面，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
2.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，
.
（Ⅰ）求证：；
【巩固练习——提高篇】
1.如图，在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
2.如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切）切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也成为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，，的半径分别为，，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是
A.B.C.D.
9.3 立体几何与空间向量
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
2. 如图，在四棱锥中，平面，，，,
,点为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
【知识点一：空间直角坐标系中的坐标表示】
1.空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2.空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
3.空间两点间的距离公式
(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝.
(2)在空间中，点与点之间的距离.
4.空间中的中点坐标公式
在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标是
【知识点二：直线及平面的坐标表示及线面位置关系的判定】
（一）直线、平面的坐标表示
1.直线与空间向量
若,是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；
与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
2.平面与空间向量
（1）平面的法向量
若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，
如果，那么向量叫做平面的法向量.
（2）平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
（二）空间中线面关系的判定
1.用向量方法判定空间中的平行关系
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，.
即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.
（2）线面平行
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外.
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
（3）面面平行
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，
即证.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.
2.用向量方法判定空间的垂直关系
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.
（2）线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，
若
即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.
（3）面面垂直
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，
只需证，即证.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直.
【知识点三：利用空间向量求空间角】
1.异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，
则
2.直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.
②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，
与的夹角为，则为的余角或的补角的余角.
即有：
3.二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线，，则为二面角的平面角.
如图：
O
A
B
O
A
B
l
②求法：
分别求二面角的两个半平面的法向量为；
设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
如果是锐角，则
如果是钝角，则
注：三种角度范围
异面角：
线面角：
二面角：
【典型例题】
考点一：异面直线夹角的计算
例1．
A
B
C
D
P
E
如图，在四棱锥中，底面是矩形，点为的中点，平面，，，.
（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小.
例2． 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，， 平面，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
练1.如图，在三棱柱中，平面，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；
考点二：线面角的计算
例1． 如图，在正方体中，为的中点．
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
例2． 如图，在四棱锥 中，平面，，底面是边长为2的正方形， 分别为的中点.
（Ⅱ）求直线 BF与平面所成角的正弦值.
练1． 如图，在长方体中，四边形为边长为1的正方形，，分别为中点．
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
考点三：二面角的计算
例1．如图，长方体中,，，点为的中点．
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
例2． 如图，在三棱锥中，，，，，,分别是,的中点.
（Ⅱ）求二面角的余弦值
练1． 如图，在四棱锥中，平面，，，,
,点为的中点.
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
练2．如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点．
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
考点四：劣构题型
例1．在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设平面平面，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角的大小确定，并求此二面角的余弦值．
条件①：；
条件②：平面；
条件③：平面平面．
练1．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
条件 = 1 \* GB3 ①：；
条件②：；
条件③：平面平面．
考点五：存在性问题
例1．如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点为棱上一点，平面与棱交于点．
（Ⅲ）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．
练1．已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（Ⅱ）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求．
【小试牛刀】
1.如图，四棱锥中，平面，，，，．
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
2. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【巩固练习——基础篇】
1. 如图，在四棱锥中，是边的中点，底面，．在底面中，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
2.如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
【巩固练习——提高篇】
1.在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为线段的中点. 底面，点是棱的中点，平面与棱相交于点.
（Ⅱ）若与所成的角为，求直线与平面
所成角的正弦值．
名称
棱柱
直棱柱
正棱柱
图形
定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个面的交线都互相平行的多面体
侧棱垂直于底面的棱柱
底面是正多边形的直棱柱
侧棱
平行且相等
平行且相等
平行且相等
侧面的形状
平行四边形
矩形
全等的矩形
过不相邻两侧棱的截面的形状
平行四边形
矩形
矩形
平行于底面的截面的形状
与底面全等的多边形
与底面全等的多边形
与底面全等的正多边形
定义
图形
判定定理
性质定理
符号语言
线线平行
同一平面内无公共点的两条直线平行
平面几何、立体几何中有关的判定定理
空间中平行于同一直线的两直线平行
线面平行
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行
判定:
判定:
面面平行
若两个平面无公共点，则称这两个平面平行
一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
判定
判定:
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理1
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
且
性质定理2
如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
且
文字语言
符号语言
图形语言
线面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
线面垂直的性质：
如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.
面面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行