精品解析：2023年陕西省西安市未央区中考数学模拟试卷

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2023年陕西省西安市未央区中考数学模拟试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. 3 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的概念即可得到答案．
【详解】解：的倒数是﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一个数的倒数，解题的关键是掌握倒数的概念：两个数乘积为1，则这两个数互为倒数．
2. 如图将一块三角板如图放置，，点分别在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和是180°可得出∠A的度数，直接利用平行线的性质得出∠QPC=∠ACM=38°，根据三角形外角性质即可得出的度数
【详解】解：∵
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-65°=25°
∵
∴∠QPC=∠ACM=38°
∴=∠QPC-∠A=38°-25°=13°
故选D.
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形内角和及三角形外角性质. 正确应用平行线性质是解题的关键.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. ，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟知运算法则是解题关键．
4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对边相等 B. 对角线互相垂直
C. 邻边垂直 D. 对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形和菱形的性质逐项排查即可．
【详解】解：A. 对角相等是平行四边形的性质，矩形和菱形都具有，故该选项不符合题意；
B. 对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项不符合题意；
C. 邻边垂直是矩形具有，菱形不具有的性质，故该选项符合题意；
D. 对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质,掌握矩形和菱形的性质的区别与联系是解答本题的关键．
5. 如图，在中，，D、E分别是的中点，连接，若，，则点A到的距离是（ ）

A. B. C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可求得的长度，设点A到的距离是h，由的面积相等可列式，从而点A到的距离即可求解．
【详解】解：∵在中，，D、E分别是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
设点A到的距离是h，
则，
即，
解得：，
∴点A到的距离是．
故选∶B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是用勾股定理和中位线的性质求出各线段的长度．
6. 如图，是在同一坐标系内作出的一次函数、的图象，设，，则方程组的解是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从图象可以得出两个函数的交点坐标为，而交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：由图象可知，
两个函数的交点是，
故方程组的解是，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），关键是理解两个函数图象的交点坐标即为二元一次方程组的解．
7. 如图，已知在中，，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆周角定理可求出，结合题意可求出，最后根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理．掌握同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半是解题关键．
8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…

0
1
3
…
y
…
6



…
下列选项中，正确的是（ ）
A. 这个函数的开口向下 B. 这个函数的图像与x轴无交点
C. 当时，y的值随x的增大而减小 D. 这个函数的最小值小于6
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线经过点，，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点可得抛物线开口向上，进而求解．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线经过点，
∴当时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在处取得最小值，且最小值小于．故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算，再计算3-5即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，化简是解答本题的关键．
10. 的大小顺序是__________（用“>”号连接）．
【答案】
【解析】
【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大反而小，连接起来即可．
【详解】因为，，是正数，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的原则是解题的关键．
11. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比约是黄金分割比．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为175cm，则此人的肚脐到足底的长度约是______（精确到1cm）．
【答案】108cm
【解析】
【分析】设此人的肚脐到足底的长度为x cm,由黄金分割的定义得≈0.618，即可解决问题．
【详解】解：设此人的肚脐到足底的长度为x cm，
∵某人身体大致满足黄金分割比，且身高为175cm，
∴≈0.618，
解得：x≈108，
即此人的肚脐到足底的长度约为108cm．
故答案为：108cm．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值约为0.618是解题的关键．
12. 点A（2，1）在反比例函数的图象上，当1＜y＜4时，x的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】首先将点A的坐标代入求得函数的解析式，然后根据其增减性确定函数值的取值范围即可．
【详解】首先将点A的坐标代入求得函数的解析式，然后根据k确定函数值的取值范围即可．
解：∵点A（2，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×1＝2>0，其图象在一、三象限，
∴y＝，
∵1＜y＜4，
当；，
∴x的取值范围是＜x＜2．
故答案为：＜x＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是确定其解析式，从而确定x的取值范围．
13. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时，点运动的距离为______．

【答案】或
【解析】
【分析】分点落在对角线上和点落在对角线上两种情况分别进行讨论求解，即可得出点运动额的距离．
【详解】解：分两种情况：
①当点落在对角线上时，连接，如图1所示：
∵将矩形沿折叠，点的对应点为点，且点恰好落在矩形的对角线上，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
根据折叠的性质可知：，
∴，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴点是的中点，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴点运动的距离为；

②当点落在对角线上时，作于，则，四边形为矩形，如图2所示：
在矩形中，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴点 运动的距离为；
综上所述：点运动的距离为或；
故答案为：或．


【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，三角形函数的应用等知识，熟练掌握矩形的性质、熟记翻折变换的性质是解题的关键．
三、（共13小题，计81分，解答应写出过程．14-20题各5分，21题6分，22、23题7分，24、25题8分，26题10分）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先算绝对值、算术平方根，零指数幂，再算乘法和加减法，即可求解．
【详解】解：


【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂和运算法则是解题的关键．
15. 解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．
【答案】不等式组的解集为：该不等式组的最小整数解为
【解析】
【分析】首先求出不等式组的解，然后可以得到该不等式组的最小整数解．
【详解】解：解第一个不等式可得：
解第二个不等式可得：
∴原不等式组的解集为：
∴该不等式组的最小整数解为
【点睛】本题考查求不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
16. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同分母分式的加减计算法则求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则进行求解即可．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：


．
【点睛】本题主要考查了分式的加减计算，分式的混合计算，熟知分式的相关计算法则是解题的关键．
17. 如图，点E、F分别是上的点，连接，分别交于点G、H，若，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟练掌握同位角相等两直线平行，和内错角相等两直线平行，是解题的关键．
18. 如图，在中，，D、E分别为、上一点，．若，求证：．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】证明，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边对等角，证明三角形全等，是解题的关键．
19. 一个四边形的形状和尺寸如图1所示．建立适当的直角坐标系，在坐标系中作出这个四边形，并标出各顶点的坐标．

【答案】图见解析，各顶点的坐标分别为．
【解析】
【分析】如图1，为了使这个四边形的各个顶点坐标容易确定，可以把点作为坐标系的原点，线段画在x轴上，那么就落在y轴上．选择适当的比例，求出A，B，C，D各点的坐标，再描点，用线段连结起来，就得到所求的图形．
【详解】解：建立直角坐标系如图2，选择比例为．取点E为直角坐标系的原点，使四边形的边AB在x轴上，则可得A，B，C，D各点的坐标分别为．

根据上述坐标在直角坐标系中作点A，B，C，D，并用线段依次连结备点，如图2中四边形就是所求作的图形．
【点睛】本题考查建立直角坐标系，并确定点的坐标和位置．解题的关键是：根据图形的特点，合理的建立直角坐标系．
20. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：（1）因为有，，种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我祖国》的概率是；
故答案为．

（2）树状图如图所示：

共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，
21. 小明和小华利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小华站在点B处，此时，小华影子的顶端E与旗杆的影子C顶端重合，且的长为2米；小明又让小华沿着射线的方向走15.2米到达旗杆的另一侧N处，此时，小华观测到旗杆顶端C的仰角为，已知小华的身高为1.8米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．

【答案】旗杆的高度为．
【解析】
【分析】由题意可知点E，A，C在同一条直线上．连接，过点作于点F．根据矩形的性质结合题意可知，．设，则，由题意可知，则，进而可求出．又易证，得出，代入数据，解出x的值即可．
【详解】∵小华影子的顶端E与旗杆的影子C顶端重合，
∴点E，A，C在同一条直线上．
如图，连接，过点作于点F．

∴四边形为矩形，
∴，.
∵，
∴.
设，则，
由题意可知，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
答：旗杆的高度为．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的应用．正确作出辅助线是解题关键．
22. 下图是一个运算程序：

（1）若，，求的值；
（2）若，输出结果的值是输入的值的两倍，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据x、y的值和运算程序得出，代入即可得出答案；
（2）由已知条件可得，，然后根据运算程序分和两种情况，分别列出关于m的方程，解方程即可得出m的值，再由的值是的值的两倍，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由已知条件可得，，则，
当，即时，可得，
解得，
此时，不符合题意，舍去；
当，即时，可得，
解得，
此时，符合题意，
综上，．
【点睛】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，把满足条件的字母的值代入计算得到对应的代数式的值，也考查了观察图表的能力．
23. 为了解学生参加户外活动情况，某中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：

（1）被抽样调查的学生有______人，并补全条形统计图．
（2）每天户外活动2小时对应的圆心角度数是______．
（3）该校共有2000名学生，请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人？
【答案】（1）图见解析
（2）
（3）800人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得被调查学生总数和小时的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）用乘以每天户外活动2小时对应的百分比，即可求解；
（3）用2000乘以每天户外活动时间超过1小时的学生人数所占的百分比，即可求解．
【小问1详解】
解：被抽样调查的学生有（人），
每天参加户外活动小时的人数为（人），
故答案为∶500
补全统计图如下∶
【小问2详解】
解：每天户外活动2小时对应的圆心角度数是
故答案为∶
【小问3详解】
解：（人）
答：该校每天户外活动时间超过1小时的学生有800人．
【点睛】本题考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
24. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，．给出下列三个条件：①，②，③．

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为______，你判定的依据是______（填“”或“”或“”或“”）；
（2）请用（1）中所选条件证明；
（3）可看作是由沿方向平移得到的，过B作于M，当，，是以为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离的长．
【答案】（1）②，（或③，）
（2）见解析 （3）12或
【解析】
【分析】(1)根据三角形的判定定理即可解答；
(2)根据(1)所选取的条件，证明三角形全等即可；
(3)首先根据勾股定理可求得的长，再分两种情况，即和，分别计算即可求得．
【小问1详解】
解：已知，，
故只要再添加一对角或已知相等角的边，即可使得，
故答案为：②，（或③，）；
【小问2详解】
证明：选②，
在和中，
，
；
【小问3详解】
解：如图：

在，，，
，
当时，
是等腰三角形，，
；
当时，
设，则，
在，，
得，
解得，
综上，的长为12或．
【点睛】本题考查了添加条件使三角形全等及证明，等腰三角形的性质，勾股定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
25. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为 2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）一辆货车高4m，宽4m，能否从该隧道内通过，为什么？

【答案】(1) ；(2) 货车能通过隧道
【解析】
【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令x=2，算出y与4作比较即可得出结论．
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k．
根据题意得：顶点（4，6），点A（0，2），
∴y=a（x﹣4）2+6．
∵它过点（0，2），
∴a（0﹣4）2+6=2，解得a=﹣，
∴设抛物线的解析式为；
（2）当x=2时，y=5＞4，
∴该货车能通过隧道．
26. 如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上．

（1）当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；
（2）当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；
（3）在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）A（2，2）；
（2）（2，2）或（10，﹣2）；
（3）在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）
【解析】
【分析】（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点，据此求解即可；
（2）根据△ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标；
（3）设点A的坐标为，根据两点间距离公式表示出，，，再利用勾股定理建立方程，求解即可．
【小问1详解】
如图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上．

∵B（0，0），C（4，0），
∴BC的中垂线为x＝2．
又点A在直线l：y＝﹣x+3上，
∴y＝﹣×2+3＝2，
即A（2，2）；
【小问2详解】
设A（a，b）．则依题意得
BC•|b|＝4，即×4|b|＝4，
解得|b|＝2
∴b＝±2．
①当b＝2时，2＝﹣a+3，
解得 a＝2
则A（2，2）；
②当b＝﹣2时，﹣2＝﹣a+3，
解得 a＝10
则A（10，﹣2）．
综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，﹣2）；
【小问3详解】
设点A的坐标为，
B（0，0），C（4，0），
，，，
∠BAC＝90°，
，即，
解得或，
所以，在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解．