2022-2023学年陕西省咸阳市武功县高三上学期1月（月考）第二次质量检测理科数学试题含答案

武功县2022-2023学年高三上学期1月第二次质量检测

数学（理科）试题

注意事项：

1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，务必将答题卡上密封性内的各项目填写清楚.

3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，集合满足，则

A. B. C. D.

2.已知为虚数单位，且复数满足，则复数

A. B. C. D.

3.下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是

A. B. C. D.

4.已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的个数为

①平面内的所有直线均与直线异面；

②平面内存在与直线垂直的直线；

③平面内不存在直线与直线平行；

④平面内所有直线均与直线相交.

A.1 B.2 C.3 D.4

5.已知、为实数，则“”是“”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

6.图中的函数图象所对应的解析式可能是

A. B. C. D.

7.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太一算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算这5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有

A.108种 B.136种 C.126种 D.240种

8.某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是

A.所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业

B.估计该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的占35%

C.估计该地高三年级学生完成作业的平均时间超过2.7小时

D.估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间

9.2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟十五号乘组3名航天员费俊龙、邓清明、张陆踏上飞天圆梦之旅.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度当时，千米/秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使达到8千米/秒，则约为（参考数据：，）

A.135吨 B.160吨 C.185吨 D.210吨

10.已知数列中，，，，则下列结论错误的是

A. B. C.是等比数列 D.

11.已知椭圆的离心率为，点，为椭圆的长轴顶点，直线与椭圆交于，两点，记，分别为直线和直线的斜率，则的最小值为

A. B. C. D.

12.已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的取值范围为

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列满足，则__________________.

14.如图，在中，，，为的中点，则_____________.

15.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：______________.

16.在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）在中，，，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积.

18.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若抛物线上一点到的距离为4，求的坐标.

19.（本小题满分12分）为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质能力，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台开设书法兴趣班.为了解学生对这个兴趣班的喜爱情况，该校随机抽取了本校100名学生，调查他们对这个兴趣班的喜爱情况，得到数据如下：

以调查得到的男、女学生喜爱书法兴趣班的频率代替概率.

（Ⅰ）从该校随机抽取1名男学生和1名女学生，求这2名学生中恰有1人喜爱书法兴趣班的概率；

（Ⅱ）从该校随机抽取4名女学生，记为喜爱书法兴趣班的女生人数，求的分布列与数学期望.

20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，侧棱长为3，底面是边长为2的正三角形，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.

21.（本小题满分12分）已知，函数.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）证明：.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为：.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，与曲线交于点（异于原点）.

（Ⅰ）求曲线，的及坐标方程；

（Ⅱ）求的值.

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

武功县2022-2023学年高三上学期1月第二次质量检测

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.C   2.A   3.D   4.B   5.A   6.A   7.C   8.D   9.B   10.D   11.C   12.C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.1      14.      15.（或或） 16.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得，由余弦定理得，

∵，，∴，化简得，解得或.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，或，

当时，，与题意不符；当时，，符合题意，

∴，∵，，∴，

∴的面积.

18.解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，

双曲线的渐近线方程为，即，

∴焦点到双曲线的渐近线的距离，解得，

∴抛物线的方程为.

（Ⅱ）设，由抛物线的定义可知，

即，解得，

将代入抛物线的方程中，得，

∴的坐标为或.

19.解：（Ⅰ）由题意可知，该校男学生喜爱书法兴趣班的频率为，

该校女学生喜爱书法兴趣班的频率为，

故所求概率.

（Ⅱ）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，且，

∵，

∴，，，，，

∴的分布列为：

数学期望.

20.解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，底面，平面，

∴，∵为等边三角形，为的中点，∴，

∵，且平面，平面，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（Ⅱ）取中点，连接，易知、、两两垂直，

建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示，

则，，，∴，，

设平面的法向量为，

则取，得，，

∴平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，

∴，

故平面与平面夹角的余弦值是.

21.解：（Ⅰ）当时，，，则.

易知在上单调递增，且，

∴当时，，当时，，

故的单调递减区间为，单调递增区间为.

（Ⅱ）证明：要证，只需证，

即证，令，则，

∴当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

故，∴，

令，则，

∴当时，，当，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

故，∴，

故成立，∴成立.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程（为参数），转换为普通方程为，

由，，得曲线的极坐标方程为，整理得，

同理，得曲线的极坐标方程为，即.

（Ⅱ）联立得，∴，

联立得，∴.

23.解：（Ⅰ）当时，，

当时，，即为，解得；

当时，，即为，无解；

当时，，即为，解得，

综上，不等式的解集为.

（Ⅱ），若，则，

当时，不等式恒成立；

当时，，不等式两边同时平方可得，，解得，

此时，综上，的取值范围为.