2023版考前三个月冲刺专题练　第12练　三角函数的概念与三角恒等变换

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第12练　三角函数的概念与三角恒等变换


1．(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2
B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为
D．偶函数，最大值为
答案　D
解析　由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)
＝cos x－cos 2x＝f(x)，
所以该函数为偶函数，
又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cos x＋1
＝－22＋，
所以当cos x＝时，f(x)取最大值.
2．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二　因为tan 2α＝＝
＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，
解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
3．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)
A.　 B. C. D.
答案　A
解析　由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
4．(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|等于(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，
∴＝，
又cos α≠0，∴＝，
∴tan α＝±，即＝±，
∴|a－b|＝.
5．(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　)
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案　C
解析　由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)·sin β，整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.
6．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C.·＝·
D.·＝·
答案　AC
解析　由题意可知，
||＝＝1，
||＝＝1，
所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，取β＝，
则P2，
则||≠||，故B错误；
因为·＝cos(α＋β)，
·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以·＝·，故C正确；
因为·＝cos α，
·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)
＝cos(α＋2β)，
取α＝，β＝，
则·＝，·＝cos ＝－，
所以·≠·，故D错误．
7．(2022·北京)若函数f(x)＝Asin x－cos x的一个零点为，则A＝________；f ＝________.
答案　1　－
解析　依题意得f ＝A×－×＝0，解得A＝1，
所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
所以f ＝2sin＝2sin＝－.
8．(2020·江苏)已知sin2＝，则sin 2α的值是________．
答案　
解析　因为sin2＝，
所以＝，即＝，
所以sin 2α＝.

9．(2022·枣庄模拟)已知sin＝，则cos等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　cos＝cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
10．(2022·南京师大附中模拟)已知sin x＋cos x＝－，则cos 2x等于(　　)
A．－ B.
C．－ D．±
答案　D
解析　因为sin x＋cos x＝－，
故(sin x＋cos x)2＝，
所以2sin xcos x＝－，
故x为第二或第四象限角，
则(sin x－cos x)2＝，
故sin x－cos x＝±，
即cos x－sin x＝±，
所以cos 2x＝cos2x－sin2x
＝(cos x＋sin x)(cos x－sin x)＝±.
11．(2022·淄博模拟)－2cos 10°等于(　　)
A. B. C. D．2
答案　A
解析　－2cos 10°＝
＝＝
＝＝.
12．(2022·潍坊模拟)在平面直角坐标系Oxy中，若角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，且终边经过点P(－1,2)，则等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　因为角α的终边经过点P(－1,2)，
所以x＝－1，y＝2，r＝|OP|＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
则sin 2α＝2sin αcos α＝－，
故＝＝.
13．(多选)(2022·重庆巴蜀中学模拟)已知f(x)＝5sin x＋12cos x(x∈R)在x＝x0处取得最大值a，则(　　)
A．a＝13
B．f ＝－13
C．sin x0＝
D．cos＝－
答案　ACD
解析　由题设知f(x)＝13sin(x＋φ)且sin φ＝，cos φ＝，则f(x0)＝13sin(x0＋φ)＝a＝13，A正确；
所以sin(x0＋φ)＝1，
而f ＝13sin
＝13cos(x0＋φ)＝0，B错误；
由上知x0＝2kπ＋－φ且k∈Z，
则sin x0＝sin＝cos φ＝，C正确；
同理cos x0＝，则cos＝(cos 2x0－sin 2x0)＝(2cos2x0－1－2sin x0cos x0)
＝－，D正确．
14．(2022·潮汕模拟)小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴(如图)，由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则cos∠BAC等于(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图所示，

易知“水滴”的水平宽度为|OA|＋R，竖直高度为2R，
则由题意知＝，
解得|OA|＝R，AB与圆弧相切于点B，
则OB⊥AB，
在Rt△ABO中，
sin∠BAO＝＝＝，
由对称性可知∠BAO＝∠CAO，
则∠BAC＝2∠BAO，
∴cos∠BAC＝1－2sin2∠BAO
＝1－2×2＝.
15．(2022·宜宾模拟)已知tan α＋tan β＝3，cos αcos β＝，则sin(α＋β)＝________.
答案　
解析　tan α＋tan β＝＝3，
因为cos αcos β＝，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)
＝3cos αcos β＝.
16．(2022·陕西宝鸡中学模拟)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝________.
答案　0
解析　sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)
＝sin 30°sin(θ＋15°)－cos 30°cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)
＝－cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＝0.

[考情分析]　三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现．
一、三角函数的定义、诱导公式及基本关系式
核心提炼
1．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
练后反馈
题目
4
8
9
10
13




正误









错题整理：

二、两角和与差的三角函数
核心提炼
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝.
练后反馈
题目
5
6
7
11
15
16



正误









错题整理：

三、三角恒等变换
核心提炼
1．二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.
2．半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
练后反馈
题目
1
2
3
12
14




正误









错题整理：


1．[T3补偿](2022·西安模拟)已知θ∈，且cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ等于(　　)
A．0 B. C．－ D．2
答案　C
解析　由cos 2θ＋cos θ＝0，
得2cos2θ＋cos θ－1＝0，
即(cos θ＋1)(2cos θ－1)＝0，
因为θ∈，
所以cos θ>0，进而得cos θ＝，
故θ＝，
所以sin 2θ＋sin θ＝sin ＋sin 
＝sin ＋sin＝－2sin ＝－.
2．[T4补偿](2022·郑州模拟)已知α∈，且sin 2α＋sin2α＝，则cos 2α等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　B
解析　依题意知，＝，
即＝，
整理得3tan2α＋20tan α－7＝0，
因为α∈，即tan α>0，
解得tan α＝，
所以cos 2α＝＝＝.
3．[T12补偿](2022·长春模拟)已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin＋cos(π－2α)等于(　　)
A．－ B. C. D.
答案　D
解析　由已知sin＋cos(π－2α)
＝cos α－cos 2α，
因为角α的终边与单位圆交于点P，
所以cos α＝＝，
cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以cos α－cos 2α＝－＝.
4．[T10补偿](2022·毕节模拟)函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin 2x的最大值为(　　)
A．1 B．1－ C．1＋ D．3
答案　C
解析　f(x)＝sin x＋cos x＋sin 2x
＝sin x＋cos x＋2sin xcos x，
令t＝sin x＋cos x＝sin，
所以t∈[－，]，
则t2＝(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，
所以2sin xcos x＝t2－1，
所以原函数可化为y＝t2＋t－1，t∈[－，]，
对称轴为t＝－，
所以当t＝时，y＝t2＋t－1取得最大值，
所以函数f(x)的最大值为()2＋－1＝1＋，
即f(x)＝sin x＋cos x＋sin 2x的最大值为1＋.
5．[T9补偿](2022·衡水模拟)已知sin＝－，则cos＝________.
答案　
解析　cos＝－cos
＝－cos
＝－sin＝.
6．[T11补偿](2022·淄博模拟)＝________.
答案　
解析　因为
＝＝＝.