2022-2023学年山东省临沂市第一中学高二上学期期末考试数学试题 解析版

临沂一中2021级高二上学期期末检测

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 已知空间向量，，，若，则（    ）

A. 2 B.  C. 14 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量平行的性质即可.

【详解】因为空间向量，，，

如果，则，

所以，

解得，

所以，

故选：C.

2. 设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角的取值范围为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到，结合正切函数的图象及，数形结合得到直线l的倾斜角的取值范围.

【详解】由题意得：，

因为，且，，

画出的图象如下：

所以

故选：D

3. 抛物线的准线方程为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.

【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，

又准线方程是，所以，

所以

故选：C

4. 已知等比数列的前项积满足，则（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用等比数列通项的性质，由可求得，再由可求值

【详解】等比数列的前项积，，，

.

故选：C

5. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ）

A. ​ B. ​

C. ​ D. ​

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.

【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，

则焦点到渐近线的距离，

所以，即双曲线方程为：.

故选：B

6. 若等差数列的前项和为，则“，”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断，由时，即可说明不必要性.

【详解】由，可得单调递增，且公差大于0，

故，，

即，，即，因此，

当时，此时单调递减，则不可能满足，，

因此“，”是“”的充分不必要条件，

故选：C

7. 设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.

【详解】解:由题知圆:,

为抛物线焦点,为抛物线准线,

则过点向作垂线垂足为,如图所示:

则,

根据抛物线定义可知,

,

=,

若求的最小值,只需求的最小值即可,

连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,

此时最小,为,

,

,

.

故选:B

8. 已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆去双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.

【详解】设P为第一象限的交点，

则由椭圆和双曲线的定义可知，

∴在△中由余弦定理得：

即：

∴，即：

∴

当且仅当，即时，取得最小值为3.

故选：B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（    ）

A. 若，则，的夹角是钝角

B. 若，，则

C. 若，则

D. 若，，，则，，可以作为空间中的一组基底

【答案】BD

【解析】

【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.

【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；

B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；

C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；

D：假设，，是共面向量，

所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，

故选：BD

10. 已知曲线.（    ）

A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为

C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D. 若m=0，n>0，则C两条直线

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.

【详解】对于A，若，则可化为，

因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

11. 如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据由累加法可得，进而结合选项可判断A.B.C,

根据裂项相消法则可判断D.

【详解】由题意得，，，，…，，

以上个式子累加可得，

又满足上式，所以，

由已知，，，，，

得,故正确;

因为,则,故错误;

由通项公式得,故正确；

由，

得，

故D正确.

故选：.

12. 在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（    ）

A. CN与QM异面 B. 三棱锥的体积跟λ的取值无关

C. 不存在λ使得 D. 当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为

【答案】BD

【解析】

【分析】证明可判断A；由等积法可判断B；建立坐标利用向量数量积可判断C；求出截面梯形的面积可判断D

【详解】连AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为的中位线.

∴，则CN，QM共面，A错.

为定值，B对.

如图建系，，则

，

，C错.

截面如图所示，图形ACFQ，过Q作AC的垂线 垂足为G.

，

∴，D对.   

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知两直线，，若，则实数______．

【答案】或

【解析】

【分析】根据，再解方程即可得答案．

【详解】解：因为，，且，

所以，，即，解得或；

所以，实数或

故答案为：或

14. 已知数列满足，，则_______.

【答案】2

【解析】

【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.

【详解】求不动点，设，令得：，化简得：，

显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，由题意，，所以，，，，，，

从而是以6为周期的周期数列，故.

故答案为：2

15. 已知平面的一个法向量，点在平面内，若点在平面内，则___________

【答案】

【解析】

【分析】利用向量垂直列方程，化简求得

【详解】根据题意可得，

因为平面的一个法向量，

所以，解得，

故答案为：

16. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P是双曲线右支上的一点，与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是______.

【答案】3

【解析】

【分析】先利用切线长定理求得双曲线半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率

【详解】设的内切圆在边上的切点分别为，

则，

又由，可得，则，

则，

又，则，即，

由，可得，即，

则双曲线的离心率，

故答案为：3

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 如图所示，平行六面体的底面是菱形，，，，，，设，，．

（1）试用，，表示，；

（2）求MN的长度．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将 当作基底，按照向量线性运算的规则计算即可；

（2）运用向量求模的方法计算.

【小问1详解】

如图，连接AM，AN， ，

，

，  ， ；

【小问2详解】

由条件得： ，

，

，

；

综上，，，  .

18. 已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．

（1）求直线的一般式方程；

（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；

（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．

【小问1详解】

解：由题意知，解得，

直线和的交点为；

设直线的斜率为，与直线垂直，；

直线的方程为，化为一般形式为；

【小问2详解】

解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为

，由垂径定理得，

解得，

圆的标准方程为．

19. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，．

（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；

（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得公差，即可写出通项公式；

（2）根据等比数列的基本量，求得，再求解不等式即可.

【小问1详解】

设数列为公差为的等差数列，由，，

可得，解得，

故.

【小问2详解】

数列为公比为的等比数列，由，，

可得，即，

则，

由，即可得：，

则，故的最小值为7．

20. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；

（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；

（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得、、、、

、、、、.

（Ⅰ）依题意，，，

从而，所以；

（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，

，．

设为平面的法向量，

则，即，

不妨设，可得．

，

．

所以，二面角正弦值为；

（Ⅲ）依题意，．

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

21. 已知数列满足且，且.

（1）求数列的通项公式;

（2）设数列的前项和为，求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；

（2）利用裂项相消求和法求出即可证明.

【小问1详解】

解：因为，所以，

两式相减得，

当时，， 又，所以，

所以，

所以是首项为2，公比为2的等比数列，

所以；

【小问2详解】

证明：，

所以， 由，得，

所以，

综上，.

22. 如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）存在

【解析】

【详解】 ① ②

②代入①得

考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.