2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高二上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高二上学期1月期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高二上学期1月期末数学试题一、单选题1．已知，则数列的图象是（    ）A．一条直线 B．一条抛物线C．一个圆 D．一群孤立的点【答案】D【分析】数列的通项公式为，可以看作为关于n的一次函数，由变量即可得出答案.【详解】数列的通项公式为，可以看作为关于n的一次函数，变量，数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点.故选：D．2．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是A． B． C． D．【答案】C【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可【详解】向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，对于选项A：，故，，共面，故A错误，对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误，对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确，对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误，故选C．【点睛】本题考查了空间向量基本定理、空间向量的基底，属简单题3．已知A、B、C三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据四点共面的性质进行判断即可.【详解】M与A、B、C共面的条件是，且，故B选项正确，故选：B4．已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】由题得∴或A∩B={(1,0),(0,1)}.故选C.5．在等比数列中，如果，，那么（    ）A．135 B．100 C．95 D．80【答案】A【分析】根据已知条件求得，从而求得正确答案.【详解】设等比数列的公比为，，，.故选：A6．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出给定函数的定义域，再分析当和时的函数值范围，即可判断作答.【详解】函数的定义域为，选项A不满足；当时，，有，选项B不满足；当时，，则恒有，选项C不满足；显然选项D符合题意.故选：D7．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|="2" =4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得 = ∴双曲线渐进线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C【解析】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用．点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案．8．青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿､用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡､锦､铅､磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将实际问题转化成坐标系中的双曲线模型，列方程求解.【详解】依题意，该酒杯可近似看成双曲线模型，建立直角坐标系，并作出双曲线如下：设均和轴垂直.则，，设双曲线的方程为：，根据双曲线经过，可知，设的纵坐标分别为，结合图像可知，由可得：，，解得，根据可知，，解得，于是.故选：B二、多选题9．（多选）在棱长为1的正方体中，M是线段上一个动点，则结论正确的是（    ）A．直线垂直于直线B．存在点M使得二面角为的二面角C．存在点M使得异面直线与所成角为D．三棱锥的体积为【答案】ABC【分析】根据正方体的性质，结合平行线的性质、二面角的定义、三棱锥体积公式、异面直线所成角定义逐一判断即可.【详解】由题意可知，，，∴，A正确；当M为中点时，二面角的平面角为，所以B正确；异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，为正三角形，当M为中点时，，C正确；三棱锥的体积为，D错误．故选：ABC．10．已知无穷等差数列的前项和为，，，则（    ）A．数列单调递减 B．数列没有最小项C．数列单调递减 D．数列有最大项【答案】ABD【分析】首先判断数列的单调性，即可判断A、B，再根据等差数列求和公式及二次函数的性质判断C、D.【详解】解：数列的前项和为，，由于，故数列为单调递减数列，且数列为无穷等差数列，故数列没有最小项，故A正确、B正确；又，，二次函数开口向下，对称轴为，故数列有最大项，没有最小项，故D正确，因为，无法判断与的大小，即的取值，故无法判断数列的增减性，故C错误．故选：ABD．11．下列不等式中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】选项A,构造函数，选项B构造函数，选项D构造函数，由导数确定单调性后可比较大小得不等式结论，选项C利用对数的运算法则和不等式性质判断．【详解】选项A，令，∴，∴时，即在上单调递增，∵，∴，即，即，即，故A正确；选项B，令，∴，∴时，，即在上单调递增，又，∴，即，故B错误；选项C，，故C正确；选项D，令，∴，∴时，，即在上单调递减，，∴，即，即，故D错误；故选：AC．12．在平面直角坐标系中，是圆上的两个动点，点坐标为，则下列判断正确的有（    ）A．面积的最大值为1B．的取值范围为C．若为直径，则D．若直线过点.则点到直线距离的最大值为【答案】ABD【分析】根据三角形面积公式即可判断A，根据直线与圆相切可判断B,根据向量的加法法则可判断C,根据点到直线的距离可判断D.【详解】，（如图1）由于，所以，当时，取最大值为1，故 的面积最大值为1，A正确；设当直线分别与圆相切时，此时最大，（如图2）由于，所以在中， ，因此，故B正确；当是直径时，是的中点，则,故C错误；当时，此时圆心到直线的距离最大，且最大值为 ,（如图3）故点到直线距离最大值为，故D正确；故选：ABD三、填空题13．在长方体中，，则点到平面的距离为________．【答案】##【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，再代入点到直线的距离公式计算.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，，则点到平面的距离为.故答案为：14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则an=_______【答案】【分析】根据即可求出结果.【详解】当时，，所以，当时，，，，即，所以数列{an}是1为首项，3为公比的等比数列，故.故答案为：.15．已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，两两互相垂直，且，若球O的表面积为 _____．【答案】【分析】把三棱锥补成成长方体，结合球的表面积公式进行求解即可.【详解】如图，将三棱锥补全成如图的长方体，则根据对称性可得：三棱锥的外接球的直径为长方体的体对角线，设球的半径为R，又，∴，故∴球O的表面积为．故答案为：16．，若关于x的方程在上有根，则实数m的取值范围是 _____．【答案】．【详解】问题化为在上有根，令，由导数求得在上的值域即得．【解答】若关于x的方程在上有根，即在上有根，令，则，时，，时，，则在上单调递增，在上单调递减，，，所以，若使在上有根，则．故答案为：．四、解答题17．圆，直线.（1）求证：直线过定点；（2）求被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）被圆截得的弦长最小值为，此时.【解析】（1）将直线的方程变形为，解方程组，即可求得直线所过定点的坐标；（2）分析出当时，直线被圆截得的弦长最短，利用直线与直线的斜率之积为可求得实数的值.【详解】（1）将直线的方程变形为，解方程组，解得，因此，直线过定点；（2）如下图所示，设直线交圆于、两点，设圆心到直线的距离为.①当时，；②当不与垂直时，.综上所述，，所以，，此时，，由已知可得，解得.【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.18．设数列的前n项和为，，．(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）推导出，利用等差数列的定义可证得结论成立；（2）求得，利用错位相减法可求得.【详解】（1）证明：由，，可得，则数列是首项为1，公差为1的等差数列；（2）由（1）可得，则，所以，则，，上面两式相减可得，化简可得19．如图， 三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点(1)求证：平面：(2)求二面角的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，利用余弦定理求出，利用勾股定理逆定理得到，进而证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值.【详解】（1）连接∵，，，∴由余弦定理得：，∴，∴，又侧面，平面，∴，又，，面，∴平面；（2）由题意及（1）中的垂直关系，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，所以设平面的一个法向量为，则，即，令，求得，∴由图知二面角为锐角，故其余弦值为20．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.02In﹣0.2．策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.08In﹣0.46．当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？(2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？【答案】(1)分类讨论，答案见祥解；(2)第9周.【分析】（1）分三种情况讨论即可；（2）根据题意，时，选择策略B，根据策略B的数列，求出数列的通项公式，根据条件列出不等式，解之即可求解.【详解】（1）策略A：，策略B：，当，可得，当时，两者相等，当时，用策略B将使第二周的虫害的严重程度更小；当时，用策略A将使第二周的虫害的严重程度更小；（2）由（1）可知：当时，选择策略B，所以当时，选择策略B，因为，所以数列是递减数列，，也即，由等比数列的通项公式可得：，正整数范围内解不等式，得所以虫害的危机最快在第9周解除．21．已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．(1)求的方程；(2)、为椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积为，求证直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由直线的斜率为可求得的值，利用点在椭圆上可得出的值，由此可得出椭圆的方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论：在直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据可得出、所满足的关系式，可求得直线所过定点的坐标；在直线的斜率不存在时，直接验证即可.综合可得出结论.【详解】（1）解：因为，所以，可得，因为点在椭圆上，所以，可得，所以椭圆的方程为.（2）证明：由（1）可得，当直线的斜率存在时，设直线的直线方程为，设、，联立，整理可得，，可得，由韦达定理可得，，则，由题意可得，整理可得，解得或，当时，则直线的方程为，直线恒过定点（舍）；当时，则直线的方程为，直线恒过定点；当直线直线的斜率不存在时，设直线，代入椭圆的方程可得，可得，设、，则，显然直线也过定点.综上所述，直线恒过定点．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.22．已知函数．(1)已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程．(2)当时，求证．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）求出，由求得，然后计算出，用点斜式得切线方程并化简；（2）求出导函数，再利用导数确定的单调性，从而确定的零点存在，得出其为极小值点，由得间的关系，代入变形，然后由基本不等式结合已知条件得证结论．【详解】（1）由解得，所以，，所以，，切线方程为，即所求切线方程为；（2）证明得定义域为，，设，则，故是增函数，当时，，时，，所以存在，使得①，且时，，单调递减，时，，单调递增，故②，由①式得③，将①③两式代入②式，结合得：，当且仅当时取等号，结合②式可知，此时，故恒成立．【点睛】方法点睛：用导数证明不等式的方法：利用导数求得的最小值，证明最小值大于0即得，问题常常遇到最小值点不能直接求出，只有利用零点存在定理确定为，为此可利用的性质：确定与参数的关系，从而化为一个变量的函数（一元函数），然后由不等式的知识或函数知识得出其大于0.