2022-2023学年河南省潢川第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年河南省潢川第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（    ）

A．－2 B．0 C．3 D．6

【答案】A

【分析】利用已知条件求得，由此求得.

【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，

所以a3＝a1＋2d＝－2.

故选：A.

2．直线的斜率为2，，直线l2过点且与y轴交于点P，则P点坐标为（    ）

A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3)

【答案】D

【分析】由两直线,它们的斜率相等得到直线的斜率,又过点,由斜率公式即可求出答案.

【详解】设P(0，y)，因为，所以，

所以y＝3.即P(0,3).

故选：D

3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案．

【详解】解：向量，

则，，，

所以向量在向量上的投影向量为．

故选：．

4．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（    ）

A．8 B．10 C．16 D．32

【答案】C

【分析】根据和为方程的两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.

【详解】因为和为方程的两根，

所以，

又因为数列是等比数列，

所以，

故选：C

5．已知实数m，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据椭圆方程的特征，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】曲线表示椭圆，则有且，

所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件，

故选：A

6．已知，，圆C：，若圆C上存在点M，使，则圆C的半径的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，由得，即可知的轨迹为，要使圆上存在点，即圆与有交点，进而可得半径的范围.

【详解】设，则，，

∵，即，

∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上，

而圆的圆心为，半径为R，

∴圆上存在点，即圆与有交点，

∴.

故选：A

7．已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断直线与圆的位置关系，再结合图形求距离最小值.

【详解】易知圆心，半径，

圆心到直线l：的距离d，

所以圆与直线相离，如图所示：

所以圆C上各点到l距离的最小值为，

故选：C．

8．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、平面的法向量，应用空间向量的坐标表示，求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】以点D为坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，可得，，，

设面的法向量为，有，取，则，

所以，，，则直线与平面所成角的正弦值为．

故选：D.

9．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.

【详解】，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，

，即，解得，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.

10．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

11．已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则

A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1

【答案】A

【详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，

又= ，故．故选A．

【解析】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．

【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误．

12．已知数列满足，若，则数列的前项和（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用数列的递推关系及对数的运算，结合裂项相消法即可求解.

【详解】当时，，解得，

当时，，

，

由，得，即，

取时，，此式也满足，

所以数列的通项公式为，

所以，

.

故选：C.

二、填空题

13．设空间向量，，若，则___________.

【答案】5

【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故答案为：

14．已知是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列，则_______．

【答案】##

【分析】根据题意，由条件可得与的关系，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】设的公差为，由，，成等比数列可得，

即，结合可得

则

故答案为:

15．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，且，N是CM的三等分点（靠近M点），则BN的长为___________.

【答案】

【分析】用表示出，求向量的模.

【详解】，

则，

则

所以，

所以，BN的长为

故答案为：.

16．已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为__________．

【答案】4

【分析】将到抛物线的准线的距离转化为M到抛物线焦点的距离，再根据三角形三边关系将的最小值表示为，最后根据圆外一点到圆上动点的距离转化为到圆心的距离减去半径求的最小值即可.

【详解】抛物线的焦点为，则，

圆D的圆心为，半径为

所以.

故答案为：4.

三、解答题

17．已知等差数列和正项等比数列满足．

(1)求，的通项公式；

(2)求数列的前n项和时的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件列出公差与公比的方程，代入计算，即可得到结果；

（2）由（1）中的结论得到数列的前n项和，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，

因为，

则，

所以，且，则，

所以，；

（2）由（1）知，，则，且，

所以，即，所以的最小值为.

18．已知圆C：，直线l：.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.

（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.

【详解】（1）由圆：，可得，

其圆心为，半径，

若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.

（2）由（1）知：圆心到直线的距离，

因为，即，解得：，

所以，整理得：，解得：或，

则直线为或.

19．如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）证明出平面，即可证得；

（2）计算出的边上的高，并求出点到平面的距离，由此可得出二面角的正弦值为.

【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，

平面，则，

，则，为的中点，则，

，平面，

平面，因此，；

（2），，，所以，，

同理可得，

取的中点，连接，则，

因为且，故四边形为矩形，则，

所以，，

由余弦定理可得，则，

所以，的边上的高，

平面，平面，则，

，，平面，

因为，平面，平面，故平面，

，故点到平面的距离，

设二面角为，则.

20．已知抛物线，点到抛物线的焦点的距离为2.

(1)求抛物线的方程；

(2)直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用抛物线定义即可；

（2）联立方程解到韦达定理，再将转化为向量垂直，根据数量积为0列方程，化简，求值即可.

【详解】（1）已知抛物线过点，且，

则，

，

故抛物线的方程为.

（2）设.

联立，

消去整理得，

，

则，

则.

由得

或.

当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，

综上，实数的值为.

21．已知正项数列的前项和为，若是和的等差中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的前项和．

【答案】(1)；

(2)﹒

【分析】(1)根据和关系可求的通项公式；

(2)根据通项公式可知，其前n项和采用错位相减法求解﹒

【详解】（1）∵，∴当，

∴，，

因此当时：

，

∴，

∵，

∴时，即

∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，

；

（2），

……①

……②

①－②得：

∴

﹒

22．已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据焦距及短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形,结合椭圆中的关系,即可求得的值,即可得椭圆方程.

（2）设出点的坐标,联立方程，即可求解.

【详解】（1）因为椭圆（）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

所以,解方程组可得

所以椭圆的方程为

（2）设，，，又设中点为，因为，

所以直线的方程为：联立方程得，

所以，

于是，，所以．

因为所以，，三点共线，即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）.