2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．椭圆的长轴长为（    ）

A． B． C．4 D．2

【答案】A

【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴.

【详解】由椭圆，得，，，

故选：A．

2．在等比数列中，，公比，则（    ）

A．6 B． C．12 D．

【答案】A

【分析】由等比数列的通项公式计算．

【详解】.

故选：A．

3．以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程.

【详解】直线方程可化为，

则两条平行线之间距离，即圆的半径，

所求圆的方程为：.

故选：B.

4．在等差数列中，，则（    ）

A．70 B．60 C．50 D．40

【答案】D

【解析】根据等差数列的性质，得到，即可求解．

【详解】根据等差数列的性质，可得，

因为，即，可得．

故选：D.

5．已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.

【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴，

∵直线的倾斜角为，∴斜率为，

∴的方程为，即.

故选：B．

6．等比数列的前n项和，则（    ）

A．-2 B． C．0 D．

【答案】C

【分析】由计算出，，，从而根据等比中项列出方程，求出，得到答案.

【详解】，当时，，

当时，，故，

当时，，

从而，

由于是等比数列，故，解得，

故．

故选：C．

7．已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【分析】设D点坐标，由中点坐标转化可得，即得点D的轨迹，利用点与圆的位置关系，即可求得的最大值.

【详解】解：根据题意可得，设D点坐标，可知，，则，，

又，代入得，即，可得D点是在以点为圆心，半径为1的圆上，

.

故选：C．

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】令，结合双曲线定义用表示、、，再在、中分别用余弦定理列式计算作答.

【详解】依题意，设，，由双曲线的定义得，，

在中，，由余弦定理，

得，解得，即，

设双曲线的焦距为2c，在中利用余弦定理有，解得，

所以双曲线的离心率为．

故选：C

二、多选题

9．下列直线中，与圆相切的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可.

【详解】圆的圆心为，半径．

对于选项A，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交；

对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；

对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；

对于选项D，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．

故选：BC.

10．已知数列满足，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．数列为等比数列

C．若，则数列的前n项和为 D．若，则数列单调递减

【答案】ACD

【分析】由题知时，数列为等比数列，再根据等比数列的知识依次讨论各选项即可.

【详解】解：对于A选项，当时，由得，所以数列为等比数列，，故A选项正确；

对于B选项，当时，，此时数列不是等比数列，故B选项错误；

对于C选项，当时，由得，所以数列为等比数列，

所以，数列的前n项和为，故C选项正确；

对于D选项，当时，由得，所以数列为等比数列，

所以，，所以数列单调递减，故D选项正确．

故选：ACD

11．如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（    ）

A． B．

C．点P的坐标为 D．点P的坐标为

【答案】BD

【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解.

【详解】由题意可得：抛物线C的焦点为，准线为，

设抛物线C的准线与x轴的交点为Q，

在中，则，，

可得，解得，故A错误，B正确；

∵，则点P的横坐标为，且点P在第一象限，

故点P的坐标为，故C错误，D正确．

故选：BD.

12．已知以坐标原点为中心，焦点在坐标轴上的双曲线C过点，且其中一条渐近线的倾斜角为，则下列结论正确的是（    ）

A．C的离心率为

B．双曲线C与椭圆有相同的焦点

C．直线与C有两个公共点

D．直线经过C的一个顶点

【答案】BD

【分析】A选项，求出一条渐近线，设出双曲线方程为，代入得到双曲线方程，得到离心率；B选项，求出椭圆的焦点坐标，作出判断；C选项，联立直线和双曲线方程，由的正负作出判断；D选项，求出直线所过定点坐标，从而得到D正确.

【详解】由题意得到双曲线的一条渐近线的斜率为，

故双曲线C的一条渐近线为．

设C：．代入，得．

因此双曲线C的方程为，焦点在y轴上，且，，则，

故离心率，故A项不正确；

椭圆的焦点坐标为和，故B项正确；

联立，整理得，则，

所以直线 与C有且只有一个公共点，故C项不正确；

直线，，即，，

该直线必过点，即过双曲线C的下顶点，故D项正确．

故选：BD

三、填空题

13．直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______．

【答案】

【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程.

【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为.

故答案为：

14．已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则此椭圆的离心率______．

【答案】

【分析】由题知为椭圆的一个焦点，为椭圆的一个顶点，进而根据椭圆的性质求解即可.

【详解】解：∵直线与轴、轴的交点坐标分别为，

椭圆的焦点在轴上，

∴为椭圆的一个焦点，为椭圆的一个顶点，

∴，，，．

故答案为：

15．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽     米.

【答案】2米

【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，

将A（2，-2）代入，

得m=-2，

∴，代入B得，

故水面宽为米，故答案为米．

【解析】抛物线的应用

16．已知各项均为正数的递增等差数列，其前n项和为，公差为d，若数列也是等差数列，则的最小值为______．

【答案】3

【分析】根据为等差数列，求出，又为等差数列，结合等差数列通项公式的特征，得到，从而利用基本不等式求出答案.

【详解】因为为等差数列，且，

故，

则为等差数列，即要能化成一个关于n的一次函数，

则有，，

则，

当且仅当，时，等号成立，

故的最小值为3.

故答案为：3

四、解答题

17．已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为．

(1)求和；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可求解；

（2）根据题意，求出，结合等差数列求和公式，即可求解.

【详解】（1）根据题意，易知；

.

（2）根据题意，易知，因为，所以数列是首项为2，公差为的等差数列，

故．

18．已知圆的方程为．

(1)求实数的取值范围；

(2)若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可；

（2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值.

【详解】（1）方程可化为，

∵此方程表示圆，

∴，即，即.

（2）由（1）可得圆心，半径，

则圆心到直线的距离为，

由弦长公式及，得，解得，

∴，得．

19．在数列中，已知，且．

(1)求证：数列是等比数列．

(2)求数列的通项公式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）令，推出，证明出结论；

（2）在（1）的基础上，求出，结合求出通项公式.

【详解】（1）令，

∴，

∵，故，

∴数列是公比为2的等比数列，

即数列是公比为2的等比数列．

（2）由（1）易知，即，得，

即．

20．已知抛物线C：过点．

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．

【答案】(1)，准线方程为

(2)

【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程；

（2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案.

【详解】（1）∵过点，

∴，解得，

∴抛物线C：，准线方程为；

（2）由（1）知，抛物线焦点为，

设直线AB：，，，

由，得：，则，

则．

21．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原点)，求实数取值范围.

【答案】（1）－y2＝1

（2）(－1，－)∪(，1)

【详解】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，

所以双曲线C的方程为－y2＝1．

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，

由题意得

，

故k2≠且k2<1　①．

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，

由·>2得xAxB＋yAyB>2，

xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，

于是>2，即>0，解得<k2<3　②．

由①②得<k2<1，

所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．

22．已知椭圆：，直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点.

(1)求直线的方程；

(2)若为坐标原点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，直线的斜率存在，设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理即可求出斜率，从而即可得答案；

（2）根据弦长公式求出弦的长，由点到直线的距离公式求出高，然后由三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）解：由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，，

由得，

因为点为线段的中点，所以，解得，

直线的方程为，即；

（2）解：由（1）知，，

所以，

到直线的距离，

所以.