2021-2022学年河南省开封市五县高二上学期期中联考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省开封市五县高二上学期期中联考数学（文）试题

一、单选题

1．不等式的解集是（   ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】B

【分析】将所求不等式变形为，即，进而可解得原不等式的解集.

【详解】不等式即，即为，解得或.

因此，不等式的解集是或.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】直接根据全称命题的否定得到答案.

【详解】命题“，”的否定是：，.

故选：B.

3．不等式组表示的平面区域是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据约束条件确定平面区域即可求解.

【详解】表示直线以及该直线下方的区域，表示直线的上方区域，

故选:B.

4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设所求椭圆方程为,再根据椭圆的焦点求出椭圆的,再代入点求解即可.

【详解】椭圆焦点为 .

设所求椭圆方程为,则.

故,即椭圆方程为.

故选：C

【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解,属于基础题.

5．“”是“一元二次方程”有实数解的

A．充分非必要条件 B．充分必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确．

【解析】充分必要条件

6．某公司招收男职员名，女职员名，，需满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】画出不等式组表示的平面区域，再通过几何意义平移直线得解.

【详解】如图所示：画出不等式表示的平面区域，

取得到直线，

，即，表示直线在轴截距的10倍.

根据图像知： ，解得，，故时，有大值为.

故选：C.

7．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（　　）

A． B． C．10 D．0

【答案】D

【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，

∴=a1•（a1+3×2），

化为2a1=-16，

解得a1=-8．

∴则S9=-8×9+ ×2=0，

故选D．

【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．在等比数列中，，，，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据等比数列的通项公式列式求出，可得，再根据对数知识可得，最后根据等差数列的求和公式可得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，.

∵，即，∴.又，∴.

∴，

∴.

∴数列的前项和为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据等比数列的通项公式求解是解题关键.

9．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为

A．等边三角形 B．等腰直角三角形

C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形

【答案】D

【分析】先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求

【详解】由题

即，由正弦定理及余弦定理得

即

故 整理得 ，故

故为顶角为的等腰三角形

故选D

【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题

10．如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，利用椭圆的定义及四边形为矩形，列出方程组求得的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.

【详解】设，

由点为椭圆上的点，

可得且，即，

又由四边形为矩形，

所以，即，

联立方程组，解得，

设双曲线的实轴长为，焦距为，

则，，即，

所以双曲线的离心率为.

故选：D.

11．在中，角所对的边分别是，且，若，则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由得，由得，即得的值.

【详解】中，角，，所对的边分别是，，，

由，得：，

故，

若，

则，即．

，故，

代入，解得．

故选．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，是中档题．

12．已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由圆的方程求出两圆的公共弦方程，将点坐标代入直线方程可得，即；利用乘“1”法由基本不等式的性质分析可得答案．

【详解】解：根据题意，圆的方程为，圆的方程为，

则其公共弦的方程为，

又由点在两圆的公共弦上，则有，

即，又因为、，

所以，当且仅当，即、时取等号；

所以的最小值为8；

故选：A．

二、填空题

13．在等比数列中，，，则公比________．

【答案】或

【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】因为是等比数列，所以，，由题意知

，

，

两式相除可得：，即，

所以，可得：，

解得：或，

故答案为：或.

14．已知数列的前n项和为，且，则________．

【答案】1022

【分析】利用结合确定数列是等比数列，得公比，由等比数列前项和公式计算．

【详解】因为，所以，所以，即．因为，所以，则是首项为2，公比为2的等比数列，故．

故答案为：1022．

15．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据均值不等式得到，解不等式得到答案.

【详解】，当，即时等号成立.

故，解得.

故答案为：.

16．已知椭圆：（）的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为______.

【答案】

【分析】设椭圆右焦点为，由对称性知，，从而有，设，，由椭圆定义结合基本不等式得，在焦点三角形中应用余弦定理，代入，结合余弦函数性质可得离心率的范围．

【详解】如图，设椭圆右焦点为，由对称性知是平行四边形，，

∵，∴，

设，，由椭圆定义知，则，当且仅当时等号成立，

在中，由余弦定理得，

又，，∴，解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是把已知条件转化为焦点中，，然后椭圆定义，余弦定理，基本不等式求得结论．

三、解答题

17．已知数列的前项和，求数列的通项公式．

【答案】

【分析】根据与的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.

【详解】

得

根据题意，

所以数列的通项公式为

18．设：，：实数满足（）．

(1)若，且，都为真命题，求的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式得到，再计算公共部分得到答案.

（2）根据吃饭不必要条件得到范围的大小关系，得到，解得答案.

【详解】（1）时，，即，，都为真命题，故.

即.

（2）（）．故，是的充分不必要条件，

则，解得，即.

19．在锐角中，内角，，的对边分别为，，．且满足：．

(1)求角的大小；

(2)若时，求面积的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到角度.

（2）根据正弦定理得到，，带入面积公式化简得到，根据角度范围得到面积范围.

【详解】（1），即，

整理得到：，故，，故.

（2）根据正弦定理：，故，，

，，故，，

故面积范围为：.

20．已知数列为正项数列，且，令．

(1)求证：为等比数列；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）依题意可得，两边开方可得，即可得到从而得证；

（2）首先根据等比数列的通项公式求出的通项公式，即可得到的通项，再利用错位相减法求和即可；

【详解】（1）证明：数列为正项数列，且，

整理得，故

令．

所以（常数），所以数列以为公比的等比数列；

（2）解：因为，所以，由（1）得：数列是以1为首项3为公比的等比数列；

所以，

故，

则①，

②，

①②得：，

整理得：．

21．已知椭圆的离心率，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左顶点，是椭圆上的不同两点（与不重合），直线 的斜率分别为，且，证明直线过一个定点，并求出这个定点的坐标.

【答案】（1）椭圆的方程；（2）证明见解析，直线过一个定点.

【分析】(1)根据题意建立的方程，求出即可；

(2)设直线的方程为，，将直线的方程与椭圆的方程联立可得，，进而可得，，代入，即可求出，从而可得直线过一个定点.

【详解】(1)由已知得，解得，所以椭圆的方程为.

(2)设直线的方程为，，

由，得，

所以，，

所以，

，

又，所以，，

所以

，解得或(舍去).

所以直线的方程为过定点.

22．设动点的坐标为（、），向量，，且．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)不存在，证明见解析

【分析】（1）根据题意得到，利用椭圆定义得到答案.

（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，根据矩形得到，带入数据计算得到答案.

【详解】（1）向量，，，

表示到到两个定点和的距离之和为定值，故轨迹为椭圆.

，，故，故轨迹为：.

（2）假设直线存在，

当直线斜率不存在时，三点共线，不满足；

当直线斜率存在时，设直线方程为，则，

故，恒成立，

，，故四边形为平行四边形，

四边形为矩形，故，

即，

带入化简得到：，

即，

整理：，方程无解，假设不成立，故不存在.