2021-2022学年河南省顶尖名校联盟高二上学期期中联考数学（文）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省顶尖名校联盟高二上学期期中联考数学（文）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省顶尖名校联盟高二上学期期中联考数学（文）试题 一、单选题1．在等比数列中，若，则（    ）A． B．3 C．或2 D．4【答案】C【解析】利用等比数列的性质可得，从而可得答案【详解】由等比数列的性质有，可得.故选：C2．下列双曲线中，虚轴长为的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据虚轴长的定义分别求得各双曲线的虚轴长即可得解.【详解】对于A，中，虚轴长为，所以A正确；对于B，中，虚轴长为，所以B错误；对于C，中，虚轴长为，所以C错误；对于D，中，虚轴长为，所以D错误；故选：A.3．在中，已知，，，则的面积为（    ）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面积公式计算．【详解】因为中，已知，，，所以，由余弦定理得，解得或2，所以的面积或．故选：B.4．已知双曲线的中心为原点，是双曲线的一个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据F(3,0)是双曲线的−个焦点设双曲线的方程为，然后根据渐近线方程得到，解方程得到即可得到双曲线方程.【详解】∵双曲线的中心为原点，F(3,0)是双曲线的−个焦点，∴设双曲线方程为，a>0，∵是双曲线的一条渐近线，∴，解得a2=4，∴双曲线方程为.故选：D.5．已知m＞0，则“m=3”是“椭圆=1的焦距为4”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】通过讨论焦点的位置，得到关于m的方程，求出对应的m的值，根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】解：∵2c=4，∴c=2，若焦点在x轴上，则c2=m2-5=4，又m＞0，∴m=3，若焦点在y轴上，则c2=5-m2=4，m＞0，∴m=1，故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．6．函数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】凑配出积为定值，然后由基本不等式得最小值．【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A．7．已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上，若，则点P的横坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知求得，再由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得选项.【详解】因为椭圆，所以所以，所以，设，则，又，解得或，而，所以，故选：D.8．已知数列是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】A中设数列的公差为，求出的表达式，再根据等差数列的定义判断．BCD中通过特例求出，根据通项公式形式可判断．【详解】A．设数列的公差为，由，又由，故数列也一定是等差数列.若，是等差数列，B．，不是等差数列，C．，不是等差数列，D．，不是等差数列，故选：A．9．已知在前n项和为的数列中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用并项求和法即可求解.【详解】由，有，则．故选：C10．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据离心率相同可得的关系，化简后可得正确的选项.【详解】由题意有，可得，有，有，有.故选：C.11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为A． B． C． D．【答案】A【解析】由以及，结合二倍角的正切公式，可得，根据三角形的内角的范围可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根据面积公式可得答案.【详解】因为，且，所以，所以，则.由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.所以.故选：A【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.12．已知直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线与轴交于 两点，若，则 A． B． C． D．【答案】D【详解】∵直线的方程为∴直线的倾斜角为∵直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线与轴交于 两点，且∴设，联立，得由得∴，∴，即∴故选D【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及简单的性质，本题利用直线的倾斜角结合图形推导出线段的几何关系，再联立方程组，利用韦达定理及弦长公式即可求出参数,因此根据题意画出正确的图形是解题的关键. 二、填空题13．以双曲线的左顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．【答案】【分析】首先求双曲线的左顶点坐标，再求抛物线的标准方程.【详解】由题意知双曲线的左顶点为，则抛物线方程设为，由条件可知，所以抛物线方程为.故答案为：.14．若满足约束条件，则的最小值为___________.【答案】【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得，由得，是直线的纵截距的相反数，向上平移时，减小，∴向上平移直线，减小，当过时，．故答案为：．15．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点在点的上方，若，则直线的斜率为__________.【答案】【解析】如图所示，设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点，设，求出即得解.【详解】如图所示，设在准线上的射影分别为交抛物线的准线于点，设，则，解得，又，故直线的斜率为.故答案为：【点睛】方法点睛：类似这种直线和抛物线相交的计算问题，要注意以下知识的综合应用：（1）抛物线的定义；（2）平面几何的相似；（3）直角三角函数.16．已知递增的等差数列满足，，则______.【答案】【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，得到通项公式，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，则.所以.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 三、解答题17．已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理将化为，结合，化简整理可得，从而可求出，进而可求出角的值；（2）在中利用余弦定理可求出，从而可得，则有，而，所以【详解】解：（1）根据正弦定理得，整理得因为，所以，又，可得（2）在中，由余弦定理得：将（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即在中，可知，有，因为，所以.18．已知正项等比数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】（1）已知条件用和公比表示后解得，得通项公式；（2）由（1）求得，由求得最大时的值，再计算出最大的．【详解】解：（1）设数列的公比为，由，有①，又由，有，得②，①②有，解得或(舍去)，由，可求得，有，故数列的通项公式为；（2），若，可得，可得当且时；当且时，故最大，又由，可得，故的最大值为.【点睛】思路点睛：本题考查求等比数列通项公式，求等差数列前项和最大值，求等差数列前项和的最大值方法：数列是等差数列，前项和为，（1）求出前项和的表达式，利用二次函数的性质求得最大值；（2）解不等式，不等式的解集中最大的整数就是使得最大的值，由此可计算出最大的（注意0时，）．19．已知，且，：函数在区间上是减函数；：方程表示离心率大于2的双曲线．如果“”为假，“"为真，求的取值范围．【答案】【分析】先求出和为真时的的取值范围，再结合题意可得和一真一假，进而求解.【详解】若为真，则对称轴，即，又，则．若为真，则，即．因为“”为假，“”为真，所以和一真一假．若真假，则，得；若真假，则，得．综上所述，的取值范围是．20．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且线段被直线平分.(1)求的值；(2)直线是抛物线的切线，为切点，且，求以为圆心且与相切的圆的标准方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，，结合平分及，得可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，根据判别式为零求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出圆的半径，从而可得圆的标准方程.【详解】（1）由题意可知，设，，则.由，得，∴，即.（2）设直线的方程为，代入，得，∵为抛物线的切线，∴，解得，∴.∵到直接的距离，∴所求圆的标准方程为.21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．（1）求椭圆C的离心率；（2）如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据直线与圆相切建立等式即可求得离心率；（2）联立直线和椭圆，结合韦达定理得出＝求出范围，结合斜率不存在的情况求解最值.【详解】(1)由题意知，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化简得a2＝2b2，所以；(2)因为△PQF2的周长为，所以4a＝，得a＝，由(1)知b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，且焦点F1(－1，0)，F2(1，0)，①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为x＝－1，P，Q，故②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由，消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1) ＋(k2－1) ＋k2＋1＝，由k2＞0可得∈.综上所述，∈，所以的最大值是.【点睛】此题考查求椭圆离心率和方程，根据直线与椭圆位置关系，结合韦达定理求解范围问题，易错点在于漏掉讨论斜率不存在的情况.22．已知正项等比数列的前项和为，首项，且，正项数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）记，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）先设等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比，即可得出的通项公式；再由累乘法求出，根据题中条件求出，代入验证，即可得出的通项公式；（2）先由（1）化简，根据，求出的最大值，进而可得出结果.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，由，得，又，则，所以.，由，得，，…，，以上各式相乘得：，所以.在中，分别令，，得，满足.因此.（2）由（1）知，，∴，又∵，∴，令，得，∴，解得，∴当时，，即.∵当时，，，∴，即.此时，即，∴的最大值为.若存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，则，∴正整数的最小值为4.【点睛】本题主要考差数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，会求数列中的最大项即可，属于常考题型.