热点05 二次函数-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

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热点05.二次函数

在各地中考中，二次函数考查形式灵活多变，大部分的试题难度较大，分值设置在18分左右。单独考查有二次函数图象与性质、图形变换（平移、对称等）、二次函数的实际应用（多考查现实生活中的“利润问题”或“最值问题”）。而压轴部分主要考查二次函数与几何图形结合的面积、周长、线段的最值问题、二次函数与特殊的几何图形结合的存在性问题等。

命题热点1：二次函数的解析式
一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y＝a（x-h）2+k（a≠0）求其表达式；
③当已知抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）求其表达式；
命题热点2：二次函数图象及其性质1
通过抛物线的图形判断系数的符号题型中，通常关注图形中的一下几点：
①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
②对称轴可确定b的符号：
对称轴在x轴负半轴，则＜0，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0，即ab＜0
③与y轴交点（0，c）可确定c的符号：交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
④顶点坐标；⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
命题热点3：二次函数图象及其性质2
二次函数的单调性是函数性质的考查重点，主要考向有函数的最值，函数值的大小比较。
命题热点4：二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
3．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（       ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，解得；
②当时，对称轴，当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；综上，的取值范围是：或．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．
【详解】设 ，，，
∵二次函数的图象过点，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，令，
根据根与系数的关系知，∴，故 故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
5．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
6．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）   

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）∴，b=-2a∵a＜0∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴∴c＞0∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0∴at2+bt-（a+b）= at2-2at-a+2a= at2-2at+a=a（t2-2t+1）= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
7．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（       ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数，
令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，
∵ ，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
8．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，∴m＞，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
9．（2022·山东泰安·中考真题）一元二次方程根的情况是（       ）
A．有一个正根，一个负根 B．有两个正根，且有一根大于9小于12
C．有两个正根，且都小于12 D．有两个正根，且有一根大于12
【答案】D
【分析】将方程转化为一次函数与二次函数的交点问题求解．画出函数图象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案．
【详解】解：如图，

由题意二次函数y=，与y交与点（0，12）与x轴交于（-4，0）（12，0），一次函数y=，与y交与点（0，15）与x轴交于（9，0）
因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴的交点，由图象得结果．
10．（2022·四川自贡·中考真题）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（       ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
．   
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．

11．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．
【答案】8
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，∴，∴，
即，，
令，则，解得：，，
当时，，解得：，
∵，∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，∴符合题意；综上分析可知，n的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
12．（2022·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，
当时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x轴上，
，得，故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为，故它的“Y函数”解析式为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
13．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵，∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3） 故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
14．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．

【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵10) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同，理由见解析
(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
(3)在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．
(1)解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函数关系，小莹认为不能选是正确的；
(2)解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，由题意得，解得：，
∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，
由题意得，解得：，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
(3)解：设总年产量为w，
依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2=−0.1(x2-15x+-)+2=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1