北京市朝阳区2022届高三二模数学试题 （解析版）

北京市朝阳区2022届高三二模数学试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】交集即是求解两集合的公共部分，进而确定选项.

【详解】

集合与集合的公共元素为：，

.

故选：B.

2．在复平面内，复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】试题分析：对应的点为在第二象限

考点：复数运算

点评：复数运算中分子分母同乘以分母的共轭复数，复数对应的点为

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据已知渐近线确定双曲线参数，进而求其离心率.

【详解】由题设双曲线渐近线为，而其中一条为，

所以，则，故C的离心率为.

故选：A

4．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求.

【详解】由题设，而.

故选：A

5．过点作圆的切线，则切线方程为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程.

【详解】由圆心为，半径为，

斜率存在时，设切线为，则，可得，

所以，即，

斜率不存在时，显然不与圆相切；

综上，切线方程为.

故选：C

6．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先根据不等式的性质，求解出，进而根据逻辑关系进行判断即可.

【详解】对于等价为：

或

即：或

解得：或，

“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，下面正确的结论是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据线面、面面的位置关系，由平面的基本性质判断线线、线面关系.

【详解】A：，则可能平行、相交或异面，错误；

B：，则可能相交、平行或，错误；

C：，则平行或，错误；

D：，则，又，故，正确.

故选：D

8．ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B系列的纸张尺寸．设型号为的纸张的面积分别是，它们组成一个公比为的等比数列，设型号为的纸张的面积分别是已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】利用是等比数列以及，令求解即可.

【详解】，令，

又组成一个公比为的等比数列，

，

又，

.

故选：C.

9．已知M为所在平面内的一点，，且，则（    ）

A．0 B．1 C． D．3

【答案】D

【分析】由向量加减、数乘的几何意义知为中点，根据已知求得、、，由向量数量积的定义求即可.

【详解】由，则，

所以共线，即为中点，如下图：

又且，即，而，

所以，故，则，，

所以.

故选：D

10．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前污染物减少，那么再过后污染物还剩余（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的函数模型及已知可得，再计算后污染物剩余量.

【详解】由题设，，可得，

再过5个小时，，

所以最后还剩余.

故选：D

二、填空题

11．抛物线的准线方程为__________.

【答案】

【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.

【详解】抛物线的准线方程是.

故答案为：.

12．在的展开式中，的系数是_________．（用数字作答）

【答案】5

【分析】写出二项式的通项公式，判断含的r值，进而求其系数.

【详解】由，

当时，故的系数是5.

故答案为：5

13．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换公式得到等式，进而写出一组值即可.

【详解】由正弦定理得：，

 ，，

，

，

（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）.

14．如图，在正方体，中，E，F，G分别为棱上的点（与正方体顶点不重合），过作平面，垂足为H．设正方体的棱长为1，给出以下四个结论：

①若E，F，G分别是的中点，则；

②若E，F，G分别是的中点，则用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形一定是等边三角形；

③可能为直角三角形；

④．

其中所有正确结论的序号是________．

【答案】①④

【分析】①等体积法判断；②根据正方体的性质画出平行于平面的可能截面情况；③由正方体性质，通过定两点，移动另一点判断的内角变化趋势即可；④设，利用等体积法，结合正余弦定理、三角形面积公式、锥体体积公式化简即可判断.

【详解】①由，而，

所以，可得，正确；

②根据正方体的性质平行平面的平面有如下情况：

当截面在面与面之间时为六边形，在面左上或面右下时为等边三角形，错误；

③分别在上不为顶点任意点，当从到过程递减，即小于，同理知：也小于，不可能为直角三角形，错误；

④若，又，即，

所以，

则，即，

所以，即，正确；

故答案为：①④

【点睛】关键点点睛：①④应用等体积法计算或转化，②由正方体性质及平面的基本性质作出截面判断；③根据正方体的性质，动点分析三角形的内角变化趋势.

三、解答题

15．已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．

(1)求的解析式及最小值；

(2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围．

条件①：函数的最小正周期为；

条件②：函数的图象经过点；

条件③：函数的最大值为．

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

【答案】(1)选择①②：，的最小值为；选择①③：， 的最小值为；

(2)选择①②：的取值范围是；选择①③：的取值范围是.

【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，的取值有两个，舍去；

（2）根据零点即是函数图像与轴的交点横坐标，令求出横坐标，即可判断的取值范围.

【详解】（1）

由题可知，

．

选择①②：

因为，所以．

又因为，所以．

所以．

当，，即，时，.

所以函数的最小值为．

选择①③：

因为，所以．

又因为函数的最大值为，

所以．

所以．

当，，即，时，

，

所以函数的最小值为．

选择②③：

因为，所以，

因为函数的最大值为，所以

的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去.

（2）选择①②：

令，

则，，

所以，．

当时，函数的零点为，

由于函数在区间上有且仅有1个零点，

所以．

所以的取值范围是．

选择①③：

令，

则，，或，，

所以，，或，．

当时，函数的零点分别为，

由于函数在区间上有且仅有1个零点，

所以．

所以的取值范围是．

16．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．

(1)求证：∥平面；

(2)设H在棱上，且，N为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析，直线与平面所成角的正弦值为.

【分析】（1）如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系利用向量法证明；

（2）证明即得证，再利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．

【详解】（1）证明：如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系由题得,

由题得,

设平面的法向量为，

所以.

所以，

因为平面，所以∥平面.

（2）证明：由题得，

所以,所以平面，

由题得，

设直线与平面所成角为，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

17．为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况

（注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量×批发价格-各年的平均每亩种植成本）

(1)以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；

(2)设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；

(3)已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，期望为5925元；

(3)应该，理由见解析.

【分析】（1）应用独立事件乘法公式求概率；

（2）根据已知公式求出X的所有可能值并确定对应的概率，即可得分布列，进而求期望；

（3）比较中药材的每亩期望年纯收入与其他农作物每亩年纯收入大小，即可给出选择.

【详解】（1）要使此品种中药材获得最高纯收入，则每亩产量和批发价格均要最高，

所以其概率为.

（2）由题意，每亩产量×批发价格-平均每亩种植成本，

每亩产量400千克，批发价格20元/千克：元；

每亩产量400千克，批发价格25元/千克：元；

每亩产量500千克，批发价格20元/千克：元；

每亩产量500千克，批发价格25元/千克：元；

所以X的可能值为，且，

，，

则X的分布列如下：

所以元.

（3）由（2）知：种植中药材的每亩期望年纯收入为5925元，

而种植其他农作物每亩年纯收入为4500元，

所以应该选择种植此品种中药材.

18．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点．若，求证：直线经过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据可得出参数之间的关系，化简直线的方程，即可得出结论；在直线斜率不存在时，根据计算可得出结论.

【详解】（1）解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.

（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

若直线过点，则、必有一点与点重合，不合乎题意，所以，，

设点、，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，

，同理可得，

由可得，

即，

因为，整理可得，解得，

所以，直线的方程为，所以，直线过定点；

若直线的斜率不存在，则，，

则，不合乎题意.

综上所述，直线过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

19．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；

(2).

【分析】（1）首先对函数求导，根据的取值情况判断的正负情况，进而得到的增减情况；

（2）对任意，存在，使得成立，等价于，然后对进行讨论，分别求函数的最值，进而得到结论.

（1）

因为，

所以．

当时，与的变化情况如表所示：

所以当时，函数的单调递增区间为，

函数的单调递减区间为．

（2）

当时，，所以函数为偶函数．

所以当时，函数的单调递增区间为，，

函数的单调递减区间为，,

所以函数的最大值为．

设，则当时，．

对任意，存在，使得成立，

等价于．

当时，函数在区间上的最大值为，不合题意．

当时，函数在区间上的最大值为，

则，解得或，

所以．

当时，函数在区间上的最大值为，

则，解得，

所以.

综上所述，的取值范围是．

20．已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．

(1)若，求和；

(2)若满足且，求的所有可能结果；

(3)是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)、、、；

(3)存在，n的所有取值为，理由见解析.

【分析】（1）根据定义依次写出、即可得结果.

（2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；

（3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值.

（1）

由题意，，，，

，，，.

（2）

由且，

①，

当或1时，，

同理，或1时，，

或1时，，

或1时，，

所以①等价于，则，，

当，，则为满足；

当，，则为满足，

当，，则为满足，

当，，则为满足，

综上，的所有可能结果、、、.

（3）

存在正整数n使且，理由如下：

由，则，

所以，

若，，

所以，

若，则，，，

所以，对都有，

当时，恒成立，

综上，n所有取值为使成立.

【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果.

四、双空题

21．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，则数列的前10项和为_________；若，则m的最大值为_____________．

【答案】     52；     45.

【分析】利用次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，令，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】由于次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，例如，

系数分别为，对应杨辉三角形的第三行；令，就可以求出该行的系数和，第

行为，第行为，第行为，以此类推即每一行数字和为首相为，公比为的等

比数列，则杨辉三角形的前项和为.若去除所有的项，则剩下的每

一行的个数为，可以看成构成一个首项为，公差为的等差数列，则

，可得：当时，，

则数列的前10项和为；

根据杨辉三角形的分布规律，最后出现的位置应为第行的最后一项，

.

故答案为：；.