备战中考数理化——中考数学模拟试卷 (38)（含答案）

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备战中考数理化——中考数学模拟试卷38（含答案）
一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
1．（4分）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值是，那么下列各式正确的是（　　）
A．AB＝4BC B．AB＝4AC C．AC＝4BC D．BC＝4AC
3．（4分）已知点C在线段AB上，AC＝3BC，如果＝，那么用表示正确的是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
4．（4分）下列命题中，真命题是（　　）
A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似
B．邻边之比相等的两个矩形一定相似
C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似
D．对角线之比相等的两个矩形一定相似
5．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
⋅⋅⋅
0
1
3
4
5
⋅⋅⋅
y
⋅⋅⋅
﹣5
﹣
﹣
﹣5
﹣
⋅⋅⋅
根据表，下列判断正确的是（　　）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
6．（4分）在△ABC中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2BD，以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）如果tanα＝，那么锐角α的度数是　 　．
8．（4分）若与单位向量方向相反，且长度为3，则＝　 　（用单位向量表示向量）．
9．（4分）若一条抛物线的顶点在y轴上，则这条抛物线的表达式可以是　 　（只需写一个）．
10．（4分）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是　 　．
11．（4分）抛物线y＝x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是　 　．
12．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6，那么AB的长是　 　．
13．（4分）已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当的值是　 　时，DE∥BC．
14．（4分）小明从山脚A出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B点，那么他所在的位置比原来的位置升高了　 　米．
15．（4分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是　 　．

16．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，那么⊙O的面积约是　 　．

17．（4分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD＝3EC，那么AD：AB的值是　 　．

18．（4分）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是　 　．

三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）
19．（10分）已知函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．
（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；
（2）选取适当的数据填入表格，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．

x
⋅⋅⋅
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
⋅⋅⋅
y
⋅⋅⋅
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
⋅⋅⋅
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠BAD＝45°，DC＝2，AB＝6，
AE⊥BD，垂足为点F．

（1）求∠DAE的余弦值；
（2）设＝，＝，用向量、表示．
21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，E是的中点，OE与弦BC交于点F．
（1）如果C是的中点，求AD：DB的值；
（2）如果⊙O的直径AB＝6，FO：EF＝1：2，求CD的长．

22．（10分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面GQ，当点P与点A重合时，伞收紧；当点P由点A向点B移动时，伞慢慢撑开；当点P与点B重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝50厘米，CE＝CF＝120厘米，BC＝20厘米．
（1）当∠CPN＝53°，求BP的长？
（2）如图，当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．
（1）求证：∠D＝∠CEF；
（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；
（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；
（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．

25．（14分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tanA＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．
（1）当点E在边AD上时，
①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）
②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；
（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．


2020年中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
1．【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，
∴设a＝x，b＝2x，c＝3x，
∴＝＝．
故选：C．
2．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

∴sinA＝＝，
∴AB＝4BC，
故选：A．
3．【解答】解：如图，

∵AC＝3BC，
∴AB＝AC，
∴＝﹣，
故选：D．
4．【解答】解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；
B、邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选项正确；
C、对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以C选项错误；
D、对角线之比相等的两个矩形不一定相似，所以D选项错误；
故选：B．
5．【解答】解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），
可知函数的对称轴为x＝2，
设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，
将点（0，﹣5），（1，﹣）代入，
得到a＝﹣，c＝﹣3，
∴函数解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3；
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
故选：C．
6．【解答】解：如图，

∵DE∥BC，
∴，
∵BC＝12，AD＝2BD，
∴，DE＝8，
∵⊙D的半径为AD＝6，⊙E的半径CE＝2，
∴AD+CE＝6+2＝8＝DE，
∴以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是外切，
故选：B．
二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．【解答】解：∵tanα＝，
∴锐角α的度数是：60°．
故答案为：60°．
8．【解答】解：∵与单位向量方向相反，且长度为3，
∴＝﹣3，
故答案为﹣3．
9．【解答】解：∵抛物线的顶点在y轴上，
∴b＝0，
∴抛物线的解析式为y＝2x2，
故答案为y＝2x2（答案不唯一）．
10．【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的，
∴这个二次函数的二次项系数为正数，
∴a＞0，
故答案为a＞0．
11．【解答】解：当x＝0时，抛物线y＝x2+bx+2＝2，则A点坐标为（0，2），
∵点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
即﹣＝1，
∴b＝﹣2．
故答案为﹣2．
12．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6，
∴cosA＝＝，
即＝，
解得，AB＝8，
故答案为：8．
13．【解答】解：∵要使DE∥BC，则需，
∴
故答案为：

14．【解答】解：设小明所在的位置比原来的位置升高了x米，
∵坡度为1：2.4，
∴小明前进的水平宽度为2.4米，
由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，
解得，x＝50，即小明所在的位置比原来的位置升高了50米，
故答案为：50．
15．【解答】解：∵点A′恰好是△ABC的重心，
∴A'D＝AD，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，
∴△ABC∽△A'MN，
∴△A′MN面积与△ABC的面积之比＝（）2＝，
故答案为：．
16．【解答】解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，如图所示：
∴∠AOB＝＝30°，
∵AD⊥OB，
∴AD＝OA＝，
∴△AOB的面积＝OB×AD＝×1×＝
∴正十二边形的面积＝12×＝3，
∴⊙O的面积≈正十二边形的面积＝3，
故答案为：3．

17．【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠DAE+∠DEA＝90°，∠DEA+∠CEB＝90°，
∴∠DAE＝∠CEB，
∴△ADE∽△ECB，
∴，
∵AD＝BC，CD＝3EC，
∴DE＝2EC，
∴，
∴，
∴AD：AB＝，
故答案为：
18．【解答】解：连接BD，BF，EG．

由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，
∵DG＝GF，
∴BG⊥DF，
∴∠BGF＝∠BEF＝90°，
∴∴B，G，E，F四点共圆，
∠BEG＝∠BFD＝45°，
∴∠BEG的正切值是1．
故答案为1．
三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）
19．【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．
＝﹣x2+4x﹣3
＝﹣（x﹣2）2+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
抛物线的顶点坐标为（2，1），
当x≤2时，y随x的增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小；
（2）当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝﹣3，
如图，

故答案为0，﹣3；1，0；2，1；3，0；4，﹣3．
20．【解答】解：（1）作DM⊥AB于M，如图所示：
则四边形BCDM是矩形，
∴BM＝CD＝2，BC＝DM，
∴AM＝AB﹣BM＝4，
∵∠BAD＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴BC＝DM＝AM＝4，AD＝AM＝4，
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝∠ABF，∠C＝90°，
∴BD＝＝＝2，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝90°＝∠C，
∴△ABF∽△BDC，
∴＝，即＝，
解得：AF＝，
∴cos∠DAE＝＝＝；
（2）同（1）得：△ABE∽△BCD，
∴＝，即＝，
解得：BE＝3，
∴BE＝BC，
∴＝＝，
∵AB∥CD，DC＝2，AB＝6，
∴AB＝3DC，
∴＝3＝3，
∴＝+＝3+．

21．【解答】解：（1）连接OC，
∵E是的中点，
∴＝，OE⊥BC，
∵C是的中点，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝60°，
∴∠OCD＝30°，
在Rt△COD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝OC，
∴AD：DB＝1：3；
（2）∵AB＝6，FO：EF＝1：2，
∴OF＝1，
在Rt△BOF中，BF＝＝＝2，
∴BC＝4，
∵CD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠BDC＝∠BFO＝90°，又∠B＝∠B，
∴△BFO∽△BDC，
∴＝，即＝，
解得，CD＝．

22．【解答】解：（1）如图1中，连接MN交CD于H．

∵CM＝MP＝NC＝NP＝50cm，
∴四边形PMCN是菱形，
∴CP⊥NM，CH＝PH，
∴PH＝PN•cos53°≈30（cm），
∴PC＝2PH＝60cm，
∴PB＝PC﹣BC＝40cm．

（2）如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．

∵四边形CMBN是菱形，
∴CJ＝JB＝10cm，
∵MJ∥EH，
∴△CMJ∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝24，
∴HD＝CD﹣CH＝220﹣24＝196cm，
∴当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离＝HD＝196cm．
23．【解答】（1）证明：∵CE2＝DE•CF，即＝
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF，
∴△CDE∽△CEF，
∴∠D＝∠CEF．
（2）如图所示：
∵AC平分∠ECF，∴∠ECA＝∠BCA，
∵∠D＝∠CEF，∠D＝∠B，
∴∠CEF＝∠B，
∴△CGE∽△CAB，
∴＝，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠ECA＝∠DAC，
∴AE＝CE，
∴＝，即AC•AE＝CB•CG．
24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），
∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点C坐标为（3，﹣4）；

（2）∵点A关于抛物线对称轴x＝3的对应点为点D，
∴点D的坐标（4，﹣3），
∴OD＝5，
如图1，过O作OG⊥BD于G，

∵点B（5，0），
∴OB＝OD，
∴DG＝BG＝BD＝＝，
∴OG＝＝＝，
∴tan∠ODB＝＝＝3；

（3）如图2，∵抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，
∴E（3，﹣4+t），F（5，t），
∵BE＝BF，B（5，0），
∴（3﹣5）2+（﹣4+t）2＝（5﹣5）2+t2，
t＝．

25．【解答】解：（1）①∵EF⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
在Rt△AEF中，tanA＝2，AE＝m，
∴EF＝AEtanA＝2m，
根据勾股定理得，AF＝＝m，
∵AB＝5，
∴BF＝5﹣m，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝，AD∥BC，
∴∠G＝∠AEF＝90°，
∴△AEF∽△BGF，
∴，
∴，
∴BG＝﹣m，
∴CG＝BC+BG＝+﹣m＝2﹣m，
∴S△CEF＝EF•CG＝•2m•（2﹣m）＝2m﹣m2；

②由①知，△AEF∽△BGF，
∴，
∴FG＝•EF＝•2m＝2（﹣m），
∴EG＝EF+FG＝2m+2（﹣m）＝2，
∴S△CDE＝DE•EG＝（﹣m）•2＝5﹣m，
S△BFG＝BG•FG＝（﹣m）•2（﹣m）＝（﹣m）2，
S△DCE＝4S△BFG时，
∴5﹣m＝4（﹣m）2，
∴m＝（舍）或m＝，
∴DE＝AD﹣AE＝﹣＝，
∴AE：ED＝：＝3，
即：AE：ED的值为3；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝，AD∥BC，
∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠AEF＝∠CGF＝90°，
∵△AEF与△CFG相似，
∴①当△AEF∽△CGF时，如图1，
∴∠AFE＝∠CFG，
∵EF⊥BC，
∴BG＝BC＝，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠A，
∵tanA＝2，
∴tan∠CBF＝2，
在Rt△BGF中，FG＝BGtan∠CBF＝，
根据勾股定理得，BF＝＝，
∴AF＝AB+BF＝5+＝，
∵BC∥AD，
∴△BGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴m＝；
②当△AEF∽△CGF时，如图2，
∴∠EAF＝∠GFC，
∵∠EAF+∠AFE＝90°，
∴∠GFC+∠AFE＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠A，
∴tan∠CBF＝tanA＝2，
在R△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，
根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，
∴BF2+4BF2＝（）2，
∴BF＝1，
∴AF＝AB+BF＝6，
在Rt△BGF中，同理：BG＝，
∵AD∥BC，
∴△BGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴m＝．
即：如果△AEF与△CFG相似，m的值为或．


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