苏科版七年级下册9.4 乘法公式同步练习题

第9章　整式乘法与因式分解

9.4　乘法公式

基础过关全练

知识点1　完全平方公式

1.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图(1)可以用(a+b)2-(a-b)2=4ab来解释.那么通过图(2)面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是              (　　)

图(1)

图(2)

A.a2-b2=(a+b)(a-b)

B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.(a+b)2=a2+2ab+b2

D.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2

2.【新独家原创】　若x满足(9-x)(x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)2的值.

解:设9-x=a,x-4=b,

则(9-x)(x-4)=ab=4,

a+b=9-x+x-4=5,

所以(4-x)2+(x-9)2=b2+a2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17.

请仿照上面的方法求解下面的问题:

若x满足(x-2 020)2+(x-2 023)2=31,求(x-2 020)(x-2 023)的值.

知识点2　平方差公式

3.(2022内蒙古赤峰中考)已知(x+2)(x-2)-2x=1,则2x2-4x+3的值为 (　　)

A.13　　　B.8　　　C.-3　　　D.5

4.【数形结合思想】　按如图所示的方式分割正方形,然后拼接成长方形,这个过程可以验证              (　　)

图1　　　　　图2　　

A.(a+b)2=a2+2ab+b2

B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.(a-b)2=(a+b)2-4ab

D.(a+b)(a-b)=a2-b2

5.(2022江苏泰州泰兴月考)计算:

2(m-1)2-(2m+3)(2m-3).

知识点3　乘法公式及其综合运用

6.利用乘法公式计算:

(1)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y);

(2)(a-2b+3)(a+2b-3);

(3)[(x-y)2+(x+y)2](x2-y2);

(4)(m-n-3)2.

能力提升全练

7.(2022四川成都中考,3,★☆☆)下列计算正确的是(　　)

A.m+m=m2

B.2(m-n)=2m-n

C.(m+2n)2=m2+4n2

D.(m+3)(m-3)=m2-9

8.(2022广西百色中考,11,★★☆)利用割补法求图形面积的示意图如图所示,下列公式中与之相对应的是              (　　)

A.(a+b)2=a2+2ab+b2

B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2

D.(ab)2=a2b2

9.(2022山东滨州中考,17,★☆☆)若m+n=10,mn=5,则m2+n2的值为　　　　. 

10.(2021江苏扬州中考,10,★☆☆)计算:2 0212-2 0202=　　　　. 

11.(2022江苏扬州江都期中,13,★★☆)我们通常把形如a2±2ab+b2的式子叫完全平方式.若x2-(m-4)x+25是完全平方式,则m的值为　　　　. 

12.(2022江苏南京秦淮期中,18,★☆☆)先化简,再求值:2(x-2y)2-(2y+x)(-2y+x),其中x=-1,y=-2.

13.【代数推理】　(2022河北中考,22,★★☆)发现:两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

验证:如(2+1)2+(2-1)2=10,10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和;

探究:设“发现”中的两个正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.

素养探究全练

14.【运算能力】　观察下列各式的规律:

12+(1×2)2+22=(1×2+1)2,

22+(2×3)2+32=(2×3+1)2,

32+(3×4)2+42=(3×4+1)2,

……

(1)写出第2 023行的式子;

(2)写出第n行的式子,并证明你的结论正确.

15.【运算能力】　阅读下列材料:

若一个正整数x能表示成a2-b2(a,b是正整数,且a>b)的形式,则称这个数为“明礼崇德数”,a与b是x的一个平方差分解.例如:因为5=32-22,所以5是“明礼崇德数”,3与2是5的一个平方差分解;再如:M=x2+2xy=x2+2xy+y2-y2=(x+y)2-y2(x,y是正整数),所以M也是“明礼崇德数”,(x+y)与y是M的一个平方差分解.

(1)9　　　　“明礼崇德数”(填“是”或“不是”); 

(2)已知(x2+y)(y>0)与x2是P的一个平方差分解,求P;

(3)已知N=x2-y2+4x-6y+k(x,y是正整数,k是常数,且x>y+1),要使N是“明礼崇德数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.

答案全解全析

基础过关全练

1.B　空白部分的面积是(a-b)2,还可以表示为a2-2ab+b2,所以此等式是(a-b)2=a2-2ab+b2.故选B.

2.解析　设x-2 020=a,x-2 023=b,

则a2+b2=31,a-b=x-2 020-x+2 023=3,

所以a2-2ab+b2=(a-b)2=9,

所以31-2ab=9,解得ab=11,

所以(x-2 020)(x-2 023)=ab=11.

3.A　(x+2)(x-2)-2x=1,所以x2-4-2x=1,所以x2-2x=5,所以2x2-4x+3=2(x2-2x)+3=2×5+3=10+3=13.故选A.

4.D　题图1中阴影部分的面积可表示为a2-b2,

题图2的面积可表示为(a+b)(a-b),

所以可以验证(a+b)(a-b)=a2-b2.故选D.

5.解析　原式=2(m2-2m+1)-[(2m)2-32]

=2m2-4m+2-(4m2-9)

=2m2-4m+2-4m2+9

=-2m2-4m+11.

6.解析　(1)原式=(2x-3y)2-(9x2-y2)

=(4x2+9y2-12xy)-9x2+y2=10y2-12xy-5x2.

(2)原式=[a-(2b-3)][a+(2b-3)]

=a2-(2b-3)2=a2-4b2+12b-9.

(3)原式=(x2-2xy+y2+x2+y2+2xy)(x2-y2)

=2(x2+y2)(x2-y2)=2(x4-y4)=2x4-2y4.

(4)原式=(m-n-3)(m-n-3)

=m2-mn-3m-mn+n2+3n-3m+3n+9

=n2+m2-2mn-6m+6n+9.

能力全练全练

7.D　A.m+m=2m,故本选项不合题意;

B.2(m-n)=2m-2n,故本选项不合题意;

C.(m+2n)2=m2+4mn+4n2,故本选项不合题意;

D.(m+3)(m-3)=m2-9,故本选项符合题意.故选D.

8.A　根据题意,大正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2,该大正方形由一个边长为a的正方形,2个长为a,宽为b的长方形,一个边长为b的正方形组成,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.故选A.

9.答案　90

解析　因为m+n=10,mn=5,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=102-2×5=100-10=

90.故答案为90.

10.答案　4 041

解析　2 0212-2 0202=(2 021+2 020)×(2 021-2 020)=4 041×1=4 041.

11.答案　-6或14

解析　因为x2-(m-4)x+25是完全平方式,所以-(m-4)x=±2·x·5,解得m=-6或14.故答案为-6或14.

12.解析　2(x-2y)2-(2y+x)(-2y+x)

=2(x2-4xy+4y2)-(x2-4y2)

=2x2-8xy+8y2-x2+4y2

=x2-8xy+12y2.

当x=-1,y=-2时,原式=(-1)2-8×(-1)×(-2)+12×(-2)2=1-16+48=33.

13.解析　验证:10的一半为5,

5=1+4=12+22.

探究:两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.理由如下:

(m+n)2+(m-n)2

=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2

=2m2+2n2

=2(m2+n2),

故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

素养探究全练

14.解析　(1)第2 023行的式子为2 0232+(2 023×2 024)2+2 0242=(2 023×2 024+1)2.

(2)第n行的式子为n2+[n×(n+1)]2+(n+1)2=[n×(n+1)+1]2.

证明:n2+[n×(n+1)]2+(n+1)2

=n2+[n×(n+1)]2+n2+2n+1

=[n×(n+1)]2+2n(n+1)+1

=[n×(n+1)+1]2,所以结论正确.

15.解析　(1)因为9=52-42,所以9是“明礼崇德数”,故答案为是.

(2)因为(x2+y)与x2是P的一个平方差分解,

所以P=(x2+y)2-(x2)2=x4+2x2y+y2-x4=2x2y+y2.

(3)当k=-5时,N为“明礼崇德数”.理由如下:

因为N=x2-y2+4x-6y+k=(x2+4x+4)-(y2+6y+9)+k+5=(x+2)2-(y+3)2+k+5,

所以当k+5=0时,N=(x+2)2-(y+3)2为“明礼崇德数”,

此时k=-5,故当k=-5时,N为“明礼崇德数”.