初中1 图形的平移随堂练习题

第6讲 平移与旋转

知识点1  平移的性质

1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．

平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；

2.图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．

3.平移的性质：

（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；

（2）对应线段平行（或共线）且相等；

（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．

【典例】

例1（2020春•东阳市期末）如图，△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，下列说法错误的是（　　）

A．AC∥DF B．CF∥AB C．CF＝a厘米 D．DE＝a厘米

【解答】解：∵△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，

∴AC∥DF，CF∥AB，CF＝AD＝BE＝a厘米．

故选：D．

【方法总结】

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．

例2（2020春•娄星区期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，把三角形ABC沿着直线BC向右平移2.5cm后得到三角形DEF，连接AE，AD，有以下结论：①AC∥DF； ②AD∥CF； ③CF＝2.5cm；④DE⊥AC．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到△DEF，

∴AC∥DF，故①正确；

AD∥CF，故②正确；

CF＝AD＝2.5cm，故③正确；

AB∥DE，

又∵∠BAC＝90°，

∴BA⊥AC，

∴DE⊥AC，故④正确；

故选：D．

【方法总结】

本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．

例3（2020春•龙泉驿区期末）如图1，∠FBD＝90°，EB＝EF，CB＝CD．

（1）求证：EF∥CD；

（2）如图2所示，若将△EBF沿射线BF平移，即EG∥BC，∠FBD＝90°，EG＝EF，CB＝CD，请问（1）中的结论是否仍成立？请证明．

【解答】（1）证明：如图1，连接FD，

∵EB＝EF，CB＝CD，

∴∠EBF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，

∵∠FBD＝90°，

∴∠EBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，

∴∠EFB+∠CDB＝90°，

∴∠EFD+∠CDF＝180°，

∴EF∥CD；

（2）成立，

证明：如图2，连接FD，延长CB到H，

∵EG∥BC，

∴∠EGF＝∠HBF，

∵∠FBD＝90°，

∴∠HBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，

∴∠EGF+∠CBD＝90°，

∵EG＝EF，CB＝CD，

∴∠EGF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，

∴∠EFB+∠CDB＝90°，

∴∠EFD+∠CDF＝180°，

∴EF∥CD．

【方法总结】

本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•上海期末）如图，已知直角三角形ABC，∠A＝90°，AB＝4厘米，AC＝3厘米，BC＝5厘米，将△ABC沿AC方向平移1.5厘米，线段BC在平移过程中所形成图形的面积为　6　平方厘米．

【解答】解：△A′B′C′为△ABC沿AC方向平移1.5厘米得到的图形，

连接BB′，

则四边形BCC′B′为平行四边形，CC′＝1.5厘米，A′B′＝AB＝4厘米，∠B′A′C′＝∠BAC＝90°，

∴S平行四边形BCC′B′＝CC′•B′A′＝1.5×4＝6（平方厘米），

故答案为：6．

2．（2020秋•香坊区期末）如图，将周长为12的三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为　16　．

【解答】解：∵周长为12的三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到三角形DEF，

∴AD＝CF＝2，AC＝DF，

∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝△ABC的周长+2AD＝12+2×2＝16．

故答案为16．

3．（2020春•曲阳县期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，△ABC平移到△DEF的位置．

（1）指出平移的方向和平移的距离；

（2）试说明AD+BC＝BF．

【解答】解：（1）平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度；

（2）∵△ABC平移到△DEF的位置，

∴CF＝AD，

∵CF+BC＝BF，

∴AD+BC＝BF．

知识点2  平移作图

1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法

2.平移作图的步骤：

（1）找关键点；

（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；

（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．

【典例】

例1（2020春•房县期末）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向右平移4格，再向上平移2格，其中每个格子的边长为1个单位长度．

（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）若连接AA′、CC′，则这两条线段的关系是　平行且相等　；

（3）作△ABC的高AD，作△ABC的中线BE，作△ABC的角平分线CF．

【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）AA′＝CC′，AA′∥CC′；

故答案为平行且相等；

（3）如图：AD、BE、CF为所作．

【方法总结】

本题考查了作图﹣平移变换、平行四边形的性质和判定、三角形的高线和中线的定义，熟练掌握平移的定义及性质，明确三角形高线和中线的定义，属于基础题．

例2（2020春•安庆期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A1B1C1．

（1）在网格中画出三角形A1B1C1．

（2）A1B1与AB的位置关系　平行　．

（3）三角形A1B1C1的面积为　　．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）由平移的性质知A1B1∥AB，

故答案为：平行；

（3）三角形A1B1C1的面积为3×3，

故答案为：．

【方法总结】

本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．

【随堂练习】

1．（2020春•高邮市期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C，图中标出了点B的对应点B'．请利用网格点和直尺画图或计算：

（1）在给定方格纸中画出平移后的△A'B'C；

（2）画出AB边上的中线CD及高线CE；

（3）在上述平移中，边AB所扫过的面积为　34　．

【解答】解：（1）如图所示；

（2）如图；

（3）连接AA′，BB′，

边AB所扫过的面积为：7×8（7+1）×21×66×1（1+7）×2＝34．

故答案为：34．

2．（2020春•桂林期末）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，△ABC的顶点均在格点上，且点A的坐标是（﹣2，﹣2）．

（1）直接写出点B和点C的坐标；

（2）把△ABC向上平移3个单位，再向右移2个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标．

【解答】解：（1）B（3，1），C（0，2）；

（2）如图：

点B1的坐标（5，4）．

知识点3图形的旋转

图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向. 

图形旋转的性质：

1、经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，

2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

【典例】

例1（2020•陕西模拟）如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E，求证：△EDB≌△ABC．

【解答】证明：∵BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，

∴BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，

∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，

∴∠ACB＝∠DBE，

又∵∠CAB＝∠DEB＝90°，

∴△EDB≌△ABC（AAS）．

【方法总结】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，掌握旋转的性质是本题的关键．

例2（2020春•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．

（1）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到将△ADE（B的对应点是D，C的对应点是E），画出△ADE；

（2）连接BE，点F在格点上，满足：BF＝BE，△BEF的面积为，画出△BEF，连接DF并直接写出线段DF的长．

【解答】解：（1）如图，△ADE为所作；

（2）如图，△BEF为所作；

DF5．

【方法总结】

本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理．

【随堂练习】

1．（2020春•简阳市 期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C′，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM．若BC＝2，∠A＝30°，线段PM长度的最大值是　3　．

【解答】解：如图连接PC．

在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，

∴AB＝4，

根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，

∴A′P＝PB′，

∴PCA′B′＝2，

∵CM＝BM＝1，

又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，

∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．

故答案为：3．

2．（2020•武汉模拟）（1）如图（1），在△ABC中，分别作AB边上的高和中线，请用无刻度的直尺完成作图（保留作图痕迹）；

（2）如图（2），以A为旋转中心，将△ABC顺时针旋转∠B度，得到△AB′C′，请用无刻度的直尺作出△AB′C′（保留作图痕迹）．

【解答】解：（1）如图（1），CD和CE即为所求；

（2）如图（2）△AB′C′即为所求．

知识点4 中心对称

1．中心对称图形与对称中心：

在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

2．中心对称和对称中心：

在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。

3．中心对称和中心对称图形的关系：

它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系，二者是相对的。

4．中心对称的特征：

成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分；

反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。

【典例】

例1（2020秋•南昌期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（﹣3，﹣3），则点A′的坐标是　（3，1）　．

【解答】解：把△ABC和△A′B′C向上平移1个单位，则平移后△ABC和△A′B′C关于原点中心对称，

此时A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣2），

所以A′点的对应点的坐标为（3，2），

把点（3，2）向下平移1个单位得点（3，1），即点A′的坐标为（3，1）．

故答案为（3，1）．

【方法总结】

本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．本题的关键是利用平移把图形转化为关于原点对称的图形．

例2（2020春•灌云县期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．

（1）图中哪两个图形成中心对称？

（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．

【解答】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；

（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，

∴△EDB的面积也为4，

∵D为BC的中点，

∴△ABD的面积也为4，

所以△ABE的面积为8．

【方法总结】

本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．

【随堂练习】

1．（2020春•新邵县期末）如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？

【解答】解：∠B与∠F相等，理由如下：

∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，

∴∠B＝∠DEC，

∵AF∥BE，

∴∠F＝∠DEC，

∴∠B＝∠F．

   综合运用

1．（2020秋•柘城县期中）如图，将Rt△ABC沿BC方向平移得Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝8，DM＝5，则阴影部分的面积是　44　．

【解答】解：∵直角△ABC沿BC方向平移得到直角△DEF，

∴DE＝AB＝8，

∵DM＝5，

∴ME＝DE﹣DM＝8﹣5＝3，

由平移可得：

S阴影＝S△DEF﹣S△MEC

＝S△ABC﹣S△MEC

＝S梯形ABEM

（3+8）×8，

＝44．

故答案为：44．

2．（2020秋•武侯区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到△A'B'C'，若△ABC的周长为8cm，则四边形ABC'A'的周长为　10　cm．

【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，

∴AA′＝CC′＝1（cm），AC＝A′C′，

∴四边形ABC′A′的周长＝AB+（BC+CC′）+C′A′+AA′＝AB+BC+AC+AC′+CC′，

∵△ABC的周长＝8cm，

∴AB+BC+AC＝8（cm），

∴四边形ABC′A′的周长＝8+1+1＝10（cm）．

故答案为：10．

3．（2020春•南充期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．

（1）直线OC与AB有何位置关系？请说明理由．

（2）求∠EOB的度数；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）AB∥OC，理由如下：

∵CB∥OA，

∴∠ABC+∠OAB＝180°，

∵∠C＝∠OAB＝100°，

∴∠C+∠ABC＝180，

∴AB∥OC；

（2）∵CB∥OA，∠C＝100°，

∴∠AOC＝80°，

又∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，

∴∠EOB＝∠BOF+∠EOF（∠AOF+∠COF）80°＝40°；

（3）存在，

∵在△COE和△AOB中，

∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，

∴∠COE＝∠AOB，

∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，

∴∠COE∠AOC80°＝20°，

∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，

故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．

4．（2020春•天宁区校级期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移至点D的位置，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）请在图中画出平移后的三角形DEF；

（2）若连接BE、CF，则这两条线段之间的关系是　BE＝CF，BE∥CF　；

（3）请在图中画出过点A且平行于BC的直线AM．

【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求．

（2）观察图象可知：BE＝CF，BE∥CF．

故答案为：BE＝CF，BE∥CF．

（3）如图，线段AM即为所求．

5．（2020春•抚州期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，位置如图所示，请按下列要求进行图形变换．

（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作，A2 （3，2），B2 （1，3），C2（2，1）．

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