全国甲卷+全国乙卷高考数学复习 专题06 立体几何（文科）解答题30题专项提分计划

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1．（贵州省贵阳市2023届高三上学期8月摸底考试数学（文）试题）如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线线垂直；
（2）利用等体积公式，转化为，即可求解体积.
【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面平面，且平面平面，
因为，，且点是的中点，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）三棱锥,
由条件可知是等腰直角三角形，，
所以，点到平面的距离，
.
2．（广西普通高中2023届高三摸底考试数学（文）试题）如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求多面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直；
（2）利用割补法分别计算四棱锥与三棱锥的体积，再求和即可.
【详解】（1）
如图所示，连接，
平面，平面，
，
四边形为菱形，
，
又，且，平面，
平面，
平面，
平面平面；
（2）
如图所示，取中点，连接，
四边形为菱形，且，
，，
平面，平面，
，
又，且，平面，
平面，
所以四棱锥的体积为，
又因为平面，
所以三棱锥的体积，
所以几何体的体积.
3．（江西省五市九校协作体2023届高三第一次联考数学（文）试题）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明；(2) 利用，求得点B到平面的距离.
【详解】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，
因为是菱形，所以，且是的中点，
所以且，又，，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）设到平面的距离为，
因为平面，平面,所以,
因为,平面，所以平面，
且平面,所以,
因为，，所以，
所以,,
,
所以且,
所以,
取中点为，连接,因为是菱形，，
所以为等边三角形，所以,且,
又因为平面，平面,所以,
且平面,
所以平面,
又因为,
因为，即,所以.
4．（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（文）试题）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中点，点F在PC上，且．
(1)证明：平面PAB；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在线段上取点，使得，进而证明即可证明结论；
（2）利用等体积转化，即可得到本题答案.
【详解】（1）证明：在线段上取点，使得，
所以，在中，，且，
因为在四边形中，，，
所以，，
所以，四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）作交于点，
因为面，所以，
又，与交于点，
所以面，，
又，所以，所以，
所以，得，
因为为中点，
所以
5．（新疆阿克苏地区柯坪湖州国庆中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题）如图所示，已知平面，，分别是，的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】1）根据中位线定理，可得，即可由线面平行的判定定理证明平面；
（2）由已知推导出，再由，得平面，由此能证明；
【详解】（1），分别是，的中点，
，
平面，且平面，
平面；
（2）平面，，分别是，的中点，
，
，平面，
平面，
平面，.
6．（内蒙古乌兰浩特第一中学2022届高三全真模拟文科数学试题）如图在梯形中，，，，为中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，连接，
(1)证明：平面平面；
(2)当时，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先根据题意易证，，从而得到平面，再根据面面垂直的判定即可证明平面平面.
（2）利用三棱锥等体积转换求解即可.
（1）
在梯形中，，所以，
在中，，，所以，
所以，即，梯形为直角梯形.
因为，，，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）
因为平面平面，，所以平面，
又平面，所以，
所以，即为等边三角形.
取的中点，连接，如图所示：
因为，为中点，所以.
因为平面平面，，所以平面，
因为，，
设到平面的距离为，
因为，所以，解得.
即点到平面的距离为.
7．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A卷））如图，四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，侧面为矩形，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理可证，易证，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；
（2）因为，由（1）可知平面，由此可知是三棱锥的高，再根据，由此即可求出结果.
（1）
证明：中，因为，，，
所以.
所以，
又侧面为矩形，
所以，
又，，平面.
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）
解：因为，平面，
所以平面，
易得，，，，
所以的面积.
三棱锥的体积.
8．（黑龙江省八校2021-2022学年高三上学期期末联合考试数学（文）试题）已知直三棱柱中，，点D是AB的中点．
(1)求证：平面；
(2)若底面ABC边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）连接交于点E，连接DE，由三角形中位线定理，得，进而由线面平行的判定定理即可证得结论；
（2）利用等体积转化，依题意，高为CD，再求底面的面积，进而求三棱锥的体积.
【详解】（1）连接交于点E，连接DE
∵四边形是矩形，∴E为的中点，
又∵D是AB的中点，∴，
又∵平面，平面，∴面．
（2）∵，D是AB的中点，∴，
又∵面ABC，面ABC，∴．
又∵面，面，，
∴面，∴CD为三棱锥的高，，
又∵，，∴，，
∴三棱锥的体积．
9．（青海省西宁市2022届高三二模数学（文）试题）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，，．
(1)求圆锥的表面积；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式求出侧面积，再求出底面积相加即可得解；
（2）通过证明平面，可得平面平面.
（1）
圆锥的侧面积，
底面积，
故表面积.
（2）
证明：由圆锥的性质知，平面，
因为平面，所以，
因为是底面圆的一条直径，所以
又是的中点，所以，
又，平面，平面
所以平面，又平面，所以平面平面．
10．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）如图，在四棱锥中，底面ABCD，⊥，，，，点E为棱PC的中点．
(1)证明：平面⊥平面PCD；
(2)求四棱锥的体积；
【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
【分析】（1）作出辅助线，由线面垂直得到线线垂直，由勾股定理得到各边长，得到和，从而得到线面垂直，证明面面垂直；
（2）求出四棱锥的体积，进而由E为棱PC的中点得到四棱锥的体积.
【详解】（1）∵在四棱锥中，底面，平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∵，，
∴，
，且，
过点B作BM⊥CD于点M，连接AE，则，，
由勾股定理得：，
故PB=BC，
又点为棱的中点，，
由勾股定理得，
∵△PAC为直角三角形，E为PC的中点，
∴，
∵，
∴由得，
又，
故，又，
所以平面⊥平面；
（2）四边形ABCD的面积为，
故，
∵点为棱的中点，
∴.
11．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文）试题）如图，在正三棱柱中，，D，E分别是棱BC，的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明；
(2)根据等体积法求解.
【详解】（1）证明：由正三棱柱的性质，
所以，
则，因为，
所以，即.因为，
D是棱BC的中点，所以.
由正三棱柱的定义可知平面ABC，则.
因为BC，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以.
因为AD，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）连接.因为，所以的面积.
由正三棱柱的性质可知平面，则点到平面的距离为AD.
因为是边长为2的等边三角形，所以，
故三棱锥的体积.因为，E是的中点，所以，，
则的面积.
设点到平面的距离是d，则三棱锥的体积.因为，所以，解得.
12．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）在三棱锥中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.
(1)证明：；
(2)若，求点M到平面PAB的距离.
【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】（1）由三线合一得，再根据线面垂直的性质定理得，最后根据线面垂直的判定定理得到面，则；
（2）设点到平面的距离为,点到面的距离为，利用等体积法有，即，代入相关数据求出，则.
【详解】（1）分别连接，，为中点，为等边三角形
，
点在底面上的投影为点，
平面，平面，
，
又平面平面，
面，面，
.
（2）设点到平面的距离为,点到面的距离为，
，
为在底面上的投影,
为与面所成角，，
垂直平分，，为正三角形，，
Rt中，易得
，
，
到的距离为，，
又，
由，，
，
，
点到平面的距离为
13．（广西南宁市第二中学2023届高三上学期第一次综合质检数学（文）试题）如图，D，O是圆柱底面的圆心，是底面圆的内接正三角形，为圆柱的一条母线，P为的中点，Q为的中点，
(1)若，证明：平面；
(2)设，圆柱的侧面积为，求点B到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再证明进而由线面垂直的判定定理可得平面，从而得证平面.
（2）利用由等积法求解即可
【详解】（1）∵D，O为圆柱底面的圆心，
∴平面.
而为圆柱的一条母线，
∴.
又∵P为的中点，Q为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴.
又∵P在上，而平面，
∴O为P在内的投影，
且是圆内接正三角形.
∴三棱锥为正三棱锥.
∴，
∴，
即.
∵，平面.
∴平面，
∵，
∴平面.
（2）设点B到面的距离为h，设圆柱底面半径为r，
由母线及圆柱的侧面积为，
得，解得，
则.
在中，，
则，
，
又，
且，
∴，解得.
故点B到平面的距离为.
14．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，．
(1)证明：平面平面PAC；
(2)若，求点D到平面PBC的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，由及直线与平面垂直的判定定理得平面PAC，再由平面与平面垂直的判定定理证明平面平面PAC；
（2）由（1）得，，由平面与平面垂直的性质定理，平面ABCD，
利用等体积法，求得D到平面PBC的距离.
【详解】（1）证明：取AB的中点为E，连接CE，
由，可知四边形ADCE是平行四边形，
所以，∴点C在以AB为直径的圆上，所以，
又，，且PA，平面PAC，
所以平面PAC，又平面PBC，所以平面平面PAC．
（2）因为平面PAC，平面PAC，所以，
由，，得，
又因为，，，，
因为平面PAC，又平面ABCD，平面平面PAC，
连接DE交AC于点O，则O为AC的中点，连接PO，则，．
因为平面平面PAC，平面平面，所以平面ABCD，
设点D到平面PBC的距离为d，
由得，，所以．
15．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试（2月联考）数学（文）试题）如图，在长方体中，，，点E在棱上，且．
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析;
(2) .
【分析】(1)通过证明平面得到.
(2) 将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解.
【详解】（1）因为是长方体，所以平面，
因为平面，所以，
因为，面A1DC，
所以平面，
因为 平面，所以.
（2）
在平面中，由得，所以，
所以，所以，所以，
所以，
因为平面，所以平面，所以DC为三棱锥的高，
所以 .
16．（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）如图1，在等腰梯形中，，，分别是，，的中点，，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2．
(1)证明：平面．
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明平面平面，再由性质得出平面；
（2）以的中点为坐标原点建立坐标系，由向量法得出点到平面的距离.
【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以.
又四边形是菱形，所以，.
因为平面，平面，所以平面.
同理可证平面，因为平面.
所以平面平面，又 平面，所以平面.
（2）取的中点为，连接，由题意易知，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面，所以
以点为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设平面的法向量为
，
，取，则
则点到平面的距离
17．（宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（文）试题）如图1，在直角梯形中，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图2）.
(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】(1)应用面面垂直性质定理得到线面垂直,再应用等体积法,计算距离即可;
(2)因为平面,可求得分的比例关系,根据(1)即可求得三棱锥的高,计算即可求得三棱锥的体积.
【详解】（1）取中点，因为，所以.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.
在直角三角形中，.
,
.
（2）存在点，此时，
过点作，连接
因为，所以
所以四边形EFPC为平行四边形，所以
因为平面平面，所以平面.
因为，所以
由（1）知平面，点到平面的距离,
.
18．（陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质进行推理即可得解；（2）利用等体积转化法即可求解.
【详解】（1）证明：平面，平面
，
四边形为菱形，
，
又，平面平面，
平面
（2）
平面，
，
由四边形为菱形，，
可得，
，
设点到平面的距离为，
则，
由可得，
解得.
点到平面的距离为.
19．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）如图，在四棱锥中，底面是菱形，．
(1)证明：平面；
(2)若，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【分析】（1）根据题干中的已知条件结合菱形的性质，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）在中，利用余弦定理求得的值，在中，利用勾股定理证明，即可证明为四棱锥的高，利用棱锥的体积公式计算即可.
(1)
解：如图，记与的交点为，连接.
因为底面为菱形，故，为、的中点，，
又，故，所以，故，
又,故平面.
(2)
解：因为，
在中，由余弦定理得：，
解得：.同理.
又，故为等边三角形，则，，,所以.
在中，，，，故，所以，
又，，故平面.
所以四棱锥的体积为.
20．（内蒙古2023届高三仿真模拟考试文科数学试题）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若是棱的中点，，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，进而得到；利用勾股定理和线面垂直的判定得到平面，从而得到；利用勾股定理可证得，由此可得结论；
（2）设点到平面的距离为，利用等体积转换的方式，由，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果.
【详解】（1）连接，
，，，又，，
为棱中点，，又，，平面，
平面，又平面，；
在直角梯形中，取中点，连接，
，，又，，，
四边形为正方形，，，
，又，，，
，平面，平面，
平面，；
，，，，
又，平面，平面.
（2），，，，
由（1）知：平面，，则点到平面的距离，；
，，，
分别为棱中点，，
，，，，
，，，
由余弦定理得：，则，
，
设点到平面的距离为，
，解得：，
即点到平面的距离为.
21．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，平面平面.
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理可得，结合为等腰直角三角形，可得平面，进而得到.
（2）考虑到条件平面平面，故以△ABC为底面，△ABP底边AB上的高为体高进行求解.
(1)
证明：∵，，，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴
又∵，平面.
∴平面.
∵平面，∴
命题得证.
(2)
解取的中点.连接（如图）.
∵为等腰直角三角形，，
∴，，.
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
又∵平面.∴，
由（1）得，，，平面
∴平面.
又∵平面，∴
∴，
∴
∴.
所以三棱锥的体积为.
22．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知三角形是边长为2的正三角形，现将菱形沿折叠，所成二面角的大小为120°，此时恰有.
(1)求的长；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取中点，连接，先证明平面，进而得到再计算的长即可；
（2）根据为二面角的平面角可得三棱锥的高，进而利用体积转换求三棱锥的体积即可
（1）
取中点，连接，
∵是正三角形，
∴，
又∴
∴平面，
∴，故为等腰三角形
又菱形，故，，
∴，故
（2）
由（1）知，为二面角的平面角，∴
∵AD⊥平面PMC，∴平面PAD⊥平面PMC．交线为PM.
故三棱锥的高
∵
∴
23．（陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考文科数学试题）如图，在四棱锥中，底面是长方形，，，二面角为，点为线段的中点，点在线段上，且.
(1)平面平面；
(2)求棱锥的高.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直的判定进行证明；
（2）利用等体积法求解棱锥的高.
【详解】（1）∵，∴.
又，，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面.
（2）如图，作于，于，连接，
∵平面，平面，∴；
∵,面ABCD，
∴平面；
∵平面，∴；
∵，面EHM，
∴平面面EHM，∴.
设棱锥的高为，
∵平面，∴，
∵二面角为，∴.
∵底面是长方形，，，点为线段的中点，且.
∴，，，.
∴，
∵，
∴，∴棱锥的高.
24．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）如图，在四棱锥中，平面底面，且.
(1)证明：；
(2)求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，证明平面，得线线垂直；
（2）利用体积法求点面距：．
【详解】（1）取的中点，连接.
因为，所以.
又，所以.
又，所以为正三角形，所以.
因为，且在平面内，所以平面.
又平面，所以.
（2）因为，所以.又，所以，则.
由，得，故，连接，则.
因为平面底面，平面，所以平面，则
连接.因为，所以，
在中，到的距离，则.
设点A到平面的距离为，由，
得，
解得，即点到平面的距离为.
25．（陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测（五）文科数学试题）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，E为BC的中点，D为的中点，P为线段AC上的动点．
(1)若平面，请确定点在线段上的位置；
(2)若点为的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)点P是线段AC上靠近点C的四等分点
(2)
【分析】（1）连接与DE相交于，连接，连接交于点，由线面平行的性质得到，再根据三角形相似得到，，从而得到，即可得到，从而得解；
（2）取的中点，连接，，即可得到，再由面面垂直的性质得到平面，求出的长度，即可得到点到平面的距离，从而得到点到平面的距离，最后根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】（1）解：如图，连接与相交于，连接，连接交于点，
∵平面，平面平面，平面，
∴，
∵，，
∴，，又，所以，
∵，，
∴，
∴点是线段上靠近点的四等分点；
（2）解：如图，取的中点，连接，，
∵四边形为边长为2的菱形，，
∴，为等边三角形，
∵，为等边三角形，∴，
∵平面平面，平面平面，，
平面，
∴平面，
又由，为的中点，为的中点，可得，
∵四边形为边长为2的菱形，为等边三角形，，
∴，
∵D为的中点，平面平面，
∴点到平面的距离与点到平面的距离相等，
∴，
∵为的中点，∴点到平面的距离为，
∴三棱锥的体积为．
26．（山西省运城市2022届高三上学期期末数学（文）试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点．
(1)证明：平面PAB；
(2)若点N到平面PCM的距离为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接AC，通过证明，即可得平面PAB；
（2）过点作，垂足为，利用可得的值，则可得答案.
【详解】（1）证明：连接AC
在中，因为，，，
所以，
因为，，所以是等边三角形．
因为点是的中点，所以，
在中，，，，
满足，所以，
而，所以平面；
（2）过点作，垂足为，
由（1）可知平面，
因为平面，
所以平面平面，平面平面，
所以平面．
由得，
，
解得，
所以.
27．（2020届河南省许昌济源平顶山高三第二次质量检测文科数学试题）如图，四棱锥中，，，，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理可得，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面即可.
（2）由，利用等体积法，即可求出点到平面的距离.
【详解】（1）解：取、的中点分别为、，连结，，，
因为，，
所以四边形为梯形，
又、为、的中点，
所以为梯形的中位线，
所以，
又，
所以，
因为，为的中点
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，
故，
因为，为中点，
所以，
又，不平行，必相交于某一点，且，都在平面上，
所以平面，
又平面，
则平面平面.
（2）由（1）及题意知，为三棱锥的高，
，，，
故，
，
而，
设点到平面的距离为，
由等体积法知：，
解得，
所以点到平面的距离为.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.
28．（青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.
（2）求得三棱锥的体积，设点到平面的距离为，表示出三棱锥的体积，利用等体积法,即可求得答案.
【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.
因为平面，所以；
因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，
由题意可得的面积.
因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.
由（1）可知平面，则三棱锥的体积
因为是棱的中点，且，所以，则.
由（1）可知平面,平面 ，则，
从而的面积.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.
29．（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）文科数学试题）如图，在四棱锥P—ABCD中， ，，．
(1)证明：；
(2)若，， ，且点到平面的距离为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，再结合线面垂直的性质得异面直线垂直即可；
（2）取的中点，连接，，过作于，利用且点到平面的距离为以及三角形等面积法求得的值，在利用直线与平面，平面与平面位置关系，证明四边形为矩形，即可得的长.
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，，∴，
∴，即．
∵，，平面
∴平面，又平面，
∴．
（2）解：取的中点，连接PE，CE，过作于.
∵，为中点
∴，
由（1）知，为中点，∴，
∵，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面，又平面平面，，平面
∴平面，
由条件知．由（1）有平面，平面，∴，设，又，则，
∵，∴，得，∴．
∵，，，平面，
∴平面，又平面
∴，
∵，∴，∴四边形为矩形，∴．
30．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是和的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；
（2）由等体积法求体积，.
【详解】（1）连接，因为，，
所以.
因为是的中点，所以.
因为，是的中点，所以.
因为，且平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，平面，平面，所以平面，
所以，
，
设G为BC的中点，
因为，所以，
由条件知，，所以，
所以，所以.