福建省连城县第一中学2023届高三下学期周考（二）数学试卷（含答案）

福建省连城县第一中学2023届高三下学期周考（二）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知复数为纯虚数，且，则(   )

A. B. C.或 D.或

3、在中，若、分别是方程的两个根，则(   )

A. B. C. D.

4、已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比(   )

A.1或 B.或 C.或2 D.1或

5、目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员工的值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为.已知公司男、女员工的人数比例为，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为(   )

A. B. C. D.

6、已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若，则(   )

A. B.2 C. D.3

7、已知中，，，，在线段BD上取点E，使得，则(   )

A. B. C. D.

8、已知函数为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列说法正确的的有(   )

A.若一组数据，，，…，的方差为10，则，，，…，的方差也为10

B.对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4

C.已知随机变量X服从正态分布，若，则

D.已知随机变量X服从二项分布，若，则

10、圆，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是(   )

A.直线l与圆C相交

B.若点P到直线l的距离为3，则点P有2个

C.的最小值是1

D.从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是2

11、已知函数(其中，)的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，当时，的图像与x轴的所有交点的横坐标之和为，则(   )

A.  B.在区间内单调递增

C.的图像关于点对称 D.的图像关于直线对称

12、已知正四棱台的所有顶点都在球O的球面上，，，E为内部(含边界)的动点，则(   )

A.平面

B.球O的表面积为

C.的最小值为

D.与平面所成角的最大值为

三、填空题

13、的展开式中项的系数是________.(用数字作答)

14、已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若(O为坐标原点)的面积为，则双曲线的渐近线方程为__________.

15、现为一球形水果糖设计外包装，要求外包装是全封闭的圆锥形，若该水果糖的半径为1cm，则外包装圆锥的体积最小值是________.

16、对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________.

四、解答题

17、已知数列各项均为正数，且，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求.

18、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.

(1)求B；

(2)已知点D在边AC上，且是的角平分线，，求的最小值.

19、近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作.建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分)，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表)；

(2)估计A小区满意度得分的第80百分位数；

(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案.现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望.

20、如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点.

(1)证明：；

(2)是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

21、已知椭圆的左右焦点分别为，,椭圆C经过点，且直，与圆相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围.

22、若函数有两个零点，，且.

(1)求a的取值范围；

(2)若在和处的切线交于点，求证：.

参考答案

1、答案：A

解析：由可知集合，所以，故选A.

2、答案：C

解析：设(a，)，则，因为复数为纯虚数，所以解得又，所以或，解得或，所以或.故选C项.

3、答案：B

解析：解：在中，若，分别是方程的两个根，

则，，

又，则，

即，，

则，，

即

，

故选：B.

4、答案：C

解析：，，成等差数列，

，

即，

整理得，即，

，，解得或，

故选：A.

5、答案：D

解析：设公司男、女员工的人数分别为2n和n，

则男员工中，肥胖者有人，

女员工中，肥胖者有人，

设任选一名员工为肥胖者为事件A，肥胖者为男性为事件B，

则，，

则.故选：D.

6、答案：B

解析：解：过B作，垂足为E，，垂足为H.

又，所以四边形BEDH为矩形，所以.

因为，所以，所以.

由抛物线的定义，可得，，

所以，即.故选B.

7、答案：D

解析：由题意知是向量与向量的夹角，，，，，，

则.故选D项.

8、答案：A

解析：因为，所以，构造函数，当时，，在区间内单调递增，且，又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，所以在区间内单调递减，且.不等式整理得，即，当时，，则，解得；当时，，则，解得，又，所以.综上，不等式的解集为.故选A项.

9、答案：AC

解析：对于A：设，，，…，的平均数为，方差为，

则，，

所以，，，…，的平均数为，

所以方差为，故选项A正确；

对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，

可得，故选项B错误；

对于C：因为防机变量x服从正态分布，

所以对称轴为，又，

而，所以，

则，做选项C正确;

对于D：因为X服从二项分布，所以，所以，则，故选项D错误.

故选：AC.

10、答案：BC

解析：圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，

故直线1与圆C相离，A错误；的最小值是，最大值是，故点P到直线l的距离为3时，点P有2个，B正确，C正确；

设Q点向圆C引切线QT，，最小时，即最小，的最小值为圆心到直线的距离，

此时，D错误.

故选：BC.

11、答案：AB

解析：令，则，所以，或，，解得，或，，所以的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，所以，解得，所以，所以的周期，当时，，令，即，又，所以或，所以或，由得，所以，，A项正确；由，得，所以在区间内单调递增，B项正确；，所以的图像不关于点对称，C项错误；，所以的图像不关于直线对称，D项错误.故选AB项.

12、答案：ACD

解析：解：对于选项A：连结BD，AC，交于点F，则，所以四边形为平行四边形，

故，又平面，平面，所以平面BDC，故A正确：

对于选项B：如图，易知，从而F为球O的球心，且半径为，所以球O的表面积为，故选项B错误；

对于选项C：易得平面，且平面，从而平面平面，连结，交于点G，则，，又平面，

平面平面，所以平面，因为平面，所以，故，所以，故选项C正确；

对于选项D：因为平面，垂足为G，所以为直线到平面的距离，从而点A到平面的距离为.设直线AE与平面所成的角为，则，因为，所以，所以，故选项D正确.

综上，可得正确的选项为ACD.

13、答案：

解析：展开式的通项为，

取得到，

故的展开式中项的系数是.

故答案为：.

14、答案：

解析：设双曲线的左，右焦点分别为，，

不妨设曲线的一条渐近线的方程为，

因为过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，则，

所以直线的方程为，，

联立，解得，

则，即，即，

化简可得，故，

所以曲线的渐近线方程为，

故答案为：.

15、答案：

解析：设圆锥体包装盒的底面半径为r，高为h，如图为圆锥体的轴截面，

由题意可得，

所以，

所以，得，

所以包装盒的体积为，

当且仅当，即时取答号，

所以外包装圆锥的体积最小值为，

故答案为：.

16、答案：

解析：恒成立，恒成立，

令，，，，在，

，即，，

，，，

在，，，.

17、答案：(1)数列的通项公式是

(2)

解析：(1)由得：，而，，

因此，即数列是首项，公差的等差数列，，

所以数列的通项公式是.

(2)由(1)知，，

则有，

所以.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)由及正弦定理得，，

因为，所以，又，所以.

(2)因为是角平分线，所以，

又，代入数据得，，

化简得，，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立.

即的最小值为.

19、答案：(1)方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎

(2)第80百分位数为85分

(3)分布列见解析，数学期望是4

解析：(1)设A小区方案一满意度平均分为，

则，

设B小区方案二满意度平均分为，则，

因为，

所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.

(2)因为前4组的频率之和为，

前5组的频率之和为，

所以第80百分位数在第5组，

设第80百分位数为x，则，解得，

所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分.

(3)由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为0.8，低于70分的频率为0.2，

现从B小区内随机抽取5个人，

则，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，

，

，

，

，

，

，

X的分布列为

由二项分布知.

20、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)O为的中点，，，

平面平面，

平面，；

(2)由(1)得平面，以点O为原点，，所在的直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由题意可得，，，，，

设是平面的一个法向量，则

，令，则

，

由题意可知是平面的一个法向量，

，，

，，，

直线与平面所成角的正弦值为.

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)椭圆C经过点，，

由题意得直线的方程为，即，

直线与圆相切，，，

，椭圆C的方程为；

(2)设，，点是的中点，

由得，

，，

，

，，

直线的方程为，

点M的横坐标为，

，，.

点M的横坐标的取值范围为.

22、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)，

当，，在上单调递减，不可能两个零点；

当时，令得，

，，单调递增，，，单调递减，

，；；，，

有唯一零点且有唯一零点，满足题意，

综上：；

(2)先证右边：令，则，

，，单调递增，，，单调递减，

的最大值为，，即，

且，

，

又，，

；

再证左边：曲线在和处的切线分别是

，，

联立两条切线得，，

由题意得，

要证，即证，即证，即证，

令，即证，

令，

，在单调递减，，

得证.

综上：.