中考数学专题复习 专题39 中考函数综合类问题

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中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。

专题39 中考函数综合类问题

1.一次函数与二次函数的综合。
2.一次函数与反比例函数的综合。
3.二次函数与反比例函数的综合。
4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。
5.其他情况下的综合。

【例题1】(2020•青岛)已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y=cx的图象如图所示，则一次函数y=cax﹣b的图象可能是(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出ca＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y=cax﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解析】观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，
∴ca＜0，﹣b＜0，
∴一次函数y=cax﹣b的图象经过二三四象限．
【对点练习】(2019内蒙古呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
A．B． C．D．
【答案】D．
【解析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点(﹣1，0)，排除A、B；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C.
【例题2】(2020•安徽)如图，一次函数y＝x+k(k＞0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　 　．

【答案】2
【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
【解析】一次函数y＝x+k(k＞0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为(﹣k，0)、(0，k)，
则△OAB的面积=12OA•OB=12k2，而矩形ODCE的面积为k，
则12k2＝k，解得：k＝0(舍去)或2，
【对点练习】(2019吉林长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+(a＞0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则ɑ的值为

【答案】2.
【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标，然后将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+-a的形式，得出点P的坐标，进而得出OP的方程，进而得出点B的坐标，最后根据M为线段AB的中点，可得=4，进而得出答案.
令x=0，可得y=，
∴点A的坐标为(0，)，
∴点M的坐标为(2，).
∵y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a，
∴抛物线的顶点P的坐标为(1，-a)，
∴直线OP的方程为y=(-a)x，
令y=，可得x=，
∴点B的坐标为(，).
∵M为线段AB的中点，
∴=4，解得a=2。
【例题3】(2020•菏泽)如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(1，2)，B(n，﹣1)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

【答案】见解析。
【分析】(1)先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
(2)先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P(m，0)，知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP=12•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解析】(1)将点A(1，2)代入y=mx，得：m＝2，
∴y=2x，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B(﹣2，﹣1)，
将A(1，2)、B(﹣2，﹣1)代入y＝kx+b，
得：k+b=2−2k+b=−1，
解得k=1b=1，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y=2x；

(2)在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C(﹣1，0)，
设P(m，0)，
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP=12•PC•yA＝4，
∴12×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为(3，0)或(﹣5，0)．
【对点练习】(2019广西省贵港市)如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接，．
(1)求，的值；
(2)求的面积．

【答案】将解析。
【解析】由菱形的性质可知，，点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；求出直线与轴和轴的交点，即可求的面积；
(1)由已知可得，
菱形，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
将点代入，
；
(2)，
直线与轴交点为，

【例题4】(2020贵州黔西南)已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)如图(1)，点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
(3)如图(2)，点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【答案】(1)y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；(2)P(3，12)；(3)(，)或(，)
【解析】(1)将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
(2)先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-(t-3)2+9，即可得出结论；
(3)先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【详解】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(6，0)，B(－1，0)，
∴
解得a＝－1，b＝5，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．
∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)．
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，
∴C(0，6)，∴OC＝6．
∵A(6，0)，
∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD＋PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，
把A(6，0)，C(0，6)代入得
解得k＝－1，d＝6，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．
设E(t，－t＋6)(0＜t＜6)，则P(t，－t2＋5t＋6)，
∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．
∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，
∴P(3，12)．
(3)如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴．
由(2)知直线AC的解析式为y＝－x＋6，
当x＝时，y＝，
∴F(，)，
∴点N的纵坐标为．
∵点N在抛物线上，
∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝，
∴点N坐标为(，)或(，)．

【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，(2)中判断出PD=PE，(3)中NF∥x轴是解本题的关键．
【对点练习】(2019湖北咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−12x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

【答案】见解析。
【解析】求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式．
通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标．
(1)在y=−12x+2中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A(4，0)，B(0，2)
把A(4，0)，B(0，2)，代入y=−12x2+bx+c，得
c=2−12×16+4b+c=0，解得b=32c=2
∴抛物线得解析式为y=−12x2+32x+2
(2)如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F

∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE
∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为(x，−12x2+32x+2)，则BF＝x，DF=−12x2+32x
∵tan∠DBE=DFBF，tan∠BAC=BOAO
∴DFBF=BOAO，即−12x2+32xx=24
解得x1＝0(舍去)，x2＝2
当x＝2时，−12x2+32x+2=3
∴点D的坐标为(2，3)
(3)

当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E(m，−12m+2)，F(m，−12m2+32m+2)
EF＝|(−12m+2)﹣(−12m2+32m+2)|＝2
解得m1＝2，m2=2−22，m3=2+22
当BO为对角线时，OB与EF互相平分

过点O作OF∥AB，直线OFy=−12x交抛物线于点F(2+22，−1−2)和(2−22，−1+2)
求得直线EF解析式为y=−22x+1或y=22x+1
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为−22−2或22−2
∴E点的坐标为(2，1)或(2−22，1+2)或(2+22，1−2)或(−2−22，3+2)或(−2+22，3−2)

一、选择题
1.(2020•无锡)反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B(12，m)，则k的值为(　　)
A．1 B．2 C．23 D．43
【答案】C
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
【解析】∵一次函数y=815x+1615的图象过点B(12，m)，
∴m=815×12+1615=43，
∴点B(12，43)，
∵反比例函数y=kx过点B，
∴k=12×43=23
2.(2019广东深圳)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数y=ax+b与y=的图象为( )

【答案】C
【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；符号判断。先根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象确定a，b，c的正负，则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限．
由二次函数的图象可知，a<0，b>0，c<0．当a<0，b>0，c<0时，一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限；反比例函数y=位于第二、四象限，选项C符合．故选C．
3．(2019齐齐哈尔)“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院(营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上)．到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地(赠送礼物的时间忽略不计)，下列图象能大致反映战士们离营地的距离S与时间t之间函数关系的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】根据题意，可以写出各段过程中，S与t的关系，从而可以解答本题．
由题意可得，
战士们从营地出发到文具店这段过程中，S随t的增加而增大，故选项A错误，
战士们在文具店选购文具的过程中，S随着t的增加不变，
战士们从文具店去福利院的过程中，S随着t的增加而增大，故选项C错误，
战士们从福利院跑回营地的过程中，S随着t的增大而减小，且在单位时间内距离的变化比战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项B正确，选项D错误。
4.(2020•无锡)反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B(12，m)，则k的值为(　　)
A．1 B．2 C．23 D．43
【答案】C
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
【解析】∵一次函数y=815x+1615的图象过点B(12，m)，
∴m=815×12+1615=43，
∴点B(12，43)，
∵反比例函数y=kx过点B，
∴k=12×43=23，
二、填空题
5．(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为　 　．
【答案】0
【分析】联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解．
【解析】∵直线y＝x与双曲线y=mx交于A，B两点，
∴联立方程组得：y=xy=mx，
解得：x1=my1=m，x2=−my2=−m，
∴y1+y2＝0
6.(2020•菏泽)从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y=abx，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　 　．
【答案】23．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】画树状图得：

则共有12种等可能的结果，
∵反比例函数y=abx中，图象在二、四象限，
∴ab＜0，
∴有8种符合条件的结果，
∴P(图象在二、四象限)=812=23，
7．(2020•自贡)如图，直线y=−3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　　，前25个等边三角形的周长之和为　　．

【答案】43，60．
【分析】设直线y=−3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线y=−3x+b与双曲线y=kx在第一象限交于点B、C两点，可得−3x+b=kx，整理得，−3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【解析】设直线y=−3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=−3x+b，
∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为(33b，0)，
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为(0，b)，
∴OA＝﹣b，OD=−33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=−3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，
∴−3x+b=kx，
整理得，−3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝(2EB)(2FC)＝4EB•FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由题意可以假设D1(m，m3)，
∴m2•3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2(4+n，3n)，
∵(4+n)•3n＝43，
解得n＝22−2，
∴E1E2＝42−4，即第二个三角形的周长为122−12，
设D3(42+a，3a)，
由题意(42+a)•3a＝43，
解得a＝23−22，即第三个三角形的周长为123−122，
…，
∴第四个三角形的周长为124−123，
∴前25个等边三角形的周长之和
12+122−12+123−122+124−123+⋯+1225−1224=1225=60，
故答案为43，60．

8．(2020•甘孜州)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=2x的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为　 　．

【答案】2或−3+172．
【分析】分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．
【解析】①当点P在AB下方时
作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，

直线AB与x轴交点的坐标为(﹣1，0)，则直线l与x轴交点的坐标C(1，0)，
设直线l的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣1，
故直线l的表达式为y＝x﹣1①，而反比例函数的表达式为：y=2x②，
联立①②并解得：x＝2或﹣1(舍去)；
②当点P在AB上方时，
同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x+3③，
联立①③并解得：x=−3±172(舍去负值)；
故答案为：2或−3+172．
三、解答题
9．(2020•成都)在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．

【答案】见解析。

【分析】(1)把A(3，4)代入y=mx(x＞0)即可得到结论；
(2)根据题意得到B(−bk，0)，C(0，b)，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】(1)∵反比例函数y=mx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
(2)∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B(−bk，0)，C(0，b)，
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴12×4×|−bk|＝2×12×|−bk|×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k=23，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．
10．(2020•广元)如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(3，4)，B(n，﹣1)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
(3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

【答案】见解析。
【分析】(1)先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
(2)分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；
(3)根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．
【解析】(1)把A(3，4)代入y=mx，
∴m＝12，
∴反比例函数是y=12x；
把B(n，﹣1)代入y=12x得n＝﹣12．
把A(3，4)、B(﹣12，﹣1)分别代入y＝kx+b中，
得3k+b=4−12k+b=−1，
解得k=13b=3，
∴一次函数的解析式为y=13x+3；
(2)∵A(3，4)，
∴OA=32+42=5，
∵△AOC为等腰三角形，
分三种情况：
①当OA＝OC时，OC＝5，
此时点C的坐标为(5，0)，(﹣5，0)；
②当AO＝AC时，∵A(3，4)，点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为(6，0)；
③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，
在△ACD中，42+(x﹣3)2＝x2，
解得：x=256，
此时点C的坐标为(256，0)；

综上：点C的坐标为：(6，0)，(5，0)，(256，0)，(﹣5，0)；
(3)由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
﹣12＜x＜0或x＞3，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．
11.(2019山东东营)如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y=相交于A(－2，a)、B 两点，BC⊥x 轴，垂足为 C，△AOC的面积是2．
(1)求 m、n的值；
(2)求直线 AC的解析式．

【答案】见解析。
【解析】根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B(2，a)，由于BC⊥x轴，所以C(2，0)，先利用三角形面积公式得到×2×a＝2，解得a＝2，则可确定A(﹣2，2)，然后把A点坐标代入y＝mxy＝mx和y＝中即可求出m，n；根据待定系数法即可得到直线AC的解析式．
(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(﹣2，a)、B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴B(2，﹣a)，
∴C(2，0)；
∵S△AOC＝2，
∴×2×a＝2，解得a＝2，
∴A(﹣2，2)，
把A(﹣2，2)代入y＝mx和y＝得﹣2m＝2，2＝，解得m＝﹣1，n＝﹣4；
(2)设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵直线AC经过A、C，
∴，解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1．
12．(2020•安徽)在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【答案】见解析。
【分析】(1)根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B(2，3)在直线y＝x+m上；
(2)因为直线经过A、B和点(0，1)，所以经过点(0，1)的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
(3)设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为(p2，p24+q)，根据题意得出p24+q=p2+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=p24−p2−1=−14(p﹣1)2+54，从而得出q的最大值．
【解析】(1)点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A(1，2)，
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B(2，3)在直线y＝x+m上；
(2)∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点(0，1)，且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A(1，2)，C(2，1)代入y＝ax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1，
解得a＝﹣1，b＝2；
(3)由(2)知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为(p2，p24+q)，
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴p24+q=p2+1，
∴q=p24−p2−1，
∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q=p24−p2−1=−14(p﹣1)2+54，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54．
13．(2020•齐齐哈尔)综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A(﹣4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)，如图①．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线AB的函数解析式为　　，点M的坐标为　　，cos∠ABO＝　　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　　；
(3)在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
(4)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析。
【分析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；
(2)点A(﹣4，0)，OB＝OA＝4，故点B(0，4)，即可求出AB的表达式；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，即可求解；
(3)△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；
(4)分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．
【解析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：12×16−4b+c=012×4+2b+c=6，解得b=2c=0，
故直线AB的表达式为：y=12x2+2x；
(2)点A(﹣4，0)，OB＝OA＝4，故点B(0，4)，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；
则∠ABO＝45°，故cos∠ABO=22；
对于y=12x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M(﹣2，﹣2)；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，
则yPyC=13或23，即yP6=13或23，解得：yP＝2或4，
故点P(﹣2，2)或(0，4)；
故答案为：y＝x+4；(﹣2，﹣2)；22；(﹣2，2)或(0，4)；
(3)△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，点A′(4，0)，
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则4k+b=0−2k+b=−2，解得k=13b=−43，
故直线A′M的表达式为：y=13x−43，
令x＝0，则y=−43，故点Q(0，−43)；
(4)存在，理由：
设点N(m，n)，而点A、C、O的坐标分别为(﹣4，0)、(2，6)、(0，0)，
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O(N)右平移6个单位向上平移6个单位得到点N(O)，
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N(6，6)或(﹣6，﹣6)；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N(﹣2，6)；
综上，点N的坐标为(6，6)或(﹣6，﹣6)或(﹣2，6)．
14．(2020•湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
(1)如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
(2)如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析。
【分析】(1)①先确定出点C的坐标，再用待定系数法即可得出结论；
②先确定出抛物线的顶点坐标，进而得出DF=b24，再判断出△AFD≌△BCO，得出DF＝OC，即可得出结论；
(2)先判断出抛物线的顶点坐标D(﹣1，c+1)，设点A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)，
判断出△AFD≌△BCO(AAS)，得出AF＝BC，DF＝OC，再判断出△ANF∽△AMC，得出ANAM=FNCM=AFAC=BCAC=35，进而求出m的值，得出点A的纵坐标为c−54＜c，进而判断出点M的坐标为(0，c−54)，N(﹣1，c−54)，进而得出CM=54，
DN=94，FN=94−c，进而求出c=32，即可得出结论．
【解析】(1)①∵AC∥x轴，点A(﹣2，1)，∴C(0，1)，
将点A(﹣2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，得−4−2b+c=1c=1，
∴b=−2c=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；
②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，
∵AC∥x轴，∴EF＝OC＝c，
∵点D是抛物线的顶点坐标，
∴D(b2，c+b24)，
∴DF＝DE﹣EF＝c+b24−c=b24，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∵∠AFD＝∠BCO＝90°，
∴△AFD≌△BCO(AAS)，
∴DF＝OC，∴b24=c，即b2＝4c；
(2)如图2，∵b＝﹣2．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，
∴顶点坐标D(﹣1，c+1)，
假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，
设点A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)，
过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，
∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∴△AFD≌△BCO(AAS)，
∴AF＝BC，DF＝OC，
过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，
∴DE∥CO，
∴△ANF∽△AMC，
∴ANAM=FNCM=AFAC=BCAC=35，
∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，
∴−m−1−m=35，∴m=−52，
∴点A的纵坐标为﹣(−52)2﹣2×(−52)+c＝c−54＜c，
∵AM∥x轴，
∴点M的坐标为(0，c−54)，N(﹣1，c−54)，
∴CM＝c﹣(c−54)=54，
∵点D的坐标为(﹣1，c+1)，
∴DN＝(c+1)﹣(c−54)=94，
∵DF＝OC＝c，∴FN＝DN﹣DF=94−c，
∵FNCM=35，∴94−c54=35，∴c=32，∴c−54=14，
∴点A纵坐标为14，∴A(−52，14)，
∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．

15．(2020•南充)已知二次函数图象过点A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，4)．
(1)求二次函数的解析式．
(2)如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．

【答案】见解析。
【分析】(1)设二次函数的解析式为y＝a(x+2)(x﹣4)，将点C坐标代入可求解；
(2)利用中点坐标公式可求P(﹣1，2)，点Q(2，2)，由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M(c，−25c+85)，由两点距离公式可得(c﹣2)2+(−25c+85−2)2＝8，可求c＝4或−2429，即可求解；
(3)过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出DE＝BE=BD2=322，由锐角三角函数可求NE=DEtanθ=9210，分DK与射线EC交于点N(m，4﹣m)和DK与射线EB交于N(m，4﹣m)两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．
【解析】(1)∵二次函数图象过点B(4，0)，点A(﹣2，0)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x+2)(x﹣4)，
∵二次函数图象过点C(0，4)，
∴4＝a(0+2)(0﹣4)，
∴a=−12，
∴二次函数的解析式为y=−12(x+2)(x﹣4)=−12x2+x+4；
(2)存在，
理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，

∵点A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，4)，点P是AC中点，点Q是BC中点，
∴P(﹣1，2)，点Q(2，2)，BC=(4−0)2+(0−4)2=42，
设直线BP解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：2=−k+b0=4k+b，
解得：k=−25b=85
∴直线BP的解析式为：y=−25x+85，
∵∠BMC＝90°
∴点M在以BC为直径的圆上，
∴设点M(c，−25c+85)，
∵点Q是Rt△BCM的中点，
∴MQ=12BC＝22，
∴MQ2＝8，
∴(c﹣2)2+(−25c+85−2)2＝8，
∴c＝4或−2429，
当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，
∴c=−2429，则点M坐标(−2429，5629)，
故线段PB上存在点M(−2429，5629)，使得∠BMC＝90°；
(3)如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，

∵点A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，4)，点D是AB中点，
∴点D(1，0)，OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴DE＝BE=BD2=322，
∵点B(4，0)，C(0，4)，
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
设点E(n，﹣n+4)，
∴﹣n+4=32，
∴n=52，
∴点E(52，32)，
在Rt△DNE中，NE=DEtanθ=32253=9210，
①若DK与射线EC交于点N(m，4﹣m)，
∵NE＝BN﹣BE，
∴9210=2(4﹣m)−322，
∴m=85，
∴点N(85，125)，
∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，
联立方程组可得：y=4x−4y=−12x2+x+4，
解得：x1=2y1=4或x2=−8y2=−36，
∴点K坐标为(2，4)或(﹣8，﹣36)；
②若DK与射线EB交于N(m，4﹣m)，
∵NE＝BE﹣BN，
∴9210=322−2(4﹣m)，
∴m=175，
∴点N(175，35)，
∴直线DK解析式为：y=14x−14，
联立方程组可得：y=14x−14y=−12x2+x+4，
解得：x3=3+1454y3=−1+14516或x4=3−1454y4=−1−14516，
∴点K坐标为(3+1454，−1+14516)或(3−1454，−1−14516)，
综上所述：点K的坐标为(2，4)或(﹣8，﹣36)或(3+1454，−1+14516)或(3−1454，−1−14516)．