2023红安县一中高二下学期3月月考试题数学含解析

这是一份2023红安县一中高二下学期3月月考试题数学含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
红安一中2023年3月份高二数学考试卷一、单选题1．设函数，则（    ）A． B． C． D．02．已知，若方程有99个实数根，则的值为（    ）A．5050 B．1 C．0 D．1003．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ）A． B． C． D．4．已知数列满足：.则的前60项的和为（    ）A．1240 B．1830 C．2520 D．27605．如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（    ）个．A．65 B．70 C．75 D．806．已知，，，则（    ）A． B． C． D．7．设有三个不同的零点，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．已知是离最近的整数，则数列的前2021项和是（    ）A．60544 B．60585 C．60612 D．60625二、多选题9．已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（    ）A．椭圆的长轴长为8        B．满足的面积为4的点恰有2个C．的的最大值为16   D．直线与直线斜率乘积为定值10．已知数列的前项和为，且，则（    ）A． B．数列为等差数列C．数列为等差数列 D．为奇数时，11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ）A．当时， B．，都有C．的解集为 D．的单调递增区间是，12．已知函数，下列结论中正确的是（    ）A．是的极小值点B．有三个零点C．曲线与直线只有一个公共点D．函数为奇函数三、填空题13．已知集合，集合，则以集合为定义城，集合为值域的函数的个数为____________．（用数字作答） 14．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为8百米、1百米，则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米. 15．已知函数所有满足的点中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）   16．对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为______．四、解答题17．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，求：(1)能被5整除的概率；(2)是偶数的概率；(3)千位大于百位大于十位大于个位的概率．  18．已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求的最大值．  19．某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在、上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积．  20．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项和，证明：．    21．已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．       22．已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：1．D【详解】因为为常数，所以. 故选：D.2．C【详解】根据题意，有．故选：C.3．B【详解】由题意杯子的底面面积，则杯中溶液上升高度，则，当时，，即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为. 故选：B.4．D【详解】由，故，，，，….故，，，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；，，，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.故. 故选：D.5．C【详解】解：自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻，十位数为0时，有100，或101，共2个；十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个；十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个；十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个；十位数为9时，有，899，898，998，999共4个．综上共有：个．故选：．6．A【详解】.设，则有，单调递减，从而，所以，故，即，而，故有．  故选：A．7．D【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出函数的图象，直线过定点，当时，设过的直线与的切点为,，由，得，，故切线方程为，把定点代入得：，即．，即直线的斜率为．则使有三个不同的零点的的取值范围是．故选：D8．B【详解】显然，其中，因此，因此取值为k的项有个，考虑到，于是数列的前2021项和． 故选：B.9．AC【详解】由椭圆方程可得：.对于，因为椭圆的长轴长，故选项正确；对于，因为，则，，所以，所以这样的点不存在，故选项错误；对于，由椭圆的定义可得：当且仅当等号成立，则， 所以的的最大值为，故选项正确；对于，设点，则，则有，又因为，所以，故选项错误， 故选：.10．AC【详解】对于A，因为，所以，则，故A正确；对于B，因为，，所以不是等差数列，故B错误；对于C，因为，所以，两式相减，得，所以为等差数列，故C正确；对于D，因为，所以，两式相减，得，所以数列的奇数项为等差数列，公差为，又由选项C知，的偶数项也为等差数列，公差为，，当为奇数时，，故D错误.11．BD【详解】对于A，当时，，则，函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误；对于B，当时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故，当时，，，则；当时，，，则，综上，当时，，因为函数是奇函数，所以，当时，，故B正确；对于C，由B可知，当时，，，则；当时，，，则，因为函数是奇函数，所以当时，；当时，，因为函数是奇函数，所以，综上，不等式，其解集为，故C错误；对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减，因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减；当时， 单调递增，故D正确.  故选：BD.12．ABC【详解】由函数，则求导可得，令，解得或，可得下表：极大值极小值则是的极小值点，故A正确；，，由，，显然函数在分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确；联立，消去可得，化简可得，则该方程组存在唯一实根，故C正确；令，，故D错误.  故选：ABC.13．【详解】分以下两种情况讨论：①集合中的元素分三组为{3,1,1}与集合B分别对应时，满足条件的函数个数；②集合中的元素分三组为{2,2,1}与集合B分别对应时，满足条件的函数个数.由分类加法计数原理可知，满足条件的同函数的个数为.  故答案为：.14．【详解】以为原点，所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则.设直线，即，则，所以，所以，，则，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以当时，最短，此时.  故答案为：15．(答案不唯一，与直线相切即可)【详解】解：因为，，所以为奇函数，因为，所以在上单调递增，因为，即，即，因为单调，所以有，即，所以在直线上，因为直线与圆C有且只有一个共同的点，只需直线与圆相切即可，若圆的圆心为，则，此时圆的方程为故答案为：(答案不唯一，与直线相切即可)16．【详解】由题意可得，∴时，，两式相减可得：，化为，时，，满足上式，故 故，∵对任意的恒成立，∴ ，即，解得，即， 故答案为：17．(1)；  (2)；  (3).【详解】（1）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数的个数是：，能被5整除的四位数，个位数字是0的四位数有个，个位数字是5的四位数有个，因此能被5整除的四位数的总个数是：，所以能被5整除的概率是.（2）组成的四位偶数中，个位数字是0的有，个位数字是2，4之一的有个，因此组成的四位偶数总个数是：，所以是偶数的概率.（3）千位大于百位大于十位大于个位的四位数个数是：，所以千位大于百位大于十位大于个位的概率.18．(1)   (2)【详解】（1）解：当时，，所以，当时，由可得，上述两个等式作差可得，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2）解：，所以，，所以，数列为等差数列，所以，所以当或时，取得最大值．19．把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米．【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，依题意可设抛物线方程为，且，所以，即，故点所在曲线段的方程为，设是曲线段上的任意一点，则在矩形中，，，所以，桌面板的面积为，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以当时，有最大值，此时，，此时，.答：把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米．20．(1)  (2)证明见解析【详解】（1）由题意知，所以，即从而，， 则．显然满足上式，所以（2）由（1）知，所以，所以．又因为，所以，所以．21．(1)  (2)存在，【详解】（1）由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为，因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以，又点在双曲线上，所以，整理得：因为的面积为8，所以，则，故双曲线的方程为；（2）由（1）可得，所以为当直线的斜率存在时，设方程为：，，则，所以，则恒成立，所以，假设在轴上是否存在定点，设，则要使得为常数，则，解得,定点，；又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取，若，则，符合上述结论；综上，在轴上存在定点，使为常数，且.22．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2).【详解】（1），，令，得或，令，得或，令，得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，当时，得，即，令，，因为，所以，设，则，令，得,令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，即，所以，所以在上为增函数，所以，即.